第九單元不等式

9.1不等關系與不等式

1.（2021?江西六校聯(lián)考）有外表一樣，重量不同的四個小球，它們的重量分別是a,b,c,

d,己知。+〃=c+d,a+d>b+c,a+c<b,則這四個小球由重到輕的排列順序是（）

A.d>b>a>cB.b>c>d>a

C.d>b>c>aD.c>a>d>b

答案A

解析a+b=c~\~d,a+d>b+c,?'?a+d+（a+b）>b+c+（c+d）f即a>c..;Xd.

又a+c<b,???〃<。綜上可得，冷故選A.

2.（2021?鷹潭三模）設a,。,c,d為實數(shù)，且a>〃>O>c>d,則下列不等式正確的是（）

A.c2>cdB.a-c<b-d

cd

C.uc>bdD.-------->0

ah

答案D

解析已知a>6>0>c>d,對各選項逐一判斷：

選項A：因為0>c>d,由不等式的性質(zhì)，兩邊同乘負數(shù)，不等式變號，可得所以

選項A錯誤.

選項B：取a=2,0=l,c=—l,d=—2,則。一。=3,匕一￡/=3,此時a—c=Z?—d,所以選項

B錯誤.

選項C：取a=2,人=l,c=—1,d=—2,則ac=—2,6"=-2,此時ac=兒/，所以選項C錯誤.

cdcd

選項D：因為a>Z?>0,0>c>d，所以ad<bd<he,所以一>—，即----->0,所以選項D

abah

正確.

故選D.

3.（2021?重慶四校聯(lián)考）若/>=&+Ja+7，Q=+Ja+4（a20）,則P,Q的大

小關系是（）

A.P<QB.P=Q

C.P>QD.的大小由的取值確定

答案A

解析因為產(chǎn)―0?=2&Ja+7_2V^Ja+4=2，a2+7a—2142+7”+12<0,

P,Q>o,所以P<Q,故選A.

4.（2021?石家莊模擬）如圖所示，4個長為“，寬為b的長方形，拼成一個正方形ABC。,

中間圍成一個小正方形4SGQ,則以下說法中錯誤的是（）

A.(a+b)2>4ab

B.當。=6時，4,Bi,Ci,2四點重合

C.(a-b)2<4ab

D.(a+b)2>(a-b)2

答案C

解析對于A,由題圖可知正方形ABCD的面積不小于4個長方形的面積之和，即有

（a+b）2>4ab,故A正確；

對于B,正方形的面積為（“-6）2,當時，正方形AIBIGQ的面積為，A\,

Bi,Ci,功四點重合，故B正確：

對于C,結(jié)合圖象正方形4SGZZ的面積與4個長方形的面積之和大小關系不定，

因此C選項錯誤.

對于D,結(jié)合圖形可知（a+b）2>（a?）2,且當q=b時Ai,B\,C^,Oi四點重合，故D正確；

故選C.

cd

5.（2021?湖北重點中學聯(lián)考）已知三個不等式：①次?>0；②—>一?bc>ad,則以

ab

其中兩個命題為條件，剩下的一個命題為結(jié)論，能得到幾個正確的命題（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

答案D

解析：由于仍>0,在兒>〃兩邊同除以得￡〉,，故①③二②成立；

ab

cd

由于出?>0,在一〉一的兩邊同乘以a。，得故①②=③成立；

ab

由￡<4,移項通分得'一""〉0,結(jié)合力c>ad,得分母a^>0,故②③=①成立.

ahab

綜上所述，以其中兩個作條件，余下的一個作結(jié)論，可組成3個真命題.

故選D.

6.已知。，5為實數(shù)且a>人>0,則下列所給4個不等式中一定成立的序號是（)

102方一

①<-----②ZOZZ"-??>20222022

a—1b-\

③。+〃+2>2\[a+2\lb④—H—>-----

ab

A.②④B.①③C.②③④D.①②③④

答案C

解析由。>人>0取a=2,b=~,可得」一=1,-L=-2,①錯，

2a-\b-\

由a>匕>0可得a—2022>力一2022,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得2022所2。22>2022"2。22,

②對；

由基本不等式可得4+，b+\>2y/b<又a>b>0,...等號不同時成立，

a+b+2>2>/a+2yfb，③對，

(?+/?)(-+-)=1+-+-+1>2+271=4,當且僅當。=b時等號成立，又。>匕>0,

abab

,.,11、.114

?I(a+/?x)(—l—)>4,—i—>----,④對.L

ababa-vb

故選C.

7.(2021?中山高三模擬)已知實數(shù)a,b,c滿足b+c=6—4o+3a2,c-h=4~4a+a2,則

a,〃，c的大小關系為()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<c<aD.b<a<c

答案A

解析c—b=4—4。+白2=(4—2)2>0,又b+c=6—44+3〃，c—b=4—4o+〃2,

17

(a—)2+->0

兩式相減得2〃=2+2〃2即6=1+。2,.*./?—a=d?2+1-a=24

h>a,〃〈把c.故選A.

8.(2021?株洲高三模擬)若Ovavl,b>c>\,則()

b

(-)a>1c—ac

A.CB.：二〉.C./iD.logcZ7>log/xz

答案A

(2尸>(2)。=1

解析對于A,,?力>c>l,...yl.YOvqvl,則。。,故正確.

對于B，若:貝!j歷一ac,即。(c—這與6>c>l矛盾，故錯誤?

,]a]

對于C,*.*0<a<1,/.tz—1<0.**b>c>\,.\d>bf故錯誤.

對于D,0<a<1,h>c>1>log(zz<log//z,故錯誤.

故選A.

9.己知貝1J5/+/+24ab+2a.(用或填空)

答案>

解析因為5a*+b2+2—4ab—2a—(2a—by+(a—1)~+1,

又(2”一/?尸eo,(。一NO,所以5a2+/+2一4他一2a>o,所以

5a~+b~+2>4-uh+2a>

故答案為：>.

10.根據(jù)條件求范圍.

(1)已知一1<%<4,2勺<3,則x-y的取值范圍是.

(2)-\<x+y<4,2<x-y<3,則3x+2y的取值范圍是

a

(3)已知3<a<8,4<6<9,則匕的取值范圍是.

3231

(-,2)

答案⑴(-4,2)(2)22.(3)3

解析(1)—1<x<4,2<)<3,?,.一3<—y<—2,/.—4<x—y<2.

\m+n=3,\m=T

(2)設3x+2y=m(x+y)+〃(x—y),貝“工彳

m—n=2,|

ln-2,

即3x+2y=|(x+y)+^(x—y),又—l<x+y<4,2<x~y<3,

551335123323

?\—]</(x+y)<10,l<2(x—y)<2，-2<](x+y)>)<E，即一,<3%+2y<g,

(”)

，3x+2y的取值范圍為22.

⑶：4<b<9,又3<a<8,，*3<!<1乂8,即g<%2.

11.（2021.武漢模擬）已知〃GN*，則下q一尸與2冊的大小關系是________

\Jn+l

1

答案而

1J.+1+冊/----T廠.____L

解析不匚心=兩京同Q肅詢=6二+公，因為時>〃，

所以力+1+G>-Jn+G=2G，即~JnT\~~4n>,

故答案為:r——~戶＞2品.

。〃+17n

12已知：3va+X4,0</?<1,求下列各式的取值范圍.

(1)a；

(2)a-b；

⑶*

【解析】(l)：3<a+K4,又：0<Kl,A-K-^O,：.2<a+b+(-h)<4,即2<a<4.

(2)VO</?<1,：.~\<-b<0.又：2<a<4,Al<a~b<4.

(3)VO</?<1,；.，，XV2<iz<4,.?令2.

13.先后兩次購買同一種物品，可采取兩種不同的方式，第一種是不考慮物品價格的升降，

每次購買該物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買該物品所花的錢數(shù)

一定.甲、乙二人先后兩次結(jié)伴購買同一種物品，其中甲在兩次購物時采用第一種方式，乙

在兩次購物時采用第二種方式.己知第一次購物時該物品單價為Pi,第二次購物時該物品單

價為P2(P產(chǎn)P2).甲兩次購物的平均價格記為。，乙兩次購物的平均價格記為。2.

(1)求。，。2的表達式(用四，P2表示)；

(2)通過比較。，&的大小，說明哪種購物方式比較劃算.

解析(1)設甲兩次購物時購物量均為機，則兩次購物總花費為P1，〃+P2m

購物總量為2m,平均價格為Q=PM+「2m=及士耳.

2m2

nn

設乙兩次購物時用去錢數(shù)均為小則兩次購物總花費2〃，購物總量為一+一，

PiPi

In2ptp2

平均價格為必一JL+JL—P1+P2

PiPi

綜上，八中-2

2Pl+P2

⑵a一Q==（Pi+P2）2-4PR=（P「%）2>o

2P1+P225+P2）2（P1+P2）

??-Q1>Q

由此可知，第二種購物方式比較劃算.

14.（2021.杭州四校聯(lián)考）現(xiàn)有A,B,C,。四個盛滿水的長方體容器，A,B的底面積均為

a2,高分別為a,b,C,。的底面積均為層，高分別為a,b（m幼）.現(xiàn)規(guī)定一種游戲規(guī)則，

每人一次從四個容器中取兩個，盛水多者為勝，問先取者有無必勝的把握？若有的話，有幾

種方案？

【解析】（1）若先取A、B,后者只能取C、D,

則有（4+力力_（ab2+ZP）=a2（a+6）/2（a+b）=（a+b）2（a-b）,顯然（°+。）2>0,而a,Z?的大小不定，

即3+份2（小6）正負不確定，所以這種取法沒有必勝的把握；

（2）若先取A、C,后者只能取8、D,則有33+比>（加2+加）=432+加A如落由尸㈠+從乂公份,

顯然42+按>0,而a,b的大小不定,即（標+按）0力正負不確定，

所以這種取法沒有必勝的把握；

（3）若先取A、D,后者只能取8、C,則有

（〃+匕3A（層匕+q從尸伍+力/也匕+按）_而伍+3=3+協(xié)（“_力2,

又葉b,a>0,b>0,必有（a+/>）（a?）2>0,即a3+〃3>“2〃+a〃2,

所以先取A、。是唯一必勝的方案，

綜上，先取A、。是必勝的方案，一種.

9.2一元二次不等式及其解法

1.已知集合4={加2—%—2<0},5={犬僅2+3]<0},則AC5等于（）

A.（0,2）B.（-1,0）C.（-3,2）D.（-1,3）

答案B

解析A={x[—l<x<2},B={x[—3<x<0},

.,.AAB=(-1,O).故選B.

(t-x)(x--)>0

2.若0々<1,則關于x的不等式t的解集為()

1C.{xk垢〉f}D.{x"<||

答案D

(x-t)(x--)<or,.1

解析原不等式可化為t,.??原不等式的解集為卜j.

故選D.

3.已知不等式一/+4年”2—3”在R上有解，則實數(shù)q的取值范圍為()

A.{a|-l<?<4}B.{a|-l<?<4)

C.{〃|盛4或好一1}D.{a\~4<a<l}

答案A

解析由題意知，原不等式可化為一(x—2)2+4Za2-3a在R上有解，...a2—3aW4,即(a—4)(“

+1)<0,.?.一￡*.故選A.

4.某地每年銷售木材約20萬立方米，每立方米價格為2400元，為了減少木材消耗，決定

按銷售收入的僅征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少|(zhì)f萬立方米.為了既減少木材消

耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則r的取值范圍是()

A.{r|l</<3}B.{t\3<t<5}

C.{t\2<t<4}D.{r|4</<6}

答案B

解析設按銷售收入的儀征收木材稅時，稅金收入為y萬元，

(20--)

貝l」y=24005x/%=60(8/-r2).令)2900,即GOig-/2巨900.解得3W日5.故選B.

一”“In(x+1)

5.函數(shù)丫=、_*2_3乂立的定義域為()

A.(一4,-1)B.(-4,1)

C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+1>0,

解析由解得一1<X<1.故選C.

—X2—3x+4>0,

6.若〃>0,Z?>0,則不等式一的解集為（）

f111

B,卜一*%/

仁卜卜一!或日D；x|一於<0或0a|

答案A

1、

%v-g或x>0,

解析原不等式可化為十；

可得，

x〈0或

故不等式的解集為卜,一￡或x1［.故選A.

7.不等式的解集為（）

A.{x|x<—2或x>3}B.{x|x<—2或l〈x<3}

C.{x|—2<x<1或x>3}D.{x|—2<x<1或1<x<3}

答案C

ellx2—x—6(x—3)(x+2),,—L、，/口

解析一j—>0=JT]>0=^>(x+2)(x—l)(x—3)>0,由數(shù)軸標根法，得一2<xvl

或x>3.故選C.

8.若不等式/+以一2>0在區(qū)間［1,5］上有解，則a的取值范圍是（）

(------，+oo)

A.5

C.(1,+oo)

答案A

解析由/=/+8>0知方程恒有兩個不等實根，又因為》因=—2<0,所以方程必有一正根,

一負根，對應二次函數(shù)圖象的示意圖如圖.

所以不等式在區(qū)間［1,5］上有解的充要條件是大5）>0,

解得〃>一多23故選A.

9.設函數(shù)/（力=如2-加—1,若對于任意的xe{x［l<x<3},/（x）<+4恒成立,

則實數(shù)加的取值范圍為（）

A.m<—B.0<m<—C.加<0或0<m<9D.m<0

777

答案A

解析若對于任意的xe{x［l<x<3},/(6<—加+4恒成立,

即可知：twC-mx+m-5<0在上恒成立，

令g(x)=m/一如+加-5,對稱軸為x=］.

當〃2=0時，-5<0恒成立；

當機<0時，有g(x)開口向下且在［1,3］上單調(diào)遞減，在［1,3］上

g(x)111ax=g(l)=m一5＜0,得利＜5,故有，九＜0；

當加>0時,有g(x)開口向上且在1,3］上單調(diào)遞增，.??在［1,3］上

8(制2=80=7相—5<(),；.0<〃2<2；

綜上，實數(shù)m的取值范圍為機<2,故選A.

7

10.關于x的不等式一%2一"1+3>°的解集為(一3,1),則不等式+工一3<°的解集

為().

答案：D

解析：由題意知，一%2-av+3>°,兩邊乘上一］,可轉(zhuǎn)化為％2+〃％-3<0,

所以-3,1是關于X的方程％?+"-3=°的兩根，可得一3+1=a,解得a=2,

3

故所求不等式為2%2+43<0,即(2x+3)(l)<°解得《<人<

3

(--4)

所以不等式的解集為乙，故選D.

x+2

U.不等式匚7>2的解集為

答案國1<%<4}

y—2y—|—2—2Y-14—X

解析原不等式可化為曰一2>。，即yj->。，即1r。，

即(x—l)(x—4)<0,解得la<4,.?.原不等式的解集為{x|la<4}.

11.若對任意機右［-1,1］,函數(shù)於)=/+(，〃-4)x+4—2”?的值恒大于零，則x的取值范圍

是.

答案(一8,1)U(3,+oo)

解析Xx)=x2+(/w—4)x+4—2/w=(x—2)/n+x2—4x+4.

令g("?)=(x—2),”+x2—4x+4,由題意知在［-1,1］上，g(〃?)的值恒大于零，

1—%—2-1+%2_4x+4>0>

1,,,=>x<l或x>3.

［gl=x—2x1+X2—4x+4>0

12.不等式/+8卡沙(x+y)對于任意的x,>SR恒成立，則實數(shù)2的取值范圍為.

答案一88當

解析因為f+8狀沙(x+y)對于任意的x,yWR恒成立，

所以/+8)2—初(x+y)K)對于任意的x,yCR恒成立，

即/—//+(8一2))2之0恒成立，

由二次不等式的性質(zhì)可得，

d=A2y2+4(A-8)y2=y2(A2+4A~32)<0,

所以(2+8)(/—4)W0,解得一8夕".

13.若不等式a-4x—2x+l>0對一切xGR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

1、

(z―,+oo)

答案4

、2、—1/1\x/1\Xz1

a>-—=(-)-(-)(-)=r

解析不等式可變形為，4'24,令2,則>0.

^(-)x-(-)x-(t-i)2+l?.

24=t—p=24因此當t=］時，y取最大值i，

故實數(shù)a的取值范圍是a>1

{x|--<x<2}

14.不等式a/一版+oO的解集是2,對于系數(shù)”，b,c,有下列結(jié)論：

①a>0；②/?>0；③c>0；④a+b+c>0；⑤a—b+c>0.

其中正確結(jié)論的序號是.

答案③⑤

{x|--<x<2}

解析由a^~bx+c>Q的解集為2知〃<(),

；1x2=-1<0,"0.又《=-異2>0,.3).

{x|—<x<2}{x|—<x<2}

—122,，q+〃+cW0,又2,8+c>0,故③⑤正

確.

15.函數(shù)f(x)=x2+2x,若f(x)>a在區(qū)間［1,3］上滿足:

①恒有解，則a的取值范圍為；

②恒成立，則a的取值范圍為.

答案①a<15②a<3

解析①f(x)>a在區(qū)間［1,3］上恒有解，等價于a<f(X)max，

又f(x)=x?+2x且xC［1,3J,當X=3時,f(x)max=15,

故a的取值范圍為a<15.

②f(x)>a在區(qū)間［1,3］上恒成立，等價于a<f(x)min，

又f(x)=x?+2x且xG［l,3］,當X=1時,f(x)min=3,

故a的取值范圍為a<3.

16.已知不等式皿2+3x-2>0的解集為何"尤<2}.

(1)求加，〃的值，并求不等式延2+如+2〉。的解集；

(2)解關于x的不等式62一("+Q)X—帆>。(“cR,且。40).

解析(1)因不等式初儲+3x-2>0的解集為{x［〃<x<2},則加<0,

且"，2是方程m￡+3x-2=0的兩個根，

33

〃+2=1

m=-1

于是得《。m，解得《，，所以根二-1,〃=1,

c2n=i

2n=---

、m

i7

不等式kt2+mx+2>0化為：X2—x+2>0?即(x—萬)？+日>。恒成立，

所以不等式加2_,_/77x+2>0的解集為R；

(2)由(1)知關于元的不等式or?-(〃+。)不一加>0化為：ax2-(l+a)x+l>0,

即(依一1)(%—1)>0,而

當。=0時，一x+l>0,解得x<l,

當avO時，原不等式化為：(x)(x-1)<0,而一<0<1,解得一<x<l,

aaa

所以，當a=0時，原不等式的解集為{尤|尤<1},

當a<0時，原不等式的解集為‘xL<X<l

a

17.已知火用=》+云+°,不等式4x)<0的解集是(0,5).

Vf/U)>o

(1)若不等式組〔/(X+Q<0的正整數(shù)解只有一個，求實數(shù)k的取值范圍;

(2)若對于任意不等式吠x)及恒成立，求r的取值范圍.

解(1)因為不等式｛r)<0的解集是(0,5),

所以0,5是一元二次方程2X2+法+c=0的兩個實數(shù)根，

&=-10,

解得

c=0.

所以外)=2x2—10x.

■/(X)>0J2X2-10X>0

不等式組J(x+%)<。，即.2爐+2區(qū)-10(x+左)<0解得卜<。或x>5,

[-%令〈5―匕

因為不等式組的正整數(shù)解只有一個，可得該正整數(shù)解為6,

可得6<5一七7,解得一29<一1,所以人的取值范圍是］-2,-1).

(2)次x)W2,即t(2x2~10x)<2,

即tx2~5tx—1<0,

當r=0時顯然成立,

Wfrf+5r—Y1<0,,解得一1獰學1所以°<與1；

當A0時，有

/-I--5/1—1<0,

當/<0時，函數(shù).丫=a2—5fx—1在［-1,1］上單調(diào)遞增，

所以只要其最大值滿足條件即可，所以r—5r—14)，解得它一；，即一為《0,

綜上，/的取值范圍是［一〃|

［x2—4x+3<0

18.已知不等式組),0的解集是不等式2x2-9x+a<0的解集的子集，求實數(shù)a

tx2—6x+8<0

的取值范圍.

X2—4x+3<0

解析不等式組x2_6x+8〈。的解集為⑵

9

令g(x)=2x2—9x+a,其對稱軸為X=1,

，只需g(3)=-9+a《),Aa<9.

19.己知函數(shù)，(幻=依2+(1—〃)4—2。—2,其中。為常數(shù).

(1)若對任意的xeR,/4+x)=/4-x),求/(x)<0的解集；

(2)對于任意的xeR都有不等式x-2aZ/(x)成立，求a的取值范圍.

解析(1)對任意的xeR,+=

11_.

所以/(x)關于「4+*+^-"_1對稱，所以；，解得a=2,fM=2x2-x-6,

-----2-----~42a4

由/(x)<0,得2f—x—6<0,解得—g<x<2,所以/(x)<0的解集為

卜I_1<“}.

(2)對于任意的xwR都有不等式x-242五+(1-介:-2〃-2成立，

即52一改一2W0對于任意的xeR都成立,

a=0時，—2W0成立；

fa<0

時，?一以一2〈0對于任意的xeR都成立，則有丁c八，

[(-a)+8a<0

解得—8<tz<0,

綜上，。的取值范圍為—8Wa<0.

20.若不等式一x2+2x+30a2-3a對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析原不等式可化為X?—2x+a2—3a—3K),

?.?該不等式對任意實數(shù)x恒成立，.?/4)，

即4-4(a2-3a-3)<0,即a2-3a-4>0,

解得aW—1或論4,

；.實數(shù)a的取值范圍是{a|aW-l或a%}.

21.已知關于x的不等式2x—l>m(x2—1).

(1)若對于mW[—2,2]不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍;

(2)若對于xC(2,+s)不等式恒成立，求m的取值范圍.

解析(1)設f(m)=(設一l)m—(2x—1),

當mG[-2,2]時，f(m)<0恒成立.

而f(m)在mC[-2,2]時表示線段，當且僅當

Jf(2)<0,f2x2~2x--1<0,①

If(-2)<0H-2X2-2X+3<0.②

由①得與更。等叵

由②得或x>中7

取交集得二^史4岑.

所以X的取值范圍是卜尸邛<x2茅).

2x—1

⑵因為x>2,所以

設2x—l=t(t>3),x2-l=—12+―2t—,3所以m窄卷4t三4-

L；

3

設g(t)=t—j+2,te(3,+oo),顯然g(t)在(3,+8)上為增函數(shù).

所以g(t)>3-1+2=4

所以g(t)>0,所以mWl.

21

22.已知二次函數(shù)/(》)=依2+區(qū)+c,對一切實數(shù)x,不等式恒成立,

且/(x—4)=/(2—力，求函數(shù)的解析式.

b

解析：由/(%-4)=/(2-x)知函數(shù)對稱軸為》=—廢=一1,

「?b=2a,

又?.?1</(I)<1,=即f(y)=a+b^c=V

二.c=l-3a

又,.?x<f(x)=ax2+/.ar2+(￡>-l)x+c>0,:.a>0

△二(2a-l)~-4a(l-3a)=4c/-4Q+1_4Q+12Q2=(4Q-1)“<0

1

X211

4-H—XH—.

24

23.已知函數(shù)/（x）=x24-/n￥—1.

（1）若對于任意的[加，團+l],都有/（x）VO成立，求實數(shù)機的取值范圍;

（2）如果關于x的不等式有解，求實數(shù)〃?的取值范圍；

4

（3）若對于任意的〃?6口，2],/。）<0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。

解析：（1）由題意可得：

f（m）-2m2-1<0

求得一機<0,

/（w+1）=2m2+3m<02

即實數(shù)m的取值范圍為（-立，0）.

2

2

5m

（2）由題意可得：1m>/nin（x）=-^--1,求得〃區(qū)-4,或論-1,

即實數(shù)m的取值范圍為{m|壯-4,或mN-1}.

（3）令g（m）=x?m+f

g（l）=X2+x-l<0

<

num士.-r,門g（2）=X2+2%-1<0

則由題意可得：7,

-1-V5-1+A/5

-----<x<-------

,22一141-

解得I-l-V2<x<-l+V2（可得2<“<

"xI]"<x<-1+V2>

1?

即實數(shù)X的取值范圍為IJ

24.已知關于x的不等式ox2+bx+c）。的解集為{x[2<x<3},求關于x的不等式cF+bx+aV）

的解集A與關于x的不等式cx^-hx+aX）的解集B的交集.

解析由不等式ajr+bx+oO的解集為{x|2<x<3）可知a<0,

且2和3是方程ax^+bx+c^的兩根，由根與系數(shù)的關系可知，=-5,：=6.

由。<0知X0,與=1，

故不等式c￡+fcv+a<0,即爐+%+%0,即爐一沁，），解得或懸，

所以A={xx<1或x*1.

故不等式ex2—Z>x+a>0,即X2—^r+-<0,即X2+TX+7<0.解得一[<x<—

CC0023

所以B=|A-|—11

1

AcB=Jx——<x<——

所以〔2

9.3簡單的線性規(guī)劃問題

x—y+1<0

1.（2021.山東）不等式組《-°八表示的區(qū)域（陰影部分）是（）

x+y-3>0

解析將點（0,0）代入x—y+l<0不成立，則點（0,0）不在不等式x—y+l<0所表示的平

面區(qū)域內(nèi)，將點（0,0）代入x+y—320不成立，則點（0,0）不在不等式x+y—320所表

示的平面區(qū)域內(nèi)，所以表示的平面區(qū)域不包括原點，排除AC；

x-y+l<0不包括邊界，用虛線表示，x+y-3N0包括邊界，用實線表示，排除B.故選

x-2y+2>0

2.將不等式組《'八，表示的平面區(qū)域記為凡則屬于尸的點是（）

x+y<0

A.（1,1）B.（―1,1）C.（-1,-1）D.（1,-1）

答案C

/、fl>0

解析：將點（1,1）代入方程組得J2〉0，故不在區(qū)域廠內(nèi)，

將點（—1,1）代入方程組得《八八，故不在區(qū)域廠內(nèi)，

0=0

3>0

將點（-1,-1）代入方程組得_]<0,故在區(qū)域尸內(nèi)，

5>0

將點(1,-1)代入方程組得<c八，故不在區(qū)域F內(nèi).

0=0

故選C.

2x+3y-12<02x+3y-12>0

A.2x-3y-6<0B.<2x-3y-6<0

3x+2y-6>03x+2y—620

2x+3y-12<02x+3y-12<0

C.<2x-3y-6>0D.2x-3y-6<0

3x+2y-6>03x+2y-6<0

答案A

解析圖中陰影部分所示平面區(qū)域在直線方程3x+2y-6=o上方，故3x+2y-6N0,

同理可得2x-3y-640,2x+3y-12<0,故選A.

x+y-2>0

<x-2y+4>0

4.已知點滿足約束條件1“一2"0，則k3x+y的最大值與最小值之差為

A.5B.6C.7D.8

答案C

x+y—2N0

解析作出約束條件<x-2y+4?0表示的平面區(qū)域,

x-2<0

如圖中陰影部分所示，

作直線y=-3x并平移知，

當直線經(jīng)過點A時,Z取得最大值；

當直線經(jīng)過點B時,Z取得最小值.

x=2\x=2

由〈c4八，得〈一，即42,3),故Zmax=9.

x-2y-b4=0[y=3

fx-2y+4=0[x=0

由《，得〈.，即8(0,2),故Zmin=2,

[x+y_2=0[y=2

故z的最大值與最小值之差為7.故選C.

x+y-l>0

5.已知X,滿足(工―2y—4<0,如果目標函數(shù)上口的取值范圍為[0,2）,則實數(shù)m的取

x-m

2x-y-2>0

值范圍為（）

]_]_1

A.[0,2]B.(。,2]C.(@,2)D.(-oo,0]

答案C

x+y-l>0

解析作出2y-4W0表示的可行域，如圖中陰影部分所示.

2x-y-2>Q

目標函數(shù)z=-L的幾何意義為可行域內(nèi)的點（x,y）與A（見-1）連線的斜率.

x-m

x+y-1=0x=2

由<■得《，即8(2,-1).

[x-2^-4=0

由題意知m=2不符合題意，故點A與點8不重合，因而當連接AB時，斜率取到最小值0.

由y=-1與2x-y-2=0得交點C（；「1）,在點A由點C向左移動的過程中，可行域內(nèi)的點與點A

連線的斜率小于2,而目標函數(shù)的取值范圍滿足zd[0,2）,則故選C.

2

x-y+2>0

6.（2021?全國高三模擬）若實數(shù)x，y滿足不等式組Jx-5y+1040,且辦+y+lNO恒成

x+y—8<0

立，則實數(shù)的取值范圍是（）

44

A.——,+00B.—00,------C.D.

55

答案A

解析作出可行域，如圖：

其中A（5,3）,3（0,2）,C（3,5）,0（0,8）,E（0,—1）,

因為ox+y+120恒成立，結(jié)合圖形知

x>0,y>0,

所以當x=0時，y+120恒成立；

y+1一

當x>0時，則——恒成立，

x

而-2—表示可行域內(nèi)的點（x,y）與￡（0,-1）所形成的直線的斜率的相反數(shù)，

X

因此當直線經(jīng)過點A（5,3）時，一日最大，此時一出=一3,所以3，故選A.

x555

x+y-3>0

6.（2021?重慶高三模擬）已知變量乂丁滿足<則下列說法正確的是（）

x-2y+6>0

A.3y—x的最大值為17

B.使得2y-x取最小值的最優(yōu)解有無數(shù)組

C.k一2y-4|的最小值為2

D.若當且僅當％=4,丁=-1時x+ay取得最小值，則

答案A

x+y-3>0

詳解作出不等式組■x-y-540表示的平面區(qū)域，如圖中陰影三角形ABC,

x-2y+6>0

畫直線=平移直線/。，使其過點A的直線縱截距最大，z最大，

x-v-5=0

由Vc，八得點416,11),21^=3?11-16=17，人正確；

x-2y+6=0

對于B,C,令w=2>-X,即y=表示斜率為,，縱截距為?、鹊钠叫兄本€

2222

系，畫直線=平移直線4,使其過點B的直線縱截距最小，卬最小，

x+y—3=0,

由'「八得點8(4,—1),w=2-(-l)-4=-6,

x-)>-5=0min

所以使得2y-x取最小值的最優(yōu)解為(4,-1),只有一個，B不正確；

而直線與直線x-2y+6=0平行，則與直線x-2y+6=0重合的直線縱截距最大，卬最

大，Wmax=6,又|x—2y—4]=|2y-x+4H墳+4|,而一6WwW6，即一24卬+4W10,