2021-2022學年天津市北辰區(qū)高二上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】根據(jù)給定方程求出直線的斜率即可求得傾斜角作答.【詳解】直線的斜率，由斜率的定義得直線的傾斜角為，所以所求傾斜角為.故選：A2．在空間直角坐標系中，已知，，則的模為（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】利用空間向量的模長公式即可求解.【詳解】解：，，則所以故選：B.3．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用一般方程表示圓得的不等式求解【詳解】由題，則解得故選：A【點睛】本題考查圓的一般方程，是基礎(chǔ)題4．過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【分析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查斜率的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.5．已知橢圓上的一點到橢圓一個焦點的距離為，則點到另一個焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程得，由橢圓定義可求得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程知：，則由橢圓定義知：點到另一個焦點的距離為.故選：B.6．已知圓的一條直徑的端點分別是，，則此圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓心為直徑兩端點的中點，得到圓心坐標；再利用兩點間距離公式求得半徑，從而得到圓的標準方程．【詳解】直徑兩端點為

圓心坐標為圓的半徑，圓的方程為：.故選：A.【點睛】求解圓的標準方程，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，屬于基礎(chǔ)題．7．已知x，y滿足，求的最小值為（

）A．2 B． C．8 D．【答案】C【分析】利用兩點間的距離公式結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：表示點與直線上的點的距離的平方所以的最小值為點到直線的距離的平方所以最小值為：故選：C.8．已知橢圓，點在橢圓上，且，其中為坐標原點，則點的坐標為A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意得，設(shè)，由，則，所以，與橢圓方程聯(lián)立，解得，即點的坐標為，故選A.【解析】橢圓簡單的幾何性質(zhì).方法點睛：本題主要考查了橢圓的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應用、向量垂直與向量的數(shù)量積的關(guān)系，著重考查了學生的推理與計算能力，屬于中檔試題，本題的解答中，設(shè)出點的坐標，由，轉(zhuǎn)化為，利用向量的數(shù)量積的運算所以，再與橢圓的聯(lián)立方程組，即可求解點的坐標.9．在四面體中給出以下四個結(jié)論，則說法錯誤的是（

）A．若，則可知B．若Q為的重心，則C．若，，則D．若四面體各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點，則【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算結(jié)合重心的性質(zhì)以及向量模長的計算逐項判斷即可.【詳解】解：對A，，則，整理得，即，等價于，所以，故A正確；對B，Q為的重心，則，，整理得：，故B正確；對C，，，所以所以整理得：即所以即，故C正確；對D，四面體各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點，所以四面體的各個面均為正三角形則，，，兩兩之間的夾角均為所以又因為所以，故D錯誤.故選：D.【點睛】方法點睛：求空間向量模長的方法①坐標法：，則；②直接法：通過對已知條件進行化簡直接得到向量的模長；③利用進行求解.二、填空題10．設(shè)，分別是兩個不同平面，的法向量，當，時，與的位置關(guān)系為___________.【答案】平行【分析】根據(jù)法向量的位置關(guān)系即可判斷平面，的位置關(guān)系.【詳解】解：，分別是兩個不同平面，的法向量，且，則即兩個平面的法向量平行所以平面，平行故答案為：平行.11．已知橢圓的長軸在軸上，若焦距為4，則__________.【答案】8【分析】根據(jù)橢圓方程列方程，解得結(jié)果.【詳解】因為橢圓的長軸在軸上，焦距為4，所以故答案為：8【點睛】本題考查根據(jù)橢圓方程求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．已知圓的圓心到直線的距離為2，則a的值為___________.【答案】【分析】先將圓的一般方程化為標準方程，再利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：圓即所以圓心坐標為由圓心到直線的距離為2可得解得：故答案為：.13．設(shè)為橢圓的左?右焦點，點P在橢圓上，若線段的中點在y軸上，則的值為___________.【答案】【分析】由給定條件探求出PF2⊥x軸，由此求出的長，再借助橢圓定義即可得解.【詳解】依題意，，右焦點，如圖，因線段的中點在y軸上，而O是線段，于是得PF2//y軸，即PF2⊥x軸，由得，則有，于是有，，所以的值為.故答案為：14．若直線始終平分圓的圓周，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)直線平方圓得出直線經(jīng)過圓心，再利用基本不等式“”的秒用即可求解.【詳解】解：圓化為所以圓心為因為直線始終平分圓的圓周所以點在直線上代入整理得所以當且僅當，即，時取等號所以的最小值為.故答案為：.15．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D，E分別是與的中點，點E在平面上的射影是的重心G則與平面ABD所成角的余弦值為___________.【答案】【分析】利用空間向量法先根據(jù)G是的重心求出，再利用向量法求線面角即可.【詳解】解：直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，所以、、兩兩垂直故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)，，D，E分別是與的中點，則，，，所以因為G是的重心所以所以，因為點E在平面上的射影是的重心G所以是平面的法向量所以，解得所以，設(shè)與平面所成角為所以所以故答案為：.【點睛】方法點睛：求線面角的方法①幾何法，根據(jù)線面角的定義在空間圖形上直接作出線面角的平面角；②等體積法，利用等體積法先求出直線在平面外一點到平面的距離，進而求出線面角的平面角；③空間向量法，建立空間直角坐標系進行求解.三、解答題16．（1）已知坐標平面內(nèi)兩點，.當為何值時，直線的傾斜角為銳角？（2）已知直線.若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直線的斜率大于零時傾斜角為銳角即可求解；（2）根據(jù)直線不經(jīng)過第四象限得到直線的斜率和縱截距均大于等于零即可求解.【詳解】解：（1），所以因為直線的傾斜角為銳角所以解得：所以當時，直線的傾斜角為銳角（2）直線即因為直線不經(jīng)過第四象限所以，解得所以的取值范圍為.17．如圖，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，E，F(xiàn)，G分別是線段，，的中點(1)求證：平面平面；(2)求點到直線的距離；(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3).【分析】（1）取的中點，連接，結(jié)合線面垂直的判定可證明平面，進而證得面面垂直；（2）先求出的三邊長，再利用正余弦定理求出的面積，然后根據(jù)等面積法即可求解；（3）過點作于，可以證得點到平面的距離為，再利用等面積法即可求解.(1)證明：取的中點，連接，，如圖所示因為E，F(xiàn)，G分別是線段，，的中點所以所以、、、四點共面因為為中點，四邊形為正方形所以因為是直角三角形所以又因為平面平面，交線為所以平面又平面所以又所以平面又因為平面所以平面平面(2)解：在題中圖形里面連接，，，，如圖所示因為四邊形為正方形，所以由（1）知平面，平面所以所以因為F，G分別是線段，的中點所以在正方形中，由（1）知，，且所以平面又因為E，F(xiàn)分別是線段，的中點所以所以平面又平面所以又所以所以在中，，，由余弦定理得：所以所以設(shè)點到直線的距離為則，解得：所以點到直線的距離為.(3)解：在（1）圖中過點作于，如圖所示由（2）知，平面，且平面所以又因為所以，又且所以平面即點到平面的距離為因為，則又、分別為、的中點所以所以所以點到平面的距離為.18．已知橢圓經(jīng)過點，左焦點，直線與橢圓交于，兩點，是坐標原點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若面積為1，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】(1)由焦點坐標求出的值，再由橢圓經(jīng)過點，代入點坐標求出的值，繼而求出橢圓方程(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出的表達式，再運用點到直線距離公式求出高的表達式，結(jié)合題意中的面積計算出的值，繼而得到直線方程【詳解】（1）依題意可得解得，右焦點，，，所以，則，所以橢圓的標準方程為．（2）設(shè)，，，，由得，則△由△得，則，所以因為到的距離，所以得，直線的方程為．【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓中三角形面積問題，在求解過程中需要聯(lián)立直線方程與橢圓方程計算出結(jié)果，需要一定的計算量19．直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別是，BC的中點，，D為棱上的點.(1)證明：；(2)是否存在一點D，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明過程見解析；(2)存在一點，且為中點，理由見解析.【分析】（1）利用空間向量法證明即可；（2）利用空間向量法分別將平面與平面的法向量表示出來，再由夾角的余弦值即可求出的位置，進而判斷是否符合題意.(1)證明：因為，所以又因為直三棱柱中，且所以平面又平面所以所以、、兩兩垂直故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系由題知，所以，，，，，設(shè)，且且即則，所以，又所以所以(2)解：存在一點，且為中點，理由如下由（1）知，平面的一個法向量設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，所以因為平面與平面的夾角的余弦值為所以即解得：或（舍去）所以當為中點時，符合題意.20．已知圓的圓心為A，點是圓A內(nèi)一個定點，點C是圓A上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點D.(1)求動點D的軌跡E的方程；(2)給定點，設(shè)直線l不經(jīng)過點P且與軌跡E相交于M，N兩點，以線段為直徑的圓過點P.證明：直線l過定點【答案】(1)(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，進而得到點符合橢圓的定義；（2）設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合向量的數(shù)量積運算即可求解.(1)解：如圖所示，由題知，圓的圓心為，半徑，因為在線段的垂直平分線上，則又所以又半徑所以故動點D的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，，則所以動點D的軌跡