第第頁平板波導(dǎo)理論

第一章平板波導(dǎo)的射線理論

光束在介質(zhì)中傳輸時，由于介質(zhì)的吸收和散射而引起損耗，由于繞射而引起發(fā)散，這些情況都會導(dǎo)致光束中心部分的強(qiáng)度不斷地衰減。因此，有必要設(shè)計(jì)制作某種器件，它能夠引導(dǎo)光束的傳播，從而使光束的能量在橫的方向上受到限制，并使損耗和噪聲降到最小，這種器件通常稱為光波導(dǎo)，簡稱波導(dǎo)。結(jié)構(gòu)最簡單的波導(dǎo)是由三層均勻介質(zhì)組成的，中間的介質(zhì)層稱為波導(dǎo)層或芯層，芯兩側(cè)的介質(zhì)層稱為包層。芯層的介電常數(shù)比芯兩側(cè)包層的介電常數(shù)稍高，使得光束能夠集中在芯層中傳輸，因而起到導(dǎo)波的作用。這種波導(dǎo)的介電常數(shù)分布是陡變的，也稱為階梯變化的，常稱這種波導(dǎo)為平板波導(dǎo)。

對光波導(dǎo)特性的分析，應(yīng)用兩種理論，即射線光學(xué)理論和波動光學(xué)理論。射線光學(xué)理論的優(yōu)點(diǎn)是對平板波導(dǎo)的分析過程簡單直觀，對某些物理概念能給出直觀的物理意義，容易理解。缺點(diǎn)是對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多層波導(dǎo)射線光學(xué)理論不便于應(yīng)用，或只能得出粗糙的結(jié)果。一般而言，若想全面、正確地分析各種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)的模式特性，還必須采用波動理論。

光射線，簡稱射線或光線，可以這樣理解：一條很細(xì)很細(xì)的光束，它的軸線就是光射線。它的方向沿著光能流的方向。光線與光束是不同的，光線是無限細(xì)的，光束則有一定的尺寸。光線在均勻介質(zhì)中的傳輸軌跡是一條直線，在非均勻介質(zhì)中的傳輸軌跡是一條曲直線。用射線去代表光能量傳輸路線的方法稱為射線光學(xué)。射線光學(xué)是忽略光波長的光學(xué)，亦即射線理論是光波長趨于零的波動理論。

本章將應(yīng)用射線光學(xué)的基本理論對三層平板波導(dǎo)加以分析，目的是對波導(dǎo)的導(dǎo)波原理和與之相關(guān)的某些物理概念為讀者給出直觀的物理意義和清晰的理解，并為以后運(yùn)用波動光學(xué)理論分析各種結(jié)構(gòu)光波導(dǎo)的模式特性打好基礎(chǔ)。

1.1模式類型

我們把波導(dǎo)中所能傳輸?shù)碾姶艌鲂头Q為波導(dǎo)的模式，在平板波導(dǎo)中存在兩種基本模式，一種稱為TE模，另一種稱為TM模。兩種模式用光的電場和磁場的偏振方向來定

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義比較直觀。選擇電場只沿平行于波導(dǎo)界面的方向偏振，此時電場垂直于光的傳播方向，是橫向的，因而把這種模式稱為橫電模，英文為TransverseElectricMode，取其字頭稱為TE模。選擇磁場只沿平行于波導(dǎo)界面的方向偏振，此時磁場垂直于光的傳播方向，是橫向的，因而把這種模式稱為橫磁模，英文為TransverseMagneticMode，取其字頭稱為TM模。根據(jù)模式的導(dǎo)波性或輻射性，可進(jìn)一步把模式分為導(dǎo)引模式和輻射模式，前者簡稱導(dǎo)模，而后者簡稱輻射模。

現(xiàn)來研究三層平板波導(dǎo)，其橫截面和相對介電常數(shù)分布如圖1-1所示，光沿垂直紙面的z方向傳輸，圖中b為波導(dǎo)芯厚度，?1、?2、?3分別為芯層、下包層和上包層的相

2??n11對介電常數(shù)，相應(yīng)的折射率分別為n1、n2、n3，它們與相對介電常數(shù)的關(guān)系為、22?2?n2、?3?n3。為了分析方便，常令?1??2??3，或n1?n2?n3。當(dāng)上下包層為同

一種介質(zhì)時，?2??3，此時為對稱三層波導(dǎo)，當(dāng)上下包層為兩種不同的介質(zhì)時，?2??3，此時為非對稱三層波導(dǎo)。令光沿z方向傳輸，光在y方向不受限制。下面我們對非對稱三層波導(dǎo)進(jìn)行分析，即?1??2??3、n1?n2?n3。對于對稱三層波導(dǎo)，只要在分析結(jié)果中令n2?n3即可。

xx上包層810?3=n32b64導(dǎo)芯波b?1=n1202y?22=n22406?2?3810下0包層0?1?(x)

圖1-1三層平板波導(dǎo)的橫截面圖及相對介電常數(shù)分布，?1>?2??3，當(dāng)?2=?3時為對

稱三層平板波導(dǎo)，當(dāng)?2??3時為非對稱三層平板波導(dǎo)。

1.1.1折射定律和全反射

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光在波導(dǎo)中傳輸時，從射線的角度來看，要不斷地在波導(dǎo)的兩個界面上發(fā)生反射和折射，如圖1-2所示。反射光的軌跡在芯層中是一個鋸齒波。令入射角為?1，在下界面的折射角為?2，在上界面的折射角為?3。當(dāng)入射角?1較小時光在上下兩個界面上都不發(fā)生全反射，此時光在上下兩個界面上的折射滿足折射定律

n1sin?1?n2sin?2n1sin?1?n3sin?3(1.1-1)

即有

n1sin?1?n2sin?2?n3sin?3(1.1-2)

由式(1.1-1)可得

sin?1?n2sin?2n1si?n1?

n3si?n3n1(1.1-3)

因?yàn)閚1?n2?n3，由式(1.1-2)可判斷出?1??2??3。當(dāng)入射角?1增大時，折射角為?2和?3也隨之增大。當(dāng)?3增大到90?時，光在上界面上發(fā)生全反射。如果入射角?1繼續(xù)增大，使得?2也增大到90?時，光在下界面上也要發(fā)生全反射。光發(fā)生全反射時的入射角稱為臨界角。由式(1.1-3)可得到光在下、上兩個界面上發(fā)生全反射時的臨界角?12、?13分別為

?12?arcsinn2n1?13?arcsin

n3n1(1.1-4)

因?yàn)閚2?n3，所以?12??13。1.1.2空間輻射模

當(dāng)入射角較小時，使得光在上下兩個界面上都不發(fā)生全反射，如圖1-2所示。在這種情況下，光在傳輸過程中不斷地有折射光進(jìn)入上下包層，即光能量不斷地從上下包層中輻射出去，這種模式稱為空間輻射模。因此若產(chǎn)生空間輻射模，入射角?1必須滿足下述條件

?1??13?arcsin由上式還可得到

n3(1.1-5)n13

n1sin?1?n3(1.1-6)

我們定義N?n1sin?1為模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為

N?n3(1.1-7)

令k0?2??0，稱k0為為真空中波數(shù)，?0真空中光波長，并定義??k0N為模式的傳播常數(shù)，它是波矢k的z分量，即kz??。引入傳播常數(shù)的概念后，上式兩端同乘以k0，因此產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為

??k0N?k0n3(1.1-8)

我們把產(chǎn)生空間輻射模的條件合寫如下

?1??13?arcsinn3n1?1?n3??k0N?k0n3(1.1-9)N?n1sin傳播常數(shù)?的單位通常采用cm-1或mm-1。

n3?3?1108n1642?1?20246810n20圖1-2空間輻射模

1.1.3襯底輻射模

如果入射角?1增大到使光在上界面發(fā)生全反射但在下界面還沒發(fā)生全反射，如圖1-3所示。此時光在傳輸過程中不斷地有折射光進(jìn)入下包層，即光能量不斷地從下包層(有時也為襯底)中輻射出去，這種模式稱為襯底輻射模。因此若產(chǎn)生襯底輻射模，入射角?1必須滿足下述條件

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arcsinn3n??13??1??12?arcsin2n1n1(1.1-10)

由上式還可把產(chǎn)生襯底輻射模的條件寫為

n3?N?n1sin?1?n2(1.1-11)

上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為

k0n3???k0N?k0n2(1.1-12)

n3108?1n1642?1?20246810n20圖1-3襯底輻射模

1.1.4導(dǎo)模

如果入射角?1增大到使光在上下兩個界面上都發(fā)生全反射時，此時上下包層中不再有折射光，如圖1-4所示。在這種情況下，光能量不再向包層中輻射，光被限制在波導(dǎo)芯中以鋸齒波的形式沿z方向傳輸，這種模式稱為導(dǎo)模。因此若產(chǎn)生導(dǎo)模，入射角?1必須滿足下述條件

arcsinn2??12??1n1(1.1-13)

由上式還可把產(chǎn)生導(dǎo)模的條件寫為

n2?N?n1sin?1?n1(1.1-14)

上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0，產(chǎn)生空間輻射