本文格式為Word版，下載可任意編輯——矩陣論楊明華中科技大學課后習題答案

習題一

1.判斷以下集合對指定的運算是否構成R上的線性空間（1）V1{A(aij)nn|

n

a

i1

ii

0}，對矩陣加法和數(shù)乘運算；

（2）V2{A|ARnn,ATA}，對矩陣加法和數(shù)乘運算；

（3）V3R3；對R中向量加法和如下定義的數(shù)乘向量：R,kR,k0；（4）V4{f(x)|f(x)0}，尋常的函數(shù)加法與數(shù)乘運算。

解：（1）、（2）為R上線性空間

（3）不是，由線性空間定義，對0有1=，而題（3）中10（4）不是，若k0，則kf(x)0，數(shù)乘不滿足封閉性。

2.求線性空間V{AR解：一組基

100

.

010

.

.

0

.0

0

00

.

01100

.

.

1

10

010

.

.

0

.0

0

00

.

1

1.0

nn3

3

|ATA}的維數(shù)和一組基。

dimW=n(n+1)/2

3.假使U1和U2都是線性空間V的子空間，若dimU1=dimU2，而且U1U2，證明：U1=U2。證明：由于dimU1=dimU2，故設

1,2,,r為空間U1的一組基，1,2,,r為空間U2的一組基

U2，有

12

而

1于是

2

rX

r1

2

rC，C為過渡矩陣，且可逆

12

由此，得

rX12rC1X12rYU1

U2U1

又由題設U1U2，證得U1=U2。

111T

4.設A213，探討向量(2,3,4)是否在R(A)中。

315111|2111|2

解：構造增廣矩陣A|213|3011|1

315|4000|0

矩陣A與其增廣矩陣秩一致，向量可由矩陣A的3個列向量線性表示，在列空間R(A)

中。

5.探討線性空間

3232

P4[x]中向量P22xx3x，1xxx1，P

32

P34xx5x2的線性相關性。

10

3231解：PPP(1xxx)12311

12

而

2514

10

1311

12215001

4002

11

，該矩陣秩為20000

所以向量組P1,P2,P3線性相關。

6.設AR

mn

，證明dimR(A)+dimN(A)=n。

證明：R(A)L{A1,A2,,An}，N(A){X|AX0,XRn}

,Ar為R(A)的一組基

,n)，其中k1i,k2i,

,n)

假定dimR(A)=r，且設A1,A2,則存在k1i,k2i,使k1iA1k2iA2顯然

,kri

(ir1,

,kri不全為零

kriArAi0(ir1,

k1,r1k2,r1kr,r1

100k1,r2

k2,r2kr,r2010k1,n

k2,nkr,nN(A)001

上述n-r個向量線性無關，而k1,k2,

,ks1,1,0,

0，sr不為N(A)中的向量，否則與

T

A1,A2,,Ar線性無關矛盾，故

dimN(A)=n-r

所以

dimR(A)+dimN(A)=n

1130

7.設A2121，求矩陣A的列空間R(A)和零空間N(A)。

1152

解：通過矩陣的行初等變換將矩陣A化為行階梯形

11301130A21210141

11520000

矩陣A的秩為2，從A中選取1、2列（線性無關）作為R(A)的基，于是R(A)L

121,

T

11

T

1

由AX0，X(x1,x2,x3,x4)T，rank(A)=2，有

3x3x1x2

x4xx342

分別取x31,x40和x30,x41，求得齊次方程AX0解空間的一組基

1410,1101

所以A的零空間為N(A)L

TT

1

41

0

T

,11

01

T

8.在R

22

中，已知兩組基

10010000E1EEE，，，234

0000100110111101G1，G3，G4，G2

11011011

求基{Ei}到基{Gi}的過渡矩陣，并求矩陣解：G1

01

在基{Gi}下的坐標X。

23

E3

E4C1C2

C3

C4,CiR4

G2G3

G4E1

E2

由此，得過渡矩陣

01

C

11

再由

111

011

101

110

0101101111

xxxx1234

2311110110

解得X0

9.判別以下集合是否構成子空間。

（1）W1{(x,y,z)|x2y2z21,x,y,zR}；（2）W2{A|A2I,ARnn}；（3）R中，W3{(x1,x2,x3)|（4）W4{A(aij)mn|

3

3

12

3

T

t

(x12x2x3}d0}；

a

i1j1

mn

ij

0}。

解：（1）不是R子空間，對加法及數(shù)乘運算不封閉。如取k=2，(10k(2

0)T，

T

0)x2y2z241，kW1。，而

（2）不是子空間，由于W2中沒有零元。

（3）、（4）為子空間。

10.設1(1,2,1,0)T，2(1,1,1,1)T，1(2,1,0,1)T，2(1,1,3,7)T，

W1span{1,2}，W2span{1,2}，求W1W2和W1W2。

解：設W1W2，則

x11x2且2x31x42

于是，有

x11x22x31x402

1121即2111x10x201103x01173x040

而

11211121

A

21110111103001

7

3

011

7000

0

取x41，得

x11,x24,x33x,41

所以

W1W2L1142L312

由于rank(A)=3

則W1W2L,1,21

11.在矩陣空間R

22

中，子空間

Vx

1

x21{Axx|x1x2x3x40}，V2L{B1,B2}，其中B11342B02

201，求

（1）V1的基和維數(shù)；

（2）V1V2和V1V2的維數(shù)。

0

3，

解：（1）V1中，A

x1

x3x2x2x3x4

x4x3x2111010

xxx234x4001001

令A1

111010

,A,A23，可驗證A1，A2，A3線性無關，它們構成空間001001

V1的一組基，空間V1的維數(shù)dimV1=3。

（2）V2L{B1,B2}中，B1與B2線性無關，它們是V2的一組基，故dimV2=2，而V1+V2=L{A1,A2,A3}+L{B1,B2}=L{A1,A2,A3,B1,B2}在R

22

的標準基E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2對應的坐標X1,X2,X3,X4,X5排成矩陣

X1

X2X3X4

11

10

X5

01

0011011110

00201112

02000132

13100001

于是dim(V1+V2)=4，由維數(shù)定理

V()dim1V2

diVm1dVi2mdV1imV(2

)3241

12.設W1和W2為Vn的子空間，W1{(x1,x2,

,xn)|xi0}，

T

i1

n

W2{(x1,x2,,xn)T|x1x2xn}，證明VnW1W2。

證明：對W1，由x1x2xn0，解得

110X1k11101

為W1的一組基。對W2，由x1x2X2k1111W2的基為1111于是

0

T

T

k21010

T

0

nk

110001000

T

T

1

顯然W1的維數(shù)dimW1=n-1，而向量組

0,21010

xn，解得

T

0n,1

1

1

1，dimW2=1

,n1LL1,2,

,n1,

T

T

W1W2L1,2,

這里

11010

1001

(1det,2,,n

1

1

,0)

所以

1,2,,n

1

,為W1+W2的基，則dim(W1+W2)=n，由維數(shù)定理可知

dim(W1W2)0，故有

VnW1W2

13.R中，(1,2,為內積。（1）(,)

n

,n)T，(1,2,,n)T，判別下面定義的實數(shù)(,)是否

i

i1

n

i

；

（2）(,)

i

i

i1

n

i

；

（3）(,)A，其中A為正定矩陣。

n

解：（1）不是R上的內積。設1a1

T

a2

an，2a1a2bn

T

T

an

T

b1b2

于是

n

n

n

12,(aiai)biaibiaibiaibiaibi

i1

i1

i1

i1

n

(1,2,)

內積的線性性不滿足。

（2）與（3）是R上的內積。可驗證對稱性、線性性及正定性都滿足。

13.設{1,2,

n

,5}是V5的標準正交基，又115，2134，

32123，求WL{1,2,

3}的標準正交基。

解：W的標準正交基

1

000

1

T

10

22

T

1

,2

1110

T

1

14.在歐氏空間R4中，求子空間WL{(1,1,1,1),(1,1,1,1)}的正交補子空間W。

⊥

TT

解：設Xx1

x2x3

x4W

T

令1(1111)T,2(1111)T由

X1,X2

得

0x1x2x3x4xxxx02341

解得

11

00

X,

1001

所以

WL1010,1001

15.判斷以下變換哪些是線性變換

2T

（1）R2中，T(x1,x2)T(x11,x2)；

TT

（2）R3中，T(x1,x2,x3)T(x1x2,x1x2,2x3)T；（3）R（4）R

nn

中，A為給定n階方陣，XR

nn

，T(X)AXA；

22

中，T(A)A，A為A的伴隨矩陣。

解：（1）不是，該變換為非線性變換設

1x1

則

x2，2y1

T

y2

T

T

T

T

T(12)T(x1y1x2y2)Tx1y11(x2y2)2x11x22y11y22T(1)T(2)

（2）是線性變換

（3）不是，因有T00（4）是線性變換

A而

a1a3a2b1b222

,BRa4b3b4

ab1a2b2a4bT(AB)T1

a3b3a4b4a3b3ka

T(kA)T1

ka3

ka2ka4

ka4ka3

4

ab22a

a1b1a32b4a

a1b3b42**ABT(A)T(B)b1

ka2a4

kka1a3a2*

kAkT(A)a1

16.設R3中，線性變換T為：Tii，i=1,2,3，其中1(1,0,1)T，2(2,1,1)T，

3(1,1,1)T，1(0,1,1)T，2(1,1,0)T，3(1,2,1)T，求

（1）T在基{1,2,3}下的矩陣；（2）T在標準正交基下的矩陣。解：（1）由T1得1于是

23123A及T123123

2

3A1

2

3

A123

1

1

2

121011011

3011112132

111101244

T

T

T

1

3

（2）R中標準基正交基e1100,e2010,e3001

由

Te1

e2

e3e1

e2

e3A

Tii

得

,i1,2,3

T1Te1T2Te1T3Te1

由于

e2e2e2

e3101e1e3211e1e3111e1

TT

T

e2e2e2

e3A11e3A22e3A33

e1

故有

e2e3I3

于是

A1

2

31

2

3

01

1

311

10

121101

2

11

1

A1

2

13

2

12

1111

5

54

2

22

17.設線性變換RR，有

T(x1,x2,x3,x4)T(x1x2x3x4,x12x2x4,x1x23x3x4)T，求N(T)和R(T)。解：由NT{X|T(X)0,X(x1,x2,x3,x4)T}，得下述齊次方程組

43

x1x2x3x40

x12x2x40

xx3xx0

2341

解得Xk2所以

NT{X=k2

314

T

T

314}

由RT{Y|YT(X),X(x1,x2,x3,x4)T}，得

x1x2x3x41111

x2xxx1x2x0xY24112341xx3xx1131

2341

1111

故有R(T)k11k22k30k41

1131

111

或R(T)k11k22k30

113

18.在歐氏空間Rn中，設有兩組基1,2,

,n與1,2,,n，滿足關系式

(1,2,,n)(1,2,,n)P，PRnn

,n都是標準正交基，則P是正交陣；

證明：（1）若1,2,,n與1,2,

（2）若1,2,,n是標準正交組，P是正交陣，則1,2,

,n,p)1p

p,n,

,n是標準正交組。

證明：（1）將矩陣P按列分塊，有(1,2,其中

,)n(1,2

2

,

i12

于是

npi

,i1,2,

,n

,jiTjpiT1i

故矩陣P為正交矩陣。

n1

T

npjpiTpj

1,ij

0,ij

（2）與（1）證明過程類似，可證明1,2,

,n是標準正交基。

習題二

1.設A、B為n階方陣，1,2,（1）tr(AB)=tr(BA)；（2）tr(A)

k

,n是A的特征值，證明

i1

n

ki

；

（3）若PAPB，則tr(A)tr(B)證明：（1）設Aaij

n

1

。

ii1

n

nn

，Bbij

nn

，則

nnn

trABaijbjibjiaijtr(BA)

i1j1j1i1

（2）由于AXiiXi，A2XiAAXiiAXii2Xi，……，AkXiikXi

k

故1k,2,

,nk為Ak的特征值，于是

tr(A)

k

i1

n

k

i

（3）由結論（1），得

(B)tr

1

t(r1PA)PtPrPA

tr

1

AP()trAP

2.設n階方陣A(aij)nn，且

a

j1

n

ij

i=1,2,…,n，證明A的每一個特征值的絕對值1。1，

證明：設有AXX，Xx1對AXX中第k個方程xk于是即有

3.設三階方陣

x2

xn，并設xkmaxx1

T

x2

xn

a

j1

n

kj

xj

xk

a

j1

n

kj

xjakjxj

j1

n

a

j1

n

xjxk

kj

akj1

j1

n

111Ax4y

335

的二重特征值2對應有兩個線性無關特征向量，

（1）求x與y；

（2）求P，使PAP。

解：（1）因齊次方程2IAX0的解空間維數(shù)為2，則矩陣2IA的秩為1而

1

111111

x2y0x2xy2IA333000

因rank2IA1故有x2,y2。

111

42（2）A2335

A的特征多項式

IA26

2

特征值

122，36

由2IAX0，求得特征向量T

T

1110,2101由6IAX0，求得特征向量3123T

于是

111P102013

且有

200P1AP

020

006

4.設a1與a2是Ann的兩個不同特征值，且有r(a1IA)r(a2IA)n證明矩陣A可對角化。

證明：設rank(a1IA)r,rank(a2IA)nr對于(a1IA)X0有n-r個線性無關特征向量對于(a2IA)X0有r個線性無關特征向量

于是矩陣A有n個線性無關特征向量，所以矩陣A可對角化。

5.設R3

中，(x31,x2,x3)TR，線性變換T

T(xT1,x2,x3)(xT12x22x3,2x1x22x3,2x12x2x3)

求一組基，使T在此基下的矩陣為對角陣，并求出此對角陣。解：取R3

中的一組標準基1,2,3，則有

x1

x1x12x22x3T()T12

3x21Ax2xx12

3x3222x2x3132x12x2x32得線性變換T在基1,2,3下的矩陣

22x112

x

221

x3

122

A212

221

A的特征多項式特征值

IA15

2

121，35

T

T

由IAX0，解得特征向量1110,2101由5IAX0，解得特征向量T

3111于是111P1

2

31011，P1

AP1

0115

矩陣P為從基1,2,3到所求基1,2,3的過渡矩陣，于是

111

12312

P101

3

011

線性變換T在基1

1,2,3下的矩陣為1。

5

6.求可逆矩陣P及J，使P1

APJ，其中

211

A212

112

解：A的特征多項式IA(1)3特征值為1231

111x10再由IAX222x

20111

x30

解得特征子空間V1的一組基T

1110,2011T

特征向量k11k22k1

k1k2

k2

T

k2

由IAk1k2

k3111

得增廣矩陣222

111

k1111

k1k2000

k2000

k2

k2k1k1k2

若方程組IA有解（相容，rank(IA)rankIA|），則有k1=k2。取k1=k2=1，得12由IA12

1

T

1

0

T

T

解得廣義特征向量10

取P1則有

111

120

010

1

P1AP11J

1

7.設WL{e,xe,xe,e}為函數(shù)向量e,xe,xe,e生成的4維空間，T為導數(shù)變換，（1）求T在基e,xe,xe,e下的矩陣；（2）找一組基，使T在此基下為Jordan標準形。解：（1）T

x

x

2x

2x

x

x

2x

2x

xx2x2x

d

，于是dx

xex

x2ex

12x0e00

100

120010

002

Tex

xex

x2exe2xexexxex2xexx2ex2e2xex

10xx2x2x

T在基e,xe,xe,e下的矩陣A

00100

120

010

002

101

（2）PAP

00

1

100

0110

，P01000020

xex

xxex

0100

000

1

0201

xex

12x

xe2

e2x

1234ex

e2xPex

10

線性變換T在基1,2,3,4下的矩陣為

00

100

110

010

002

8.在多項式空間Pn[x]中，T為是Pn[x]的一個導數(shù)變換，證明T在任一基下的矩陣不可對角化。證明：T

d

，于是dx

d

1xx2dx

01

002n1

x0

00

n10

T1x

x2xn1xn1012x(n1)xn2

1xx2

01

00A0

00

矩陣A的特征值為12

2

n10

n0

而rank(A)n1，故A僅有一個特征向量，所以A不可對角化。

211

100

9.設A212，求A。

112

解：由題（6），有

1111012

P1AP11，P120，P1001

0101111

于是

11001

1100

AP11P，AP

1

取g100

1100

11P1

11

1

于是A

100

100

11g(1)g(1)1100g

g(1)11

101100100

200199200100100101

10.設A為n階方陣，證明：

（1）若AAI0，則A可對角化；

（2）若AI，k為大于1的整整數(shù)，則A可對角化。

證明：（1）由于AAI0，則A的化零多項式()2221

2

k

2

無重根，A的最小化零多項式可整除任意A的化零多項式，故A的最小多項式無重根，于是

A可對角化。

（2）由于AI，得A的化零多項式()1即

k

k

()k1(1)(k1