千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦大一上學(xué)期(第一學(xué)期)高數(shù)期末考試題(有答案)

大一上學(xué)期高數(shù)期末考試

一、單項(xiàng)挑選題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1.)(

0),sin(cos)(處有則在設(shè)=+=xxxxxf.

（A）(0)2f'=（B）(0)1f'=（C）(0)0f'=（D）()fx不行導(dǎo).

2.）

時(shí)（，則當(dāng)，設(shè)133)(11)(3→-=+-=xxxxx

xβα.

（A）()()xxαβ與是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮??；（B）()()

xxαβ與是等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

（C）()xα是比()xβ高階的無(wú)窮??；（D）()xβ是比()xα高階的無(wú)窮小.

3.若

()()()0

2x

Fxtxftdt

=-?，其中()fx在區(qū)間上(1,1)-二階可導(dǎo)且

'>()0fx，則（）.

（A）函數(shù)()Fx必在0x=處取得極大值；（B）函數(shù)()Fx必在0x=處取得微小值；

（C）函數(shù)()Fx在0x=處沒(méi)有極值，但點(diǎn)(0,(0))F為曲線()yFx=的拐點(diǎn)；（D）函數(shù)()Fx在0x=處沒(méi)有極值，點(diǎn)(0,(0))F也不是曲線()yFx=的拐點(diǎn)。

4.

)

(

)(,)(2)()(1

0=+=?xfdttfxxfxf則是延續(xù)函數(shù)，且設(shè)

（A）22x（B）2

2

2x+（C）1x-（D）2x+.

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5.=

+→x

xxsin2

)

31(lim.

6.

,)(cos的一個(gè)原函數(shù)是已知

xfx

x

=?

?xx

x

xfdcos)(則

.

7.

lim(coscoscos)→∞-+++=

2

2

2

21nnnnnnππ

π

π.

8.=

-+?

2

12

12

211

arcsin－

dxx

xx.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.設(shè)函數(shù)=()yyx由方程

sin()1xyexy++=確定，求'()yx以及'(0)y.10..d)1(17

7

xxxx?+-求

11.．

求，，設(shè)?--?????≤<-≤=132

)(1020

)(dxxfxxxxxexfx

12.設(shè)函數(shù))(xf延續(xù)，=?1

0()()gxfxtdt

，且→=0

()

lim

xfxAx，A為常數(shù).求

'()gx并研究'()gx在=0x處的延續(xù)性.

13.求微分方程2lnxyyxx'+=滿足

=-

1

(1)9y的解.

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內(nèi)一曲線)0()(≥=xxyy，過(guò)點(diǎn)(,)01，且曲線上任一點(diǎn)

Mxy(,)00處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx=0所圍成面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線xyln=的切線，該切線與曲線xyln=及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

V.

六、證實(shí)題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù))(xf在[]0,1上延續(xù)且單調(diào)遞減，證實(shí)對(duì)隨意的[,]∈01q，

1

()()≥??q

fxdxqfxdx

.

17.設(shè)函數(shù))(xf在[]π,0上延續(xù)，且0

)(0

=?

π

xdxf，0

cos)(0

=?

π

dxxxf.

證實(shí)：在()π,0內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)21,ξξ，使.0)()(21==ξξff（提

示：設(shè)

?=

x

dx

xfxF0

)()(）

解答

一、單項(xiàng)挑選題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

5.6e.

6.c

xx+2

)cos(21.7.2π.8.3π.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導(dǎo)

(1)cos()()xy

eyxyxyy+''++

+=

cos()

()cos()xyxy

eyxyyxexxy+++'=-+

0,0xy==，(0)1y'=-

10.解：7

67uxxdxdu==

1(1)112

()7(1)71ududu

uuuu-==-++??原式1

(ln||2ln|1|)7uuc=-++7712

ln||ln|1|77xxC=-++

11.

解：10

33

()x

fxdxxedx=+?

??

3

()xxde--=-+??

00

232

cos(1sin)xxxeedxπθθθ??=--+-=???

令

321

4eπ

=

--

12.解：由(0)0f=，知(0)0g=。

===

??1

()()()x

xtu

fudu

gxfxtdtx

(0)x≠

2

()()()(0)

x

xfxfudu

gxxx

-'=

≠?

2

0()()A

(0)limlim

22x

xxfudu

fx

gxx→→'===?

02

()()lim()lim

22x

xxxfxfudu

AA

gxAx

→→-'==-

=

?，'()gx在=0x處延續(xù)。

13.解：2

lndyyx

dxx+=

2

2

(ln)

dxdx

xxyeexdxC-??=+?

2

11

ln39xxxCx-=

-+

1

(1),09yC=-=，

11ln39yxxx

=-四、解答題（本大題10分）

14.解：由已知且0

2dx

yyxy

'=+?，

將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得yyy'+=''2

特征方程：022

=--rr解出特征根：.2,121=-=rr

其通解為x

xeCeCy221+=-

代入初始條件yy()()001='=，得

31,3221==

CC

故所求曲線方程為：x

xeey23132+=-

五、解答題（本大題10分）

15.解：（1）按照題意，先設(shè)切點(diǎn)為)ln,(00xx，切線方程：)

(1

ln00

0xxxxy-=-

因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，解出ex=0，從而切線方程為：xey1=

則平面圖形面積

?-=

-=1

121

)(edyeyeAy

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

2131eVπ=

曲線xyln=與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2

?-=1

22)(dy

eeVyπ

D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

)

3125(6221+-=

-=eeVVVπ

六、證實(shí)題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

16.證實(shí)：1

()()q

fxdxqfxdx-??1

()(()())

q

q

q

fxdxqfxdxfxdx=-+???

10

(1)()()q

q

qfxdxqfxdx

=--??

1212[0,][,1]

()()

12(1)()(1)()

0qqffqqfqqfξξξξξξ∈∈≥=

≥

故有：

1

()()≥??q

fxdxqfxdx

證畢。

17.

證：構(gòu)造輔助函數(shù)：π

≤≤=?xdttfxFx

0,)()(0。其滿足在],0[π上延續(xù)，在)

,0(π上可導(dǎo)。)()(xfxF='，且0)()0(==πFF

由題設(shè)，有

????+===π

π

π

π0

)(sincos)()(coscos)(0|dx

xFxxx