安徽省亳州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說(shuō)法中正確的是()A.若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|B.模為0的向量的方向是不確定的C.向量就是有向線段D.任意兩個(gè)單位向量的方向相同【答案】B【解析】a與b方向不同但模相等時(shí)，a≠b，故A錯(cuò)誤；模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，故B正確；有向線段是向量的幾何表示，是個(gè)圖形，而向量是帶方向的量，不是有向線段，故C錯(cuò)誤；任意兩個(gè)單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，故D錯(cuò)誤．2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,且a與b的夾角為π6,則(a+b)·(2a-b)等于(A.12 B.-32 C.-12 【答案】A【解析】∵|a|=1,|b|=3,a與b的夾角為π6∴a·b=1×3×cos∴(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=2+32-3=3.已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值為()A.3 B.－3 C.0 D.2【答案】A【解析】由平面向量的基本定理，得則①－②得x－y＝3.4.設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，從而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.5.已知A，B，C為三個(gè)不共線的點(diǎn)，P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若PA＋PB＝PC＋AB，則下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部 B.點(diǎn)P在△ABC外部C.點(diǎn)P在直線AB上 D.點(diǎn)P在直線AC上【答案】D【解析】因?yàn)镻A＋PB＝PC＋AB，所以PB－PC＝AB－PA，所以CB＝AB＋AP，CB－AB＝AP，即CA＝AP.故點(diǎn)P在邊AC所在的直線上．6.已知A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式x2＋x＋＝0成立的實(shí)數(shù)x的取值為()A.0 B.1 C.－1 D.2【答案】C【解析】∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，即＝－x2－(x－1)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.當(dāng)x＝0時(shí)，x2＋x＋＝0，此時(shí)B，C兩點(diǎn)重合，不合題意，舍去.故x＝－1.7.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，且滿足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，則·的取值范圍是()A.[－3，－1] B.[－3,1] C.[－1,1] D.[1,3]【答案】A【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線，垂直于AB所在的直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，A(0,0)，D.∵滿足＝＝λ，λ∈[0,1]，∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，·＝·＝＋×(1－λ)＝λ2＋λ－3＝2－.∵λ∈[0,1]，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為λ＝－，則函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增，故當(dāng)λ∈[0,1]時(shí)，λ2＋λ－3∈[－3，－1]，即·的取值范圍是[－3，－1]．8.小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為(15－15)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為()A.20m B.30m C.20m D.30m【答案】D【解析】由題意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°所以∠ACM＝30°在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝在△ACM中，由正弦定理得AMsin30°＝所以CM＝AM·sin45°sin在Rt△DCM中，CD＝CM·sin60°＝AB·sin45°·sin60°sin15°·二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，設(shè)＝2a，＝b，則下列結(jié)論正確的是()A.|a＋b|＝1 B.a⊥b C.(4a＋b)⊥b D.a·b＝－1【答案】CD【解析】分析知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角是120°，故B選項(xiàng)中結(jié)論錯(cuò)誤；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A選項(xiàng)中結(jié)論錯(cuò)誤；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C選項(xiàng)中結(jié)論正確；a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D選項(xiàng)中結(jié)論正確．10.下列各對(duì)向量中，不共線的是()A.a＝(2,3)，b＝(3，－2) B.a＝(2,3)，b＝(4，－6)C.a＝(，－1)，b＝(1，) D.a＝(1，)，b＝(，2)【答案】ABC【解析】A，B，C中各對(duì)向量均不滿足共線向量定理，D中b＝a，兩個(gè)向量共線．11.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且b=3,bsinA=3acosB,sinC=2sinA,則()A.B=π3B.a=C.△ABC的面積S=33D.△ABC的外接圓半徑R=3【答案】ABD【解析】A項(xiàng)中,∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB,∵A為△ABC的內(nèi)角,∴sinA>0,∴tanB=3∵0<B<π,∴B=π故A正確.B項(xiàng)中,∵sinC=2sinA,∴c=2a.由選項(xiàng)A知B=π3,又b2=a2+c2-2accosB∴a2+(2a)2-2a·2a·12∴a=3,c=23故B正確.C項(xiàng)中,S△ABC=12acsinB=12×3×2D項(xiàng)中,2R=bsinB=23,則R=3.故12.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a≠c，tanB＝2，△ABC的面積為2，則b2|a-c|可能取到的值為()A.4 B.2 C.4 D.2【答案】AC【解析】因?yàn)閠anB＝2，所以cosB＝，sinB＝，又S＝acsinB＝2，所以ac＝6，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4＝(a－c)2＋8，所以b2|a-c|＝(a-c)2+8|a-c|＝|a－c|＋8|a-c|≥4當(dāng)且僅當(dāng)|a故b2|a-c|的最小值為4，可能取到的值為AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，BC＝，則AC的值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】由余弦定理可知cosA＝cos120°＝＝＝－，解得AC＝2或AC＝－7(舍去)．14.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶3,則A=【答案】30°【解析】∵B=2A,∴sinB=sin2A,∴sinB=2sinAcosA,∴由正弦定理,得ab∴12cosA=1又0°<A<180°,∴A=30°.15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB·AF＝，則AE·BF的值是________．【答案】【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1).可設(shè)F(x，2)，因?yàn)锳B·AF＝(，0)·(x，2)＝x＝，所以x＝1，所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.16.在△ABC中，a＝，A＝60°，求3b＋2c的最大值________．【答案】2【解析】由正弦定理知，asinA＝bsin因?yàn)閍＝，A＝60°，所以bsinB＝csinC＝所以b＝2sinB，c＝2sinC，所以3b＋2c＝6sinB＋4sinC＝6sinB＋4sin(60°＋B)＝6sinB＋4＝8sinB＋2cosB＝2sin(B＋θ)，其中tanθ＝，因?yàn)?°＜θ＜30°，0°＜B＋θ＜150°，當(dāng)B＋θ＝90°時(shí)，3b＋2c取得最大值，為2.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（12分）已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.【答案】解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝＝2.當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝＝2.綜上可知，|a－b|＝2或|a－b|＝2.18.（12分）已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，與b同向的單位向量為e.(1)求a·b；(2)求a在b上的投影向量．【答案】解(1)a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10.(2)a在b上的投影向量為|a|cosθe＝e＝－e＝－e.19.（12分）已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b與c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夾角的大小.【答案】解(1)∵a∥b,∴3x-4×9=0,解得x=12.∵a⊥c,∴3×4+4y=0,解得y=-3.即b=(9,12),c=(4,-3).(2)設(shè)m與n的夾角為θ.∵m=2a-b=(-3,-4),n=a+c=(7,1),∴cosθ=m·n|∵θ∈[0,π],∴θ=320.（12分）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且bsinA=3acosB.(1)求B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.【答案】解(1)∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB.∵A為△ABC的內(nèi)角,∴sinA>0,∴tanB=3,∵0<B<π,∴B=π3(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a.由(1)知B=π3,∵b2=a2+c2-2accosB∴a2+(2a)2-2a·2a·12=∴a=3,c=23.21.（12分）已知△OAB中，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB的一個(gè)靠近B的三等分點(diǎn)，設(shè)AB＝a，AO＝b.(1)用向量a與b表示向量OC，CD；(2)若OE＝OA，求證：C，D，E三點(diǎn)共線．【答案】(1)解因?yàn)锳B＝a，AO＝b，所以O(shè)C＝OA＋AC＝－a－b，CD＝CB＋BD＝CB＋BO＝CB＋(BA＋AO)＝2a＋(－a＋b)＝a＋b.(2)證明因?yàn)镃E＝OE－OC＝(－b)＋a＋b＝a＋b＝CD，所以CE與CD共線，又因?yàn)镃E與CD有公共點(diǎn)C，所以C，D，E三點(diǎn)共線．22.（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知sinC