3-5傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換建立了時(shí)間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實(shí)際信號(hào)分析中，經(jīng)常需要對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個(gè)清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說(shuō)明其應(yīng)用。一、線性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算。若af(t)+bf(t)—aF(加)+bF(加)(3-55)1212其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號(hào)的頻譜函數(shù)F(j)。11f(t)=U(t)=-+-sgn(t)AA由式(3-55)得F(F(沁)=國(guó)(t虐**24gn(t是、12*、—x2nd(①)+—x——=兀8(①)+2j①二、對(duì)稱性若f(t)—F(加)F(jt)—2nf(-o)(3-56)證明因?yàn)?f(t)=——jF(j?)egd?2兀一8有2時(shí)(t)=j8f(j?)ejgd?-82時(shí)(-t)=j8F(j^)e-j①dw-8將上式中變量①換為x,積分結(jié)果不變，即2兀f(-t)=j8F(jx)e-jxtdx

-8再將t用①代之，上述關(guān)系依然成立，即2酒'(-w)=j8F(jx)e-jwxdx-8最后再將x用t代替，則得2時(shí)(-w)=j8F(jt)e-jwtdt=匚F(jt)}

-8所以F(jt)f2荷(-w)證畢若f(t)是一個(gè)偶函數(shù)，即f(-t)=f(t)，相應(yīng)有f(-W)=f(①)，則式(3-56)成為F(jt)f2寸(W)(3-57)可見(jiàn)，傅里葉變換之間存在著對(duì)稱關(guān)系，即信號(hào)波形與信號(hào)頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)2兀。式中的-w表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對(duì)調(diào)。例如f(t)=5(t)fF(jw)=1F(jt)=1f2時(shí)(w)=2航(w)例3-7若信號(hào)f(t)的傅里葉變換為

[2nAH<T/2F(網(wǎng)=]0網(wǎng)>c/2試求f(t)。解將F(加)中的?換成t,并考慮F(加)為①的實(shí)函數(shù)，有「2兀A|t|<t/2F(jt)=F(t)={[0t>T/2該信號(hào)的傅里葉變換由式(3-54)可知為°F(t)}=2俱Sa(號(hào))根據(jù)對(duì)稱性F(t)?2荷(-Q)故fE)=AtSa(。)再將f(-3)中的-3換成t，則得f(t)=AtSa弓)f(t)為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。三、折疊性若

F(加)—F(沁)[F(加)—F(沁)[f(t)]為虛函數(shù)358四、尺度變換性觀看動(dòng)畫(huà)°,、13、，,,f(at)IF(j)(a為大于零的實(shí)常數(shù))aa(3-59)證明因a〉0,由匚{f(at)}=廣f(at)e-j—dt-8令x=at，則dx=adt，代入前式，可得5f3)}=』8f(x)e-j—x/ad=1F(j—)_gaaa證畢函數(shù)f(at)表示f(t)沿時(shí)間軸壓縮(或時(shí)間尺度擴(kuò)展)aF(j—)而a則表示F(j—)沿頻率軸擴(kuò)展(或頻率尺度壓縮)a倍。該性質(zhì)反映了信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與其占有頻帶成反比，信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。例3-8已知f(t)=t<t/4It>T/4，求頻譜函數(shù)F(j—f(t)=的頻譜函數(shù)，且rE|0F0（沁）=ETSa（與）A根據(jù)尺度變換性，信號(hào)f(t)比f(wàn)0(t)的時(shí)間尺度擴(kuò)展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù)F（沁）=2F0（j§=%Sa（普）A

E_f（t）A

E_f（t）-t/40t/4五、時(shí)移性（3-60）五、時(shí)移性此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時(shí)域f(t)平移時(shí)間10，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變W10。f(t)=例3-9求0<t<Tt<0,t>T的頻譜函數(shù)F(加)。解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號(hào)和傅里葉變換的時(shí)移性，有F(jw)=ESa(竺)e-jwT/2

t2六、頻移性f(t)e土jW0—F[j(W+W)]0(3-61)證明匚f(t)e土汕0f(t)e土jw0te-jwtdt=j"f(t)e-j(w矽0vdt=F[j(w+W)]一80證畢頻移性說(shuō)明若信號(hào)f(t)乘以e±加0‘，相當(dāng)于信號(hào)所分解的每一指數(shù)分量都乘以e±jW0t，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移W0，亦即整個(gè)頻譜相應(yīng)地搬移了必0位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過(guò)程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移實(shí)現(xiàn)原理是將信號(hào)f(t)乘以所謂載頻信號(hào)cosWt或f(t)coswt.2F[j(w+w)]+F[j(w—w)]}f(t)sinwt?%F[j(w+w)]一F[j(w-w)￡七、時(shí)域微分性dnf(t)寺"沁)nF(j)(3-62)證明因?yàn)閒(t)=—"F(jw)e=dw2兀E兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得d-^t^=—卜j?F(jw)egd3dt2兀e所以df(t)守-(網(wǎng)F(冷)同理，可推出證畢dnf(t)證畢Ij)nF(j①)dtn例3-10求f(t)=5(n)(t)的頻譜函數(shù)F(加)。解：因?yàn)?(t)11由時(shí)域微分性F(j?)=(j?)n例3-11圖3-22所示信號(hào)f(t)為三角形函數(shù)f(tt=a(9q111T0Id<TkE求其頻譜函數(shù)F（加）。解:將f⑴微分兩次后，得到圖3-22（c）所示函數(shù)，其表達(dá)式為1c2c1c解:f"(t)=-b(t+T)--d(t)+-d(t-T)

TTT由微分性匚f"(tJ=(沁)2匚f(t)}=上(e加一2+e-j)T)=—[cos①t-1]TT所以匚f(t)}_2(cos匚f(t)}_2(cos①t-1)tsin2(①T/2)(①c/2)2①T、=TSa2(~2~)(1/T不《71/T)~一^~0t(-2/t)(c)八、頻域微分性(3-63)(3-63)例3-12求f(t)=們(t)的頻譜函數(shù)F(L)。解：因?yàn)閁(t)?航(①)+根據(jù)頻域微分性們(t)-航(叫+L1=l丸&(3)-——①2九、時(shí)域積分性若(3-64)j七f(t)dt?Fj)+兀F(0)80)(3-64)-8j①例3-13根據(jù)8(t)11和積分性求f(t)=U(t)的頻譜函數(shù)。解：因?yàn)?(t)11U(t)=jt8(x)dx-8根據(jù)時(shí)域積分性例3-14求圖3-23所示信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)F(加)。

解：f⑴對(duì)t求兩次微分后，得11f"(t)=8(t+t/2)—8(t—t/2)T1/2——e-j^T/2T.2如=j-1/2——e-j^T/2T.2如=j-sin(——)

t2由時(shí)域積分性f(t)=Itf"(x)dxf—sln(^^)+兀x08(s)=—STS2冬sln(竺f(竺)TS22f(t)=「f'(x)dxf—S2sln(竺)+nSa(0)8(①)=兀8(①)+上Sa(ST)js2T2js2f(1/T-t/20T/2At(1/TL—t/20T/2—i~>t(-1/T)(b)圖3-23(c)十、頻域積分性若f(t)fF(js)TOC\o"1-5"\h\z111…寸(0)8(t)+f(t)f1F(jx)dx(3-65)jtj—sf(t)=愈f(.、例3-15已知t，求(js)。解：因?yàn)?/p>

sin(t)sin(t)=j-e-〃)?史2j2jB(①-1)-8(①+1)]=j兀b(①+1)-60-1)]根據(jù)頻域積分性sin(t)f1f°j兀Is(尤+1)-8(尤一1)Lr=n\u(①+1)-U(①一1)]tj-8十一、時(shí)域卷積定理若f1f1(t)fF1(加)f2(t)fF2(加)f(t)*f(t)fF(加)F(加)(3-66)1212證明Ff(t)Ff(t)*f(t)}="「"f(T)f(t-T)&12n_812e-j^tdt="f(t)-s1"f(t-t)e-wdtdT=一-s2-證畢jsf(t)F(j①)e-網(wǎng)dT=F(j①)jsf(t)e-j&T=F(j①)F(j①)證畢-s122-s1-例3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)\|t|f(t)』1-「14<T、0|t|>T可看做為兩個(gè)如圖3-24(b)所示門(mén)函數(shù)Gt(()卷積。試?yán)脮r(shí)域卷積定理求其頻譜函數(shù)F(加)G(t)-c1解：因(a)(b)圖3-24sin(竺)G(t)5:=母(與)T①c2~T所以sgn(t)F(沁)=cSa2(:)sgn(t)1例3-17一個(gè)信號(hào)f(t)的希伯特變換&)是f(t)和M的卷積，即兀一8(t"I)解：因?yàn)閯t對(duì)稱性2一f2兀sgn(一①)=-2ksgn(①)jt

一jsgn(co)7lt由時(shí)域卷積定理1

fG)=-jsgn(co)F(j(D)nt即^(J?)-Jsgn(CD)F(j(D)十二、頻域卷積定理若/(O^F(jco)/(O^F(jco)TOC\o"1-5"\h\z1122則1f(OfF(J°)*F(JCO)(3-67)122兀12或f(0/(0—F(j沖F5)

1212例3-18利用頻域卷積定理求皿)=們(t)的傅里葉變換F(j?)。解：因?yàn)?(，)0j?由對(duì)稱性jt—2k5(-co)=-2k5(co)有tcJ2航'(co)E/Q).航(co)+L所以根據(jù)頻域卷積定理

7i8((d)+—沁F(沁)=—,2兀87i8((d)+—沁11J7l8'(CD)+8'(CD)*—=j7l8'((Jl))+8(CD)*(—)，CDCD1F(J(D)=7715(CD)-(一)CD2十三、帕塞瓦爾定理00F(為"(jG)迦(3-68)1Z—co可推廣十三、帕塞瓦爾定理00F(為"(jG)迦(3-68)1Z—co可推廣00|F(jCD)|2tZco—00'(3-69)若匕⑺為實(shí)函數(shù)，則8F2(jCD)tZCD-001(3-70)若成號(hào)）為實(shí)函數(shù)，則8f(W(t)dt=-oo12J-PF(jco)F9(jco)J?(3-71)2—-例3-19求-oo解：因f20So2(co)如=—2So((D)2xSo(co)dco-004271_g2Sa(o)I由帕塞瓦爾定理可得"SQ2(co)dcof20So2(co)如=—2So((D)2xSo(co)dco-004271_g2Sa(o)I由帕塞瓦爾定理可得"SQ2(co)dco=G(t)G(t)dt=7i-002_822十四、奇偶性若/(0?F(jco)=F(co)ej<p(?)=A(co)+jX(co),貝！j（1）當(dāng)了⑺為實(shí)函數(shù)時(shí)，則F(①)=|仃(網(wǎng)|=F(-co)

(p((o)=-(P(-CD)A((o)=R(_(d)

x(3)=—X(—①)(3-72)若3為實(shí)偶函數(shù)，即fQ）=f（T）,則F(jco)=F(cd)=R(co)X(①)=0（實(shí)偶函數(shù)）(3-73)若的）為實(shí)奇函數(shù)，即坷=—心），則日(網(wǎng)=/X(CD)A(cd)—0（虛奇函數(shù)）(3-74)（2）當(dāng)了（*）為虛函數(shù)，即f。）=jx（t）時(shí)，則(3-75)F(o)=F(-cd)

(P(CD)=-(P(-CD)(3-75)R(CD)=—R(—CD)

X(CD)=X(—CD)傅里葉變換的基本性質(zhì)歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本性質(zhì)

性質(zhì)名稱時(shí)域頻域1.線性af1(t)+bfp)aF(j①)+bF(j①)2.對(duì)稱性F(jt)2&(-w)3.折疊性f(-t)F(-jw)4.尺度變換性f(at)1,w、-F(j-)aa5.時(shí)移性f(t土10)F(jw)e士jw06.頻移性e土沖f(t)F[j(ww0)]7.時(shí)域微分5(t)dtn(jw)nF(jw)8