第一章立體幾何初步第一章立體幾何初步7．3球的表面積和體積學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點重點：球的表面積、體積的求解及球的截面的性質(zhì)．

難點：與球的表面積和體積有關(guān)問題的解決．新知初探思維啟動4πR2做一做體積相同的正方體和球，它們的表面積大小如何？提示：當(dāng)棱長為a的正方體與半徑為r的球的體積都為V時，則有：典題例證技法歸納過球的半徑的中點，作一垂直于這條半徑的截面，已知此截面的面積為48πcm2，試求此球的表面積和體積．題型探究例1題型一球的表面積和體積問題【解】

如圖，設(shè)截面圓的圓心為O1，則OO1⊥O1A，O1A為截面圓的半徑，OA為球的半徑．∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48.在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，【名師點評】球的表面積和體積只與球的半徑有關(guān)，因此解決該類問題的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件求球的半徑．互動探究1.在例題中，若截面不過球的半徑的中點，而是過半徑上與球心距離為1的點，且截面與此半徑垂直，若此截面的面積為π，試求此球的體積．解：如圖，由題意可知：OO1＝1，設(shè)截面圓的半徑為r，則π＝πr2，∴r＝1，即O1A＝1.在Rt△OO1A中，例2題型二與球有關(guān)的組合體的計算(本題滿分12分)一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球．求：(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐內(nèi)切球的體積．名師微博在處理與球有關(guān)的組合體問題時，一般要作一截面，將立體幾何體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決，而這個截面往往指的是圓錐的軸截面、過球心的截面等.【名師點評】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時要認(rèn)真分析圖形，充分發(fā)揮空間想象能力，做到以下幾點：注意球內(nèi)接長方體(正方體)的對角線即是球的一條直徑．變式訓(xùn)練2.長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積和體積分別是多少？例3題型三與球有關(guān)的實際問題有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面恰好與球相切，然后取出球，求這時容器中水的深度．【名師點評】利用軸截面圖求圓錐的高與底面半徑的關(guān)系，再利用水的體積不變列出關(guān)于高的方程，用方程思想解題是高中數(shù)學(xué)的一個重點．1.一個球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積．備選例題解：(1)當(dāng)球心不在兩個截面之間時，如圖甲，設(shè)OD＝xcm，由題意知π·CA2＝49π，∴CA＝7cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20cm.設(shè)球半徑為Rcm，則有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2.即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15cm，R＝25cm.∴S球＝4πR2＝2500πcm2.(2)當(dāng)球心在兩個截面之間時，如圖乙，設(shè)OD＝xcm，則OC＝9－x，設(shè)球半徑為Rcm，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程無正數(shù)解，即此種情況不可能．綜上可知，球的面積是2500πcm2.2.據(jù)說偉大的阿基米德死了以后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑．在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點是圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．試計算出圖形中圓錐、球、圓柱的體積比．方法技巧方法感悟1.應(yīng)用球的表面積和體積公式的關(guān)鍵是確定出球的半徑，要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再根據(jù)平面幾何中的相交弦定理、圓周角、圓心角等相關(guān)知識，從而使問題得以解決．失誤防范解決與球有關(guān)的組合體問題，可通過軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，一般地，軸截面取過球心的截面．例如：例如，底面半徑為r，高為h的圓錐內(nèi)部有一球O，且球與圓錐的底面和側(cè)面均相切．過球心O作球的截面，如圖所示．則球心是等腰△ABC的內(nèi)切圓的圓心，AB和AC均是圓錐的母線，BC是圓錐底面直徑，D是圓錐底面的圓心．用同樣的方法可得以下結(jié)論：(1)長方體的8個頂點在同一個球面上，則長方體的體對角線是球的直徑；球與正方體的六個面均相切，則球的直徑等于正