2022年安徽省中小學教育教學論文評選指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學實驗案例研究摘要：2022年高考數(shù)學中的立體幾何客觀題側重于考察學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學計算等核心素養(yǎng)。在對高二學生進行調查與試驗后，發(fā)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的不足是普遍的問題，數(shù)學實驗是促進直觀想象素養(yǎng)提升的有效途徑，也為邏輯推理與數(shù)學計算等素養(yǎng)的提升奠定基礎，但立體幾何方面的數(shù)學實驗難以開展，這是教師要思考和解決的問題。本文的案例設計是以高考題為背景，提煉出一般原理后運用GeoGebra軟件設計動態(tài)的立體幾何數(shù)學實驗，探究數(shù)學實驗的方法與形式。關鍵詞：數(shù)學實驗，GeoGebra軟件，核心素養(yǎng)，高考試題2022年高考已經落下帷幕，新的高考數(shù)學試卷揭開面紗，作為最權威的資料，高考試卷是高中數(shù)學教師重要的研究對象之一。研究高考試卷的目的，一方面是為課堂教學確立合理的目標和內容，以提高教與學的效率，另一方面是反思自己在教學中存在的不足和誤區(qū)，以校正教與學的方向和方法。筆者首先關注了試卷中客觀題的立體幾何試題，從題量來看，各套試卷中立體幾何的客觀題為兩題或三題；從考察的知識點來看，主要是空間中位置關系的判斷以及表面積、體積和空間角的計算；從考察的幾何體上看，有長方體、正方體、圓錐、棱錐、棱臺和球體。其中，全國乙卷理科數(shù)學第9題（文科第12題）和新高考數(shù)學Ⅰ卷第8題都是以球的內接幾何體為載體，這是典型的題型，師生的關注度都比較高，同時難度也較高，對于學生的數(shù)學核心素養(yǎng)有較高的要求。所以筆者著重對這兩題進行了研究，引發(fā)了對即將到來的高三數(shù)學教學的思考。一、通過調查與試驗發(fā)現(xiàn)教學中存在的問題 為了調查即將升入高三的學生解決立體幾何問題的能力，隨機抽取20名高二學生，將下面的兩道高考題發(fā)給學生進行試驗。2022年全國乙卷理科數(shù)學第9題（文科數(shù)學第12題）：已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）A.1B.1C.3D.2323212022年安徽省中小學教育教學論文評選2022年新高考數(shù)學Ⅰ卷第8題：已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為36π，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A.B.C.D.[18,27]這兩道試題在命題形式上延續(xù)了全國卷的特點，是立體幾何中的典型試題，試題基于棱錐和球面，考察學生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學計算能力，難點是在立體幾何中融入用導數(shù)求函數(shù)最值的環(huán)節(jié)，提高了試題的難度，對學生的數(shù)學核心素養(yǎng)提出了更高的要求。試題考察對象為棱錐和球的相關知識，對“知識和能力”的要求是畫出直觀圖，根據(jù)直觀圖或軸截圖推導出棱錐的底面外接圓半徑與球的半徑滿足的關系，建立體積的函數(shù)關系式，并運用導數(shù)求出體積的最值。對“數(shù)學核心素養(yǎng)”的要求是具備較高的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學計算素養(yǎng)。試驗學生中有約1學生因不能畫出直觀圖而導致失分，3在能畫出直觀圖的學生中，只有約1的學生能夠推出棱錐的底面外接圓的半徑與球的半2徑滿足的關系并建立函數(shù)關系式。從試驗的結果看，存在的問題是學生的空間想象能力嚴重不達標，最直接的體現(xiàn)是不能根據(jù)語言描述繪制準確的直觀圖，從而導致后續(xù)的邏輯推理和數(shù)學計算成為空中樓閣。二、根據(jù)課程標準提出教學中要解決的問題2020年修訂的課程標準指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。從課程標準的角度看全國乙卷和新高考Ⅰ卷的考題，這兩題的解決步驟完美呈現(xiàn)了課程標準的要求，第一步是借助直觀圖認識棱錐與球的位置關系、形態(tài)變化，第二步是利用直觀圖或軸截圖建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建幾何問題的函數(shù)模型，第三步是對函數(shù)模型進行計算，得到幾何問題的答案。課程標準同時指出：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是22022年安徽省中小學教育教學論文評選探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎。按課程標準的要求反思調查與試驗的結果，要解決的突出問題是：怎么培養(yǎng)“直觀想象”素養(yǎng)？反思我們的課堂教學，對于有圖象的立體幾何試題，學生往往善于并樂于探究；對于沒有圖形的立體幾何試題，教師往往首先作出圖形，然后在引導學生探究。這樣的教學直接剝奪了學生鍛煉“空間想象能力”的機會，課堂上獲得的分析問題、解決問題的能力沒有根基。所以，在教學中要培養(yǎng)學生“直觀想象”的素養(yǎng)，就要給予充足的時間保證學生直接經驗的積累。三、以“數(shù)學實驗”作為解決問題的方法課程標準的教學提示中指出：立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。解決問題的關鍵是“提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征”，方法之一的“實物模型”難以實現(xiàn)空間幾何體的動態(tài)變化，同時不能保證有足夠的數(shù)量讓所有學生都能得到動手操作的機會，所以計算機軟件就成為首選的方法。在函數(shù)和平面幾何領域許多軟件都可以完美實現(xiàn)動態(tài)化，教師們廣泛使用的是“幾何畫板”軟件，但該軟件有兩個明顯的缺點，一是其立體幾何功能非常弱，空間幾何體的動態(tài)演示很難實現(xiàn)，二是沒有Android版本，不能安裝在智慧課堂的學生平板電腦中。而2019年人教版普通高中數(shù)學教科書推薦的GeoGebra軟件很好的解決了問題。GeoGebra軟件是一款結合幾何、代數(shù)與微積分的動態(tài)數(shù)學軟件，不僅有“幾何畫板”的優(yōu)點，還有更加強大與豐富的功能，其“3D視圖”功能可以完美實現(xiàn)空間幾何體的動態(tài)演示，是高中數(shù)學教與學的好幫手。該軟件是一款跨平臺的免費軟件，可以安裝在各種電腦、手機和智慧課堂的平板電腦中，為實現(xiàn)立體幾何的數(shù)學實驗提供了可靠的工具。反思學生“直觀想象”素養(yǎng)不達標的主要原因是在課堂教學中教師將主要時間和精力放在邏輯推理和數(shù)學計算上，而缺失了“認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能”。所以給予充足的時間，讓每個學生都能參與到對空間幾何體的分析與探究是解決問題的策略，數(shù)學實驗就是最好的手段。數(shù)學實驗是計算機技術和數(shù)學軟件引入教學后出現(xiàn)的新事物。數(shù)學實驗的目的是提32022年安徽省中小學教育教學論文評選高學生學習數(shù)學的積極性，提高學生對數(shù)學的應用意識并培養(yǎng)學生用所學的數(shù)學知識去認識問題和解決實際問題的能力。不同于傳統(tǒng)的數(shù)學學習方式，它強調以學生動手為主的數(shù)學學習方式，為數(shù)學的思想與方法注入了更多、更廣泛的內容，使學生擺脫了繁重的乏味的數(shù)學演算和數(shù)值計算，促進了數(shù)學同其他學科之間的結合，從而使學生有時間去做更多的創(chuàng)造性工作。四、“利用GeoGebra軟件開展數(shù)學實驗”的實驗設計方案1．實驗設計整體思路對2022年全國乙卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷的試題分析可以看出，棱錐（棱臺）的底面頂點都在球面上可以轉化為圓錐（圓臺）的底面圓在球面上，棱錐（棱臺）的底面問題可以用圓錐（圓臺）的底面半徑解決。圖1和圖2為GeoGebra軟件的截圖，本實驗案例僅針對棱錐問題，棱臺問題另行設計實驗方案。 圖1 圖2

利用GeoGebra軟件繪制如圖1、圖2所示的幾何體，圓錐PO’的底面圓在球面上運動，正n棱錐（底面邊數(shù)n可變）的底面頂點在圓錐的底面圓上。實驗一：如圖1，當頂點P與球心O重合時，觀察并驗證圓錐和棱錐的最大值。實驗二：如圖2，當頂點P在球面上時，觀察并驗證圓錐和棱錐的最大值。2．實驗教學目標：①通過實驗掌握底面圓在球面上的圓錐半徑與球的半徑的關系；②通過觀察了解球的內接圓錐和棱錐體積的變化規(guī)律；42022年安徽省中小學教育教學論文評選③通過實驗建立球的內接圓錐和棱錐的體積的函數(shù)解析式；④通過計算驗證球的內接圓錐和棱錐的體積的體積的變化規(guī)律。3．實驗課件制作步驟： 第1步：打開GeoGebra軟件、在“視圖”菜單中調出“3D繪圖區(qū)”，隱藏“xoy平面”；

第2步：作點O=(0,0,0),以O為球心，半徑為1作球面a.以O為圓心，作半徑為1的圓c；

第3步：在z軸上作點O’，過O’點作與z軸垂直的平面p，與球面交于圓d，隱藏平面p；

第4步：在“2D繪圖區(qū)”建立整數(shù)滑動條n,取值范圍為[3,10].在圓d上任取一點A，以z軸為旋轉軸，將點逆時針旋轉(360/n)°，得到點B.作以A、B為頂點，邊數(shù)為n的正多邊形poly1。拖動滑動條n可以改變圓d的內接正n邊形的邊數(shù)。第5步：在z軸上取一點P，以多邊形poly1為底面，P為頂點建立棱錐b。第6步：以O’為底面圓心，P為頂點，線段O’A為底面半徑建立圓錐e.第7步：連接線段OO’、線段OP、線段OA、線段O’A，隱藏坐標系。4．實驗過程設計： 實驗一：頂點與球心重合的圓錐和棱錐

（1）實驗操作：將n的值定為4，P與球心重合，得到四棱錐P-ABCD(四棱錐b)和圓錐PO’(圓錐e)，在球O內拖動點O’改變棱錐和圓錐的形狀。 （2）實驗觀察：,通過觀察，說出四棱錐b(四棱錐P-ABCD)與圓錐e(圓錐PO’)的體積的取值范圍。圖3 圖452022年安徽省中小學教育教學論文評選結論：如圖3所示，四棱錐b體積的最大值是0.26，圓錐e體積的最大值是0.4。所以，四棱錐b(四棱錐P-ABCD)體積的取值范圍是(0，0.26],圓錐e(圓錐PO’)的體積的取值范圍是(0，0.4]。 （3）原理分析：已知球O的半徑為1，設圓錐PO’的底面半徑為r，請根據(jù)圖形推出四棱錐P-ABCD的體積V1和圓錐PO’的體積V2。結論：∵PO'=1-r2，SABCD=2r2∴V1=。，V2=（4）驗證結論：因為r2(1-r2)=r4-r6，設t=r2，所以V1和V2可以用函數(shù)ft()=t2-t3(0<<1)來考慮。因為f'()=2t-3t2=t(2-3t)，時，.所以當時，；當于是當時取得最大值，所以V1的最大值為，V2的最大值為 實驗二：頂點在球面上的圓錐和棱錐

（1）實驗操作：將n的值定為3，P在球面上，坐標為(0,0,1)，在球O內拖動點O’改變棱錐和圓錐的形狀。 （2）實驗觀察：,通過觀察，說出三棱錐b(三棱錐P-ABCD)與圓錐e(圓錐PO’)的體積的取值范圍。62022年安徽省中小學教育教學論文評選圖5圖6 圖7

結論：如圖6所示，三棱錐b體積的最大值是0.51，圓錐e體積的最大值是1.24。所以，

三棱錐b(三棱錐P-ABC)體積的取值范圍是(0，0.51],圓錐e(圓錐PO’)體積的取值范圍是(0，1.24]。 （3）原理分析：已知球O的半徑為1，設圓錐PO’的高為h，請用h表示三棱錐P-ABC的體積V1和圓錐PO’的體積V2。結論：∵