橢圓中的“類切割線定理”——年考四川卷理科第20題【題現(xiàn)y(年全高四卷科20題)已橢:的個(gè)焦點(diǎn)與短a軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直l:－+3與橢E有且只有一個(gè)公共T.（I）求橢E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（II）是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平于O與橢圓E交于不同兩點(diǎn)A、且與直線l交于點(diǎn)P.證：存在常數(shù)得2PA|PB|，求【情述在高考中解析幾何綜合題的地是無(wú)人可以撼動(dòng)的論是四川卷還是其它省市卷或全國(guó)卷，解答題中必有它的身影，并且往往還是以壓軸倒數(shù)第的身份出現(xiàn)．究其原因是在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位決定的析幾何倡導(dǎo)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題把代數(shù)的知識(shí)和方法系統(tǒng)地用于研究幾何之中形結(jié)合的思想和方法使代數(shù)何獲得統(tǒng)一通過(guò)解析幾何學(xué)習(xí)可以使學(xué)生對(duì)已學(xué)識(shí)融會(huì)貫通數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來(lái)高合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力同時(shí)系統(tǒng)地掌握解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)也會(huì)為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．就全國(guó)高考四川卷中的解析幾何綜合題而言，近三年的理科試題都位于整卷第0題位置統(tǒng)一以直線與橢圓的位置系為素材要考查直線圓曲線與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力運(yùn)求解能考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸類整合等數(shù)學(xué)思想方法，并考查數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性與靈活性．從考查內(nèi)容看試同樣以兩問(wèn)形式進(jìn)行設(shè)置第問(wèn)一般求橢圓的方程”，這一問(wèn)都是送分題往是要求考生練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2013年已橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，橢圓過(guò)定點(diǎn)，求橢圓的離心”；年已知橢圓的焦距，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方”年已橢圓的離心率，過(guò)特殊點(diǎn)的特殊直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)（本質(zhì)是橢圓過(guò)定點(diǎn)圓方等由此可見(jiàn)，今年的第一問(wèn)設(shè)置較前幾年難度有所增加難在于一問(wèn)中就要?jiǎng)佑弥本€與橢圓聯(lián)立方程組，使用判別式，形中增加了運(yùn)算量．試題的第二問(wèn)才是試題或者整卷中亮點(diǎn)，也是點(diǎn)，是考生發(fā)揮能力舞臺(tái)．這一問(wèn)往往以定量或定性的方法研究直線與橢圓間形成的某指定幾何元素或結(jié)構(gòu)間的關(guān)系求考生靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸準(zhǔn)進(jìn)行運(yùn)算與求解嚴(yán)密進(jìn)行推理與論證如2013年過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交Ｍ兩點(diǎn)，求線段MN上足

211的點(diǎn)跡|AQ|AM|AN方程”，要求考生熟練運(yùn)用韋達(dá)理、弦長(zhǎng)公式，正確處理參數(shù)關(guān)系，從定量運(yùn)算中探索動(dòng)第1頁(yè)共7頁(yè)

222222點(diǎn)的定性特征；年F為橢圓左焦點(diǎn)T為準(zhǔn)線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F作TF垂線交橢圓于點(diǎn)PQ證明OT平線段，求

|TF||PQ|

最小值，求考生熟練運(yùn)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、斜率公式，除作定性分析外，還會(huì)用基本不等式對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行最值求解年“是否存在與定點(diǎn)P不的定點(diǎn)

|||PA|恒成立求考生熟練運(yùn)用韋達(dá)定理的同時(shí)，||對(duì)考生轉(zhuǎn)化與化歸的能力提出較高要求．相比較而言，今年的第二問(wèn)回到了韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式”的查上，特別是動(dòng)因的減少(定線上已知斜率的動(dòng)點(diǎn))，降低了試題的思維強(qiáng)度．雖然今年是全國(guó)高考四川省自主命題的最后一年，解析幾何綜合題延續(xù)了自己的風(fēng)格，但在今后的全國(guó)高考中析幾何綜合題的難度依然不會(huì)降低查重點(diǎn)依然會(huì)聚焦在定點(diǎn)定問(wèn)題范最問(wèn)題等問(wèn)題上核心方法依然“而不”在進(jìn)行弦長(zhǎng)斜率、距離等幾何量的計(jì)算過(guò)程中巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，只是考查內(nèi)容有可能從橢圓“一枝獨(dú)，發(fā)展到與拋物線爭(zhēng)奇斗艷．【點(diǎn)讀在《年通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理）考試說(shuō)明》中，對(duì)圓錐曲線的考試要求別是直與圓錐曲線的位置關(guān)系及其簡(jiǎn)單應(yīng)”要求達(dá)到Ｃ（掌握次要能夠?qū)λ械闹R(shí)內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)證明利用所學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、研究、討論，并且加以解決．而普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（課標(biāo)版理科數(shù)學(xué)》中，則明確表述為“①掌握橢圓拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；②了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)因此在錐曲線學(xué)習(xí)中，重點(diǎn)該把握以下幾個(gè)方面、握橢圓和拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、掌握直線與圓錐曲線相交的解題一般步驟、記弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到線的距離公式悉常見(jiàn)的平面幾何性質(zhì)及其等價(jià)結(jié)論確對(duì)幾何特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化、會(huì)用坐標(biāo)、方程等代數(shù)知識(shí)表示常見(jiàn)的幾何性質(zhì)和幾何量，如距離、角、垂直、面積等能熟練準(zhǔn)確地進(jìn)行代數(shù)式的化簡(jiǎn)、變形、計(jì)算7、解函數(shù)、方程和不等式的系、理解解析思想和方法.＋By＋＝0首先，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．從代數(shù)角度講，就是解方程，，y)＝一步就是解一元二次方程＋bx＋＝0因此，韋達(dá)定理的使用是最常見(jiàn)的解題手段．只要是有關(guān)圓錐曲線弦的問(wèn)題會(huì)涉及根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求體代入的技巧和方法．比如，弦長(zhǎng)問(wèn)題，＝1k＋x)－4xx，以避開求交點(diǎn)坐標(biāo)的繁雜計(jì)算，112這在近幾年的四川考題中都有體現(xiàn)．第2頁(yè)共7頁(yè)

22222222222222222224222222222222222222222422再者設(shè)與消元的問(wèn)題．將幾問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程中選合理的變?cè)?，設(shè)點(diǎn)還是設(shè)斜率，合理的設(shè)元直接影響著解題的進(jìn)程．比如2014年考題除設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)外，還可以設(shè)直線PQ的程x=－2)計(jì)算過(guò)程各有千秋．最后化化歸的問(wèn)題代方法研究幾何問(wèn)題特征的合理轉(zhuǎn)化也很重要如年“

||||”，方的答案是依據(jù)平行線性質(zhì)定理提供的，實(shí)際上按三角形|內(nèi)角平分線性質(zhì)處理，解法更優(yōu)越．【題津?qū)τ?016四川卷理科第20題，第一問(wèn)屬基礎(chǔ)題，由條兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)點(diǎn)，可得，間等量關(guān)系，再由條“直線l:－+3與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”，用判別式等于零，可得a,b的量關(guān)系，結(jié)合

=b

+

，可求得答案．第二問(wèn)探究在”一PTPA如何求？因?yàn)辄c(diǎn)標(biāo)已知，只要知道點(diǎn)坐標(biāo)即可求，的算然要通過(guò)韋達(dá)定理處理．注意到直線l與l與1k)都已知，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，PTk)(x－x),|=(1+k)|(－－)|=2PPAPk)|x－x+x)x+xx．二是點(diǎn)標(biāo)從何來(lái)？既可接設(shè)點(diǎn)標(biāo)，也可設(shè)直線l2PAB程，求得P點(diǎn)標(biāo)．解由意，eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)C為角三角形，所以x所以橢方為2bb

22

a.將直線l:y=－，代入整理得x因?yàn)閘橢E只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以=12

b

，得b

∴E:

xy6T點(diǎn)坐標(biāo)為(II)方一因點(diǎn)直y=+3上，設(shè)其為,3－),所以PT

－1)

](－

－．由k

，l'平行，得直lx+63m),代入橢的程，得－)+3m－12m+8=0,設(shè),兩橫坐標(biāo)為,x，＋＝－2)，＝3m－m+8AB5所以PA|=(1+)|(m－)(mx－m(m2)+－12m－2)．AB即PT|，第3頁(yè)共7頁(yè)

2222AB22A22222220222222AB22A2222222022故存在，得|PAPB|．方法二：設(shè)直線+(，由

1x,2

2n得點(diǎn)標(biāo)(,1)所以PT將直線l橢E方程，得3x+4－44(n－3)設(shè),兩橫坐標(biāo)為,x，＋＝，xx＝，AAB3n2所以PA|=(1+2－x)(2－2n210=|()－x＋)+|=n即PT|，

故存在，得|

|PB．方法一、二的優(yōu)劣在于設(shè)元的角度，一個(gè)是設(shè)點(diǎn)，一個(gè)是設(shè)直線方程，從解題過(guò)程看，無(wú)太大的差異，相對(duì)而言，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)算量要少一點(diǎn)．但兩種方法的核心內(nèi)容不在設(shè)，而是弦的計(jì)算方式這是問(wèn)題的破口里的弦長(zhǎng)計(jì)算既不是用一般兩點(diǎn)間的距離公式(x)12

2

y)12

2

，也不能用直線被圓錐曲線的弦式＝1k(x＋)－x（，不是要我們理解兩點(diǎn)間距離公式與長(zhǎng)1212公式的聯(lián)系，“弦長(zhǎng)的點(diǎn)泛化為在特定直線”的點(diǎn)，即AB＝1＋k·|－簡(jiǎn)化12計(jì)算過(guò)程，這就是合理運(yùn)算途徑的選擇．當(dāng)然，如果能從線段長(zhǎng)度乘積（PA）的運(yùn)算形式，聯(lián)系到直線的參數(shù)方程，則運(yùn)算過(guò)程會(huì)更簡(jiǎn)捷．方法三：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為(x－)，直線l程為00

(t為參數(shù)，代入橢的程，整2t+4+－，0設(shè),兩對(duì)應(yīng)的參數(shù)t,t，tt＝A

(x－2)

．所以PA＝|t5(x－A0(以下略)

．實(shí)際上，關(guān)于弦長(zhǎng)|＝1k·|－x的運(yùn)用還是比較廣泛的．比如，年川省12第4頁(yè)共7頁(yè)

22222222222222222222理科卷第20題的

21|AQAM

，因?yàn)锳、、三共線，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化21為xx

．再比如，2016年川省文科卷第20題的MC，2016年全國(guó)II理卷第題中的2|AMAN等有相似處理方法．【術(shù)展從問(wèn)題結(jié)論的形式|2PB”我們很容易聯(lián)想到平面幾何中關(guān)于圓的幾何性質(zhì)—切線定理這然可看成是該定理在橢圓中的拓展由橢圓是由圓進(jìn)行伸縮變換所得，所以非平行的等長(zhǎng)線段在同一伸縮變換作用下所得線段長(zhǎng)度是不一定相等的也是說(shuō)圓的切割線定理中的割線任意性橢圓中會(huì)受到一定條件的限制就橢圓的類割線定．定

已知傾斜角為線l與圓:1

xy相于點(diǎn)，直線l上的b任意一，傾斜角為線l與圓E交于不同的兩點(diǎn)AB，則2PT

asina

PA|

．m證：設(shè)過(guò)點(diǎn)(m)傾斜角線數(shù)方程為(t為參數(shù))，sin代入橢圓的方程，整理得(cosasinm+n+bm－ab，所以PAPB＝

nsin

m

b

．同理，可得PT＝

anasincos

，故

sincoscos

||．說(shuō)：直線l，的斜率分別為k，，則|PT12

kk

PA|PB|．推

過(guò)點(diǎn)P兩條直線ll分別與橢圓E12

y于A,B與CD兩a點(diǎn)，若直線l，l的斜率分別為k，，則|PAPB122

(1)(1)

PC|PD|．特別地，當(dāng)k+k＝0時(shí)有||PCPD|．正是2016年四川文科卷第201題的命題依據(jù)．(年全高四卷科20題已知橢圓：第5頁(yè)共7頁(yè)

2ya2

的一個(gè)焦點(diǎn)

22222222221與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)(3,)2

在橢圓E上(Ⅰ)求橢圓的程；(Ⅱ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且率為的直線l與圓E交不同的兩點(diǎn)A線AB的點(diǎn)為，直線OM與圓E交C，D，證明：MAMBMC．【步拆基于以上定理、推論及思想方法，我們可以命制如下數(shù)學(xué)問(wèn)題，供大家參考．問(wèn)１

y已知直線l:y與橢圓:有只6

y有一個(gè)公共點(diǎn)T，直線l上一點(diǎn)P作斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，存無(wú)多個(gè)點(diǎn)，使得

|PT|A|常k的值．

Ex問(wèn)2如，橢圓＋＝1(a＞b＞0)右焦點(diǎn)為

B

O

F

D

F(1,0),離心率為

分別過(guò)O,F的條弦交于點(diǎn)E(異于A,C兩),OE=EF.(1)求橢圓的方程(2)記直線AC與BD的交點(diǎn)為Q，求證|問(wèn)3過(guò)M－2)作拋物線x的線MA切為（異于原點(diǎn)O)，直線l過(guò)M與物線交于兩點(diǎn)與線于點(diǎn)N試:求出定值；若不是，說(shuō)明理由．【學(xué)議

MN的值是否為定值？若是，MB解析幾何綜合題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一對(duì)解題中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題平教學(xué)中，主要應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題．運(yùn)算是基礎(chǔ)析何綜合題往涉及大量含有字母的復(fù)雜代數(shù)式運(yùn)算確無(wú)誤的運(yùn)算是解決解析幾何綜合題的基礎(chǔ)性問(wèn)題堂學(xué)中要舍得花時(shí)間放在運(yùn)算上僅師要有板演運(yùn)算的過(guò)程還要求學(xué)在課堂上進(jìn)行運(yùn)算求解為運(yùn)算是學(xué)生自己的事課后的事都錯(cuò)誤的因?yàn)槿绱朔钡拇鷶?shù)式運(yùn)算是初中教學(xué)沒(méi)有要求沒(méi)有進(jìn)