2021年浙江省臺(tái)州市黃巖實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為(

)A.-2

B.8

C.1

D.2參考答案：D2.閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出i=4，那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是（）A．S＜8,B．S＜9,C．S＜10,D．S＜11參考答案：B3.已知集合，則（

）A．(－1,1)

B．(1,+∞)

C．

D．參考答案：DA={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，∴故選：D

4.已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則的最小值為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B5.已知向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），若⊥，則sin（α+）等于(

) A．1 B．﹣1 C． D．﹣參考答案：A考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：三角函數(shù)的求值．分析：由垂直和數(shù)量積的關(guān)系可得sin（α+）+cosα﹣=0，由兩角和與差的正弦函數(shù)展開后重新組合可得結(jié)論．解答： 解：∵=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），且⊥，∴sin（α+）+cosα﹣=0，即sinα+cosα+cosα=，∴sinα+cosα=1，即sin（a+）=1故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及數(shù)量積的運(yùn)輸，屬中檔題．6.已知，則向量的夾角為A、B、C、D、參考答案：B因?yàn)?，所以，于是，故，又．所以?.若函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=loga（x+k）的圖象是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k=1，a＞1，由此不難判斷函數(shù)的圖象．解：∵函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函數(shù)則f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0則k=1又∵函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)則a＞1則g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函數(shù)圖象必過原點(diǎn)，且為增函數(shù)故選C【點(diǎn)評(píng)】若函數(shù)在其定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則f（﹣x）+f（x）=0，若函數(shù)在其定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，則f（﹣x）﹣f（x）=0，這是函數(shù)奇偶性定義的變形使用，另外函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，在公共單調(diào)區(qū)間上：增函數(shù)﹣減函數(shù)=增函數(shù)也是解決本題的關(guān)鍵．8.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是

A．

B．

C．

D．以上都不對(duì)

參考答案：C略9.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)任意給定的a，b∈R，a*b為惟一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：①對(duì)任意a，b∈R，a*b＝b*a；②對(duì)任意a∈R，a*0＝a；③對(duì)任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.關(guān)于函數(shù)f(x)＝(3x)*的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)f(x)的最小值為3；②函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)．其中所有正確說法的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1

C．2 D．3參考答案：B略10.邊長分別為3，5，7的三角形的最大內(nèi)角為

A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），則cosa= ．參考答案：考點(diǎn)： 任意角的三角函數(shù)的定義．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 由題意和任意角的三角函數(shù)的定義求出cosa的值即可．解答： 由題意得角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），則|OP|=5，所以cosa==，故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．12.（5分）已知，均為單位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=

．參考答案：考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： ，均為單位向量，則它們的模都是1，要求向量|+3|的模，可求其平方，然后利用向量模的平方等于向量的平方，展開后再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．解答： ∵，均為單位向量，∴．又＜，＞=60°，∴===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化，是中檔題．13.寫出以下五個(gè)命題中所有正確命題的編號(hào)

①點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)；②橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；

③已知正方體的棱長等于2,那么正方體外接球的半徑是；④下圖所示的正方體中，異面直線與成的角；⑤下圖所示的正方形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形是矩形．

參考答案：①④14.已知拋物線，過焦點(diǎn)F作傾角為的直線l，若l與拋物線交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長為

。參考答案：答案:

15.已知P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N是圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值是

．參考答案：﹣1考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小，為圓心到焦點(diǎn)F的距離減去圓的半徑．解答： 解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1的圓心為Q（2，5），根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)N的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小為：﹣1=﹣1．故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．16.曲線在第一象限圍成的封閉圖形面積為

。參考答案：略17.已知函數(shù)f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：［0,9)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分15分）已知橢圓Γ：的離心率為，其右焦點(diǎn)與橢圓Γ的左頂點(diǎn)的距離是3．兩條直線交于點(diǎn)，其斜率滿足．設(shè)交橢圓Γ于A、C兩點(diǎn)，交橢圓Γ于B、D兩點(diǎn)．（I）求橢圓Γ的方程；（II）寫出線段的長關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求四邊形面積的最大值．參考答案：（Ⅰ）設(shè)右焦點(diǎn)（其中），依題意，，所以．

……………3分所以，故橢圓Γ的方程是．

……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)（1,0）．將通過焦點(diǎn)F的直線方程代入橢圓Γ的方程，可得，其判別式．特別地，對(duì)于直線，若設(shè)，則，.

………………10分又設(shè)，由于B、D位于直線的異側(cè)，所以與異號(hào)．因此B、D到直線的距離之和．………12分綜合可得，四邊形ABCD的面積．因?yàn)?，所以，于是?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值．

……………15分19.

已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線與有且只有一個(gè)公共

點(diǎn)，求的值.參考答案：（Ⅰ）時(shí),,在上,在上,故(Ⅱ)由題設(shè)知：切線的方程為,于是方程:即有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;設(shè),得;①當(dāng)時(shí)，,為增函數(shù),符合題設(shè);②當(dāng)時(shí)，有得在此區(qū)間單調(diào)遞增,;在此區(qū)間單調(diào)遞減,;在此區(qū)間單調(diào)遞增,;此區(qū)間存在零點(diǎn),即得不符合題設(shè).

綜上可得.略20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若函數(shù)y=g（x）對(duì)任意x滿足g（x）=f（4﹣x），求證：當(dāng)x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求證：x1+x2＞4．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出極值；（2），求出其導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的值來判斷其在（2，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而證得結(jié)論．（3）先由（1）得f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，故x1、x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；設(shè)x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），即f（x1）＞f（4﹣x2）．再結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．令f'（x）=0，解得x=2．x（﹣∞，2）2（2，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗極大值↘∴f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極大值f（2）=．（2）證明：，，∴F'（x）=．當(dāng)x＞2時(shí)，2﹣x＜0，2x＞4，從而e4﹣e2x＜0，∴F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（2，+∞）是增函數(shù)．∴．（3）證明：∵f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．∴當(dāng)x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．不妨設(shè)x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）內(nèi)為增函數(shù)，∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．21.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中，CA⊥CB，CA＝CB＝CC1＝2，動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上．（1）求證：當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，平面B1CD⊥上平面ABB1A1；（2）當(dāng)AB＝3AD時(shí)，求平面B1CD與平面BB1C1C所成的銳二面角的余弦值．參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）推導(dǎo)出，，平面，由此能證明平面上平面．（2），，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【詳解】（1）∵在等腰Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴B1B⊥CD，∵AB∩B1B＝B，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD?平面B1CD，∴平面B1CD⊥上平面ABB1A1．（2）如圖，∵CA，CB，CC1兩兩垂直，∴以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），D，（0，2，2），，設(shè)平面B1CD的法向量＝（x，y，z），則，令z＝1，得，平面BB1C1C的法向量＝（2，0，0），設(shè)平面B1CD與平面BB1C1C所成的銳二面角的平面角為θ，則cosθ＝，∴平面B1CD與平面BB1C1C所成的銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查面面眚垂直的證明以及二面角的求解問題，線面平行常見的證法是借助線線平行或面面平行證得，求解二面角大小時(shí)往往借助法向量的夾角來進(jìn)行求解．22.（本題滿分16分）已知定義域?yàn)閇0，1]的