圓的切線的證明與計(jì)算一、本課主要知識(shí)梳理1.定義：與圓只有一個(gè)________的直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過______的半徑.3.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且______于這條半徑的直線是圓的切線.4.證明一條直線是圓的切線方法：主要有兩種：一是利用圓心到直線的距離等于______，二是利用切線的__________，即常作的輔助線是：已知切點(diǎn)，________證______或未知切點(diǎn)，作______證______.公共點(diǎn)切點(diǎn)垂直半徑判定定理連半徑垂直垂直半徑例1、如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且

與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B.小圓的切線AC與大

圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB.(1)試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由；(2)試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圓與小圓

圍成的圓環(huán)的面積．(結(jié)果保留π)二、例題講解解：(1)BC所在直線與小圓相切；理由如下：過圓心O作OE⊥BC，垂足為E.∵AC是小圓的切線，AB經(jīng)過圓心O，∴OA⊥AC.∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA.∴BC所在直線是小圓的切線二、例題講解例1、如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且

與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B。小圓的切線AC與

大圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB.(1)試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由；解：AC＋AD＝BC.理由如下：連接OD.∵AC

切小圓O于點(diǎn)A，BC切小圓O于點(diǎn)E，

∴CE＝CA.∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，OA＝OE，OD＝OB，

∠OAD＝∠OEB＝90°，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)．

∴EB＝AD.∵BC＝CE＋EB

∴BC＝AC＋AD例1、如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且

與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B。小圓的切線AC與

大圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB。(2)試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝6.∵BC＝AC＋AD，∴AD＝BC－AC＝4.∵圓環(huán)的面積S＝πOD2－πOA2＝π(OD2－OA2)，∵OD2－OA2＝AD2，∴S＝42π＝16π(cm2)例1、如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且

與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B。小圓的切線AC與大

圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB.(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面

積。(結(jié)果保留π)

例1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)，

直線FA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)D在FA上，且DO平行⊙O的MB，

連DM并延長交x軸于點(diǎn)C.

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；

（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圓與

小圓圍成的圓環(huán)的面積．(結(jié)果保留π)回顧與思考小試牛刀1、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，PA⊥AB，

延長PO至點(diǎn)D，使CD⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4，

求OD的長。1、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，PA⊥AB，

延長PO至點(diǎn)D，使CD⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求證：PC是⊙O的切線；證明：過點(diǎn)O作OE⊥PC于點(diǎn)E，

∵PA⊥AB，CD⊥PO,∠AOP=∠COD,

∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO,

∴∠OPA=∠DPC,

∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA,

∴PC是⊙O的切線;小試牛刀1、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，PA⊥AB，

延長PO至點(diǎn)D，使CD⊥PO交PO的延

長線于點(diǎn)D，且∠DPC=∠DCO。（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4,求OD的長。解：∵PA⊥AB，OA是⊙O的半徑，

∴PA是⊙O的切線，

∵PE是⊙O的切線，

∴PE=PA=6，在Rt△PCA中，

tan∠PCA=3/4，PA=6，

∴AC=8，∴PC=10，∴CE=4，

在Rt△OCE中，tan∠ECO=3/4，CE=4，

∴OE=3，OC=5，在Rt△POA中，OP==3

∵△ODC∽△OAP,即

，∴OD=小試牛刀回顧與思考如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，PA⊥AB，延長PO至點(diǎn)D，使CD⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)D，且∠DPC=∠DCO。求證：PC是⊙O的切線；若PA=6，tan∠PCA=3/4，求OD的長。二、例題講解例2、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，

點(diǎn)E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC。(1)求證：DE與⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝

，

求⊙O的半徑．例1、如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且

與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B.小圓的切線AC與大

圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB.(1)試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由；(2)試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圓與小圓

圍成的圓環(huán)的面積．(結(jié)果保留π)比一比解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OD.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，

∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∵D在圓上，∴DE與⊙O相切；例2、AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，點(diǎn)E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC. (1)求證：DE與⊙O相切；例2、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，

點(diǎn)E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC.連結(jié)BD，過點(diǎn)D作DH⊥BF于點(diǎn)H.∵DE與⊙O相切，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF與△FDB是等腰三角形，∴HD＝

＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5，答：⊙O的半徑是5.回顧與思考例2、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，

點(diǎn)E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC.