2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選優(yōu)化解題策略，發(fā)展數(shù)學(xué)思維 朱平平摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)肩負(fù)著兩大任務(wù)，一是數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)教學(xué)，另一個(gè)是解題教學(xué)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，解題是關(guān)鍵。它不僅讓學(xué)生鞏固必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生獲取知識(shí)的能力，提升數(shù)學(xué)思維能力。如何提高數(shù)學(xué)解題能力？本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與思考，歸納出五條提高解題能力，發(fā)展思維能力的有效方法：第一,利用變式訓(xùn)練將知識(shí)融會(huì)貫通。第二，提煉基本圖形，提高學(xué)生的思維水平。第三，利用一題多解促進(jìn)思維發(fā)展。第四，利用多題一解，優(yōu)化歸納數(shù)學(xué)思想方法。第五，解題后進(jìn)行反思，對(duì)知識(shí)總結(jié)提升。以培養(yǎng)學(xué)生多歸納，多總結(jié)，多思考，提高解題能力，理解學(xué)好數(shù)學(xué)的本質(zhì)。關(guān)鍵詞：解題能力，思維能力，基本圖形數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是解題教學(xué)，但是數(shù)學(xué)教學(xué)又不僅僅是解題教學(xué)。這一句話里面包含著解題能力的重要性和通過解題訓(xùn)練的根本目的是豐富數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得數(shù)學(xué)思想方法，提高思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)的世界里有著解不完的題目。面對(duì)千變?nèi)f化的題目，如何才能應(yīng)對(duì)自如？怎樣提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？這是每個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者都在思考的問題。我結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勔恍┛捶ㄅc大家商榷。 一.用變式訓(xùn)練，將知識(shí)融會(huì)貫通

解題教學(xué)首先應(yīng)關(guān)注能反應(yīng)概念本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念.性質(zhì)相關(guān)的“”真正的數(shù)學(xué)問題”。在新課學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的獲得，理解和簡單應(yīng)用過程，其核心價(jià)值是在知識(shí)的形成過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)；例如在最初學(xué)習(xí)“角平分線性質(zhì)定理”“三線合一”一次函數(shù)這些知識(shí)時(shí)，通過參與實(shí)驗(yàn)觀察猜想證明等知識(shí)獲得過程的認(rèn)知活動(dòng)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，并初步形成對(duì)知識(shí)簡單應(yīng)用，既要知道知識(shí)的形成過程，又要知道知識(shí)的延伸和拓展。在學(xué)生已有的舊知基礎(chǔ)上往深處挖一挖，就可以看見絢麗的風(fēng)景。一個(gè)可以提高學(xué)生的興趣，另外也鞏固了我們所要掌握的知識(shí)。學(xué)會(huì)對(duì)一道題從不同角度進(jìn)行變式，在變化中分析、思考，從而達(dá)到將知識(shí)學(xué)活、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的目的。12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選 以“一次函數(shù)的基本知識(shí)”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾斡靡坏李}目變式來囊括所有知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)。例題：已知函數(shù)y=(2-k)x-3k+9是一次函數(shù)，求k取值范圍.【設(shè)計(jì)意圖】考查一次函數(shù)定義：y=kx+b中k≠0.一變：k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=(2-k)x-3k+6圖象經(jīng)過原點(diǎn).【設(shè)計(jì)意圖】考查點(diǎn)與圖象和點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖象過原點(diǎn)等價(jià)于x=0，y=0滿足y=(2-k)x-3k+9.二變：k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=(2-k)x-3k+9圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方.【設(shè)計(jì)意圖】考查一次函數(shù)圖象與x軸、y軸交點(diǎn)問題，并能將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言：與y軸交點(diǎn)在x軸上方表示交點(diǎn)縱坐標(biāo)，即-3k+9（一般式中b）大于0.三變：k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=(2-k)x-3k+9，y隨x增大而減小。求k取值范圍.【設(shè)計(jì)意圖】考查一次函數(shù)性質(zhì).四變：k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=(2-k)x-3k+9圖象經(jīng)？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)一次函數(shù)的最重要方法是數(shù)形結(jié)合。結(jié)合圖象，將問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于k不等式組.過一、二、四象限

五變：k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=(2-k)x-3k+9圖象平行于直線y=-x.【設(shè)計(jì)意圖】考查決定兩條直線位置關(guān)系因素，這里只涉及簡單情形：兩條直線平行等價(jià)于2-k=-1（即一般式中k相等）.六變：直線y1=(2-k)x-3k+9與直線y2=3x+5交于點(diǎn)P(-1，a).（1）求k值；

（2）x為何值時(shí)，y1>y2；

（3）求直線y=(2-k)x-3k+9、直線y=3x+5與x軸圍成的三角形面積.【設(shè)計(jì)意圖】（1）交點(diǎn)的意義：點(diǎn)P(-1，a)同時(shí)滿足y1=(2-k)x-3k+9與直線y2=3x+5，從而求得a，k；（2）解決第二問時(shí)有多種方法：解不等式，數(shù)形結(jié)合；（3）第三問需要借助圖象明確所求圖形，弄清點(diǎn)坐標(biāo)與線段長關(guān)系（這是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，補(bǔ)充強(qiáng)化練習(xí)：如果直線y=-2x+k與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積是8，求k值）.為確保所有學(xué)生獲得必備的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，關(guān)注不同學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同需要，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。通過不同層次的問題，不僅激發(fā)了學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，而且系統(tǒng)地掌握了一次函數(shù)的知識(shí)，從而鞏固并深化了知識(shí)系統(tǒng)。22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選例題的變式教學(xué)有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)對(duì)理解，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)對(duì)融會(huì)貫通，更有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的靈活性、變通性,進(jìn)而達(dá)到知識(shí)間對(duì)融會(huì)貫通。二.提煉基本圖形，提高思維水平利用基本圖形，能夠?qū)?fù)雜問題簡單化，幫助學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)抓住問題本質(zhì)，并可以防止解題中的無關(guān)信息的干擾，從而提高學(xué)生的思維水平，達(dá)到舉一反三，觸類旁通的教學(xué)效果。教師在教學(xué)過程中不斷地挖掘提煉總結(jié)基本圖形，提高學(xué)生素養(yǎng)和創(chuàng)造性解決問題的能力。如圖，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，A∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．BCED 如圖像不像一個(gè)大寫的英文Ｋ。我們把這種圖形和它衍生出的圖形統(tǒng)稱為“K”型圖。在平時(shí)的考試題和中考題中，K型圖在三角形相似中應(yīng)用的題型倍受青睞。例1（2014?咸寧）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=．下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；

②當(dāng)BD=6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或 ；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是_________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選分析：因?yàn)椤螪AE=∠CAD,又∵∠ADE=∠CAD∴△ADE∽△ACD；故①結(jié)論正確②AB=AC=10,∠ADE=∠B,cosα= ∴BC=16,∵BD=6∴DC=10∴AB=DC,

在△ABD與△DCE中,∴△ABD≌△DCE（ASA）．故②正確,

③當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí),當(dāng)∠AED=90°時(shí)或當(dāng)∠CDE=90,由"K"型圖可知：易△CDE∽△ 25

BAD,BD=8．BD=2④由"K"型圖易證得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16,設(shè)BD=X,CE=Y,10XY1X824.6∴16X=Y,整理得：10故④正確．Bx2DAyE2C例2：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá)點(diǎn)B,C）,過點(diǎn)D作∠ADE=45°，DE交AC于45°點(diǎn)E．(1)求證：△ABD∽△DEC;(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．解析：該題巧借等腰直角三角形兩底角均為45°，組成三個(gè)相等的銳角，根據(jù)“K"型圖可證明△ABD∽△DEC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出y1

=2x2-2x+2通過分析題意，抓住問題的本質(zhì)，把學(xué)過的基本模型套進(jìn)去，提高解題效率。事實(shí)上，復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形而且許多看似不同的幾何圖形．他們大都有著內(nèi)在的聯(lián)系性，具有相同或相似的的基本圖形。因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)于一道題不局限于就題論題，而要進(jìn)行適當(dāng)變化引申，一題變多題，拓寬思路，提高應(yīng)變能力。 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用基本圖形解決問題，使復(fù)雜問題簡單化，這樣既有利于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力又有利于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)。三.利用一題多解，促進(jìn)思維發(fā)展新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：“教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)，有計(jì)劃地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)整體。不斷豐富解決問題對(duì)策略，提高解決問題對(duì)42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選能力?！蓖ㄟ^一題多解，不僅在遇到不會(huì)解的題目時(shí)拓寬思路，還可以在多種解法中尋找最佳解法，在考試時(shí)節(jié)約解題時(shí)間，保證解題效率，減少計(jì)算失誤！如圖，已知⊙O直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,連接CO并延長交AD于F點(diǎn)，若CF⊥AD,AB﹦2,求CD的長。要求CD的長，做輔助線是必不可少的。根據(jù)圖形和題目，我們可以連接AC，則△ACD為等邊三角形，⊙O是△ACD的外接圓。由此，我們可以通過做不同的輔助線用不同的解法來求解。解法1：連接AC。利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)解答

∵直徑AB⊥CD∴CE=DE

∵AB為CD的垂直平分線

∴AC=AD,同理AC=CD

故△ACD為等邊三角形

∵CF⊥AD

1

∴∠EOC=∠ACE=30°

2

∵CO=1 1

∴OE=CE= 22∴CD=3三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。解法2：利用三角形“重心”性質(zhì)解答

∵CE=DE

∴AE為CD上的中線

∵AF=DF

∴CF為AD上的中線52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選∴點(diǎn)O為△ACD三角形的重心。

在RT△COE中

∵OA=1

∴OE=1

2

∵OC=1∴OC=2則CD=3解法3：利用菱形性質(zhì)解答

連接CB、OD，由△OCE≌△DBE,得到OC=BD

由OC∥BD得到四邊形OCBD為平行四邊形，

∵OC=OD

∴四邊形OCBD為菱形OC=BD

∴OE=BE=1

2∵CE=2∴CD= 3解法4：OC OE如圖，△COE∽△ADE，得到 =DA DE設(shè)CE=x，則OE=1X21

=

2Xx解得X=2故CD=2CE= 362022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選除以上四種解法之外，我們還可以利用圓周角定理、三角形"中點(diǎn)"性質(zhì)、全等三角形、相似三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)來解。通過這一個(gè)題目把我們所學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)都靈活的運(yùn)用起來，又總結(jié)出了多種數(shù)學(xué)思想方法，獲得了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而數(shù)學(xué)思維得到了很好對(duì)發(fā)展。所以，這一個(gè)題目從知識(shí)，方法，思維三個(gè)層次都能得到優(yōu)化和提高。解題教學(xué)絕不能用題海戰(zhàn)術(shù)，通過一題多解能夠讓學(xué)生豐富知識(shí)，歸納方法，發(fā)散思維，達(dá)到以一敵百，事半功倍的效果。題不在多而在精，日常解題時(shí)不妨多思考這道題可以用哪些學(xué)過的知識(shí)來解，而不局限于一種的方法。因?yàn)椴煌慕夥ò煌瑢?duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，避免因簡單重復(fù)帶來枯燥感，同時(shí)能激活思維，發(fā)散思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)積極性。四.利用多題一解，優(yōu)化思想方法多題一解通過變題可以不斷發(fā)散，層層遞進(jìn)，增加數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性和多元性，從而可以不斷化歸，提煉，將多題歸為一類，能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，有利于學(xué)生遷移到類似的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力，以不變應(yīng)萬變，提高解決數(shù)學(xué)問題對(duì)能力。例：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；(1)延長MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN；(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(1)證明：①如圖2，∵BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選∴∠BMN=∠CNM=90°，∴BM//CN，∴∠MBP=∠ECP

又∵P為BC邊中點(diǎn)，∴BP=CP，又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE，②∵△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN；

(2)成立，如圖3，

證明延長MP與NC的延長線相交于點(diǎn)E，∵BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，∴∠BMN=∠CNM=90°，∴∠BMN+∠CNM=180°，∴BM//CN，∴∠MBP=∠ECP，又∵P為BC中點(diǎn)，∴BP=CP，又∵DBPM=DCPE，∴△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，則在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。評(píng)析:三角形是幾何中最常見的圖形之一，此題以旋轉(zhuǎn)為背景，問題的設(shè)計(jì)由淺入深，層次性強(qiáng)，考查了學(xué)生對(duì)閱讀理解能力和數(shù)學(xué)遷移能力。從第一題對(duì)解法中給學(xué)生指出求解方法，可以為第二問進(jìn)一步探究提供條件，使學(xué)生圍繞已有解題策略，可以有的放矢，少走冤枉路。最有效的教學(xué)，不是要多做題，而是立足一道題，串起一類題；最有效的教學(xué)不是只尋求一種方法，而是立足一種方法牽出一類通法。而多題一解可以將很多題目通過類比思想用一種方法歸納起來，優(yōu)化學(xué)生的思想方法，進(jìn)而達(dá)到高效解題。五.利用解后反思，總結(jié)提升知識(shí)在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)老師經(jīng)常會(huì)被一些問題困擾：為什么同一個(gè)問題講了很多遍還是會(huì)錯(cuò)？為什么學(xué)生一聽就會(huì)一做就錯(cuò)？為什么學(xué)生花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力，成績?nèi)匀惶岵簧蟻?？其?shí)出現(xiàn)這些問題的一個(gè)很重要原因就在于學(xué)生解題的反思能力不夠。老師在通過解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的反思能力時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下思考：該題考察的是哪個(gè)知