千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦大學(xué)微積分知識點(diǎn)總結(jié)【第五部分】不定積分

1.書本學(xué)問（包含一些補(bǔ)充學(xué)問）

（1）原函數(shù)：F’（x）=f（x），x∈I，則稱F（x）是f（x）的一個“原函數(shù)”。

（2）若F（x）是f（x）在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則f（x）在區(qū)間上的全體函數(shù)為F（x）+c（其中c為常數(shù)）

（3）基本積分表

cxdxx+?+?=?+???11

1（α≠1，α為常數(shù)）（4）零函數(shù)的全部原函數(shù)都是c

（5）C代表全部的常數(shù)函數(shù)

（6）運(yùn)算法則

[]??????±?=?±??=??dxxgdxxfdxxgxfdx

xfadxxfa)()()()()()(②①

（7

）[][]cxFdxxxf+=??)()(')(???復(fù)合函數(shù)的積分：

c

bxFdxbxf

cbaxFabax

dbaxfadxbaxf++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(普通地，（9）延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)，但是有原函數(shù)的函數(shù)不一定延續(xù)，沒有原函數(shù)的函數(shù)一定不延續(xù)。

（10）不定積分的計算辦法

數(shù)乘運(yùn)算

加減運(yùn)算線性運(yùn)算

（8）

①湊微分法（第一換元法），利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

②變量代換法（其次換元法），利用一階微分形式不變性

③分部積分法：

【解釋：一階微分形式不變性】

釋義：函數(shù)

對應(yīng)：y=f(u)

說明：

（11）分段函數(shù)的積分

例題說明：{}dx

x?

?2,1

max

（12）在做不定積分問題時，若碰到求三角函數(shù)奇次方的積分，最好的辦法是將其中的一

（16）隱函數(shù)求不定積分

例題說明：

（17）三角有理函數(shù)積分的萬能變換公式

（18）某些無理函數(shù)的不定積分

②歐拉變換

（19）其他形式的不定積分

2.補(bǔ)充學(xué)問（課外補(bǔ)充）

☆【例談不定積分的計算辦法】☆

1、不定積分的定義及普通積分辦法

2、特別類型不定積分求解辦法匯總

1、不定積分的定義及普通積分辦法

（1）定義：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上延續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù)。其中Φ(x)=F(x)+c0,(c0為某個常數(shù)），則Φ(x)=F(x)+c0屬于函數(shù)族F(x)+c（2）普通積分辦法

值得注重的問題：

第一，普通積分辦法并不一定是最簡便的辦法，要注重綜合使用各種積分辦法，簡便計算；其次，初等函數(shù)的原函數(shù)并不一定是初等函數(shù)，因此不一定都能夠積出。

不能用一般辦法積出的積分：

2、特別類型不定積分求解辦法匯總

（1）多次分部積分的邏輯

（3）容易無理函數(shù)的積分

被積函數(shù)為容易式的有理式，可以通過根式代換化為有理函數(shù)的積分

小結(jié)：幾分鐘含有根號，應(yīng)該考慮采納合適的辦法去掉根號再舉行計算。

【第六部分】定積分

1.書本學(xué)問（包含一些補(bǔ)充學(xué)問）

（1）定義

（12）幾種簡化定積分的計算辦法

①關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的函數(shù)的定積分

[]??????=?-??-aaadx

xfdxxfaaxf0)(20)(,)(1上延續(xù)，則：

在區(qū)間、若函數(shù)設(shè)f(x)是周期為T的周期函數(shù)，且延續(xù)。則：

??????????--?-???--?-=?=?≥??

??????132...231221...231cossin)2(2,0cos,sin2022nnnnnnnndxxdxxnnxxnnnnπππ

π，有：

對于隨意的自然數(shù)上的積分在③

分的值無關(guān)，依舊可以正常去求。

（14）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。設(shè)M是平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y)，它的極坐標(biāo)是(ρ,0).則：

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)

（n為偶數(shù)）

（n為奇數(shù)）

()??

???≠=+=????=?=0tansincos222xxyyxyxθρθ

ρθρ

(15)定積分中簡單混淆的x與t的關(guān)系的問題

對于定積分，被積表達(dá)式中的無所謂t還是x，最后都會被積分上下限所替代。所以在變限函數(shù)積分的上下限中含x的時候，被積表達(dá)式用t表示以示區(qū)分。固然假如此時被積表達(dá)式中含x和t，在二者都有的狀況下，則把x看成常數(shù)提到外面或者換元換走x。

例證：

定積分證實(shí)問題中關(guān)于x與t化簡后的計算辦法：

2.補(bǔ)充學(xué)問（課外補(bǔ)充）

☆【積分中值定理及其應(yīng)用】☆

積分中值定理是積分學(xué)的一個重要性質(zhì)。它建立了定積分與被積函數(shù)之間的關(guān)系，從而使我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)討論積分的性質(zhì)，有較高的理論價值以及廣泛的應(yīng)用。

一、積分中值定理的內(nèi)容

定理①：積分第一中值定理

定理②：推廣的積分第一中值定理

二、積分中值定理的應(yīng)用

因?yàn)樵摱ɡ砜梢允狗e分符號去掉，從而使問題簡化，對于證實(shí)包含函數(shù)積分和某個函數(shù)之間的等式或不等式，?？梢钥紤]使用積分中值定理在應(yīng)用積分中值定理時應(yīng)注重以下幾點(diǎn)：

①在應(yīng)用中應(yīng)注重被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上這一延續(xù)條件，否則結(jié)論不一定會成立

②在定理中的g(x)在[a,b]上面不能變號，這個條件也不能去掉。

③定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必需是[a,b]內(nèi)的點(diǎn)

下面就其應(yīng)用舉行研究

（1）估量定積分的值

（2）求含有定積分的極限

說明：解決此類問題的關(guān)鍵是用積分中值定理去掉積分符號。在應(yīng)用該定理時，要注重中值ξ不僅依靠于積分區(qū)間，而且依靠于限式中n的趨近方式。（3）證實(shí)中值ξ的存在性命題

說明：在證實(shí)有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時，普通應(yīng)用積分中值定理。

（4）證實(shí)積分不等式

說明：因?yàn)榉e分有許多特別的運(yùn)算性質(zhì)，故積分不等式的證實(shí)往往具有很強(qiáng)的技巧性。在證實(shí)含有定積分的不等式時，也常考慮使用積分中值定理，以便去

掉積分符號。若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時，可考慮使用廣義積分中值定理。（5）證實(shí)函數(shù)的單調(diào)性

三、積分中值定理的拓展

（1）其次積分中值定理

假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積，而g(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得：

特殊地，g(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則：