2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選轉(zhuǎn)化：從數(shù)學(xué)猜想到問題解決摘要：從數(shù)學(xué)猜想到問題解決是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑．“似是而非”的問題，往往就需要把“非”轉(zhuǎn)化為“是”，“似曾相識”的問題，就是需要找回記憶中的“美好”，“一葉障目”的問題，就是需要撥開云霧見“月明”．本文通過具體事例介紹了如何從數(shù)學(xué)猜想轉(zhuǎn)化建立數(shù)學(xué)模型，到問題解決的有效途徑．關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)猜想，建立模型，轉(zhuǎn)化思想．引言：轉(zhuǎn)化思想一般指化歸思想．化歸思想就是將一個(gè)問題由難化易，由繁化簡，由復(fù)雜化簡單的過程稱為化歸，它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱．說白了，轉(zhuǎn)化就是要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有意識地“將未知的轉(zhuǎn)化為已知的”、“將復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的”，從而有效的解決問題．縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程，無不滲透“轉(zhuǎn)化”二字．義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)之一，就是“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”．?dāng)?shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式．通過數(shù)學(xué)的思維，可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系；能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系；能夠運(yùn)用符號運(yùn)算、形式推理等數(shù)學(xué)方法，分析、解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題；能夠通過計(jì)算思維將各種信息約簡和形式化，進(jìn)行問題求解與系統(tǒng)設(shè)計(jì)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神．[1]曹一鳴教授指出，數(shù)學(xué)猜想探究能力是學(xué)生獨(dú)立根據(jù)已有的知識結(jié)構(gòu)提出新穎的、值得論證的數(shù)學(xué)猜想并進(jìn)行推理論證的能力，而“新穎的數(shù)學(xué)猜想”并不是嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)新結(jié)論，而是相對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，是新的結(jié)論，學(xué)生在猜想探究的過程中，獲得的不僅僅是新結(jié)論，更重要的是獲得解決問題的思考方法．[2]一、“似是而非”的問題，往往就需要把“非”轉(zhuǎn)化為“是”當(dāng)我們遇到一個(gè)無法解決的問題時(shí)，可以將問題與所學(xué)知識對比，也許你會(huì)覺得它們似是而非，但是，只要我們換個(gè)角度思考，就能把“非”轉(zhuǎn)化為“是”，問題就由“未知的轉(zhuǎn)化為已知的”．12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選【例1】在學(xué)習(xí)了《8.1冪的運(yùn)算》后，你會(huì)比較693與963的大小嗎？我們知道，冪的大小比較，常用方法是：底數(shù)相同看指數(shù)，指數(shù)相同看底數(shù)．但是，本題中的693與963底數(shù)和指數(shù)都不相同，怎么辦呢？經(jīng)過觀察思考，發(fā)現(xiàn)它們的底數(shù)有公因數(shù)3，于是可以利用求商的方法，將它們約分化簡，然后再進(jìn)行比較，也就是將問題轉(zhuǎn)化．我們還知道：對于正實(shí)數(shù)a、b，若a＞1，則a＞b；若a＜1，則a＜b；若a＝1，bbb則a＝b．利用上面的規(guī)律來比較693與963的大?。?yàn)?93(23)93293393293393293266(22)33433，963(32)633126333393333333333333所以693＞963．說明，在上面的計(jì)算中，將693化成293后，仍然無法比較大小，于是通過將293縮963333小為266，再約分，最后判斷出結(jié)果．這里，為了進(jìn)一步解決問題，需要我們采用適當(dāng)放大或縮小來解決問題，其實(shí)也是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【例2】已知實(shí)數(shù)a、b滿足ba14a，求b的最大值與最小值之差．遇到二次根式問題，首先想到的就是二次根式有意義，然后確定字母的取值范圍．顯然，本題中1≤a≤4，b＞0．那么，如何求出b的最大值與最小值呢？下面，我們嘗試著將問題轉(zhuǎn)化來探究．等式兩邊平方，得b2(a)12a14a(4a)32a25a4，因?yàn)?，在代?shù)式32a25a4中，3是常數(shù)，所以，欲求b的最大值與最小值，只要求出a25a4的最大值與最小值．由于a25a4(a5)29，所以，當(dāng)a5時(shí)，a25a4的最大值為9．2424又因?yàn)閍25a4要有意義，即a25a40，所以a25a4的最小值為0，此時(shí)a1或者a4．所以b2的最大值為3296，b2的最小值為3203，4因?yàn)閎＞0，所以b的最大值為6，最小值為3．22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選因此，b的最大值與最小值之差為63．5)29，實(shí)質(zhì)上是將問題轉(zhuǎn)化為二次說明，本題中，將a25a4化成a24函數(shù)來解決．二、“似曾相識”的問題，就是需要找回記憶中的“美好”在數(shù)學(xué)問題解決過程中，我們都會(huì)遇到一些難以解決的問題，而這些問題好像我們曾經(jīng)見過，又好像與某些問題很像，但是就是想不起來了，怎么辦？這時(shí)我們需要從問題中尋找線索，一點(diǎn)一滴的喚起記憶中“美好”．【例3】若實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy100，3y2xy20，求x3y的值．本例看似解方程組，又好像是求代數(shù)式的值，但是，如果將條件中的兩個(gè)等式組成解方程組x323xy100①，硬著頭皮一頓算，肯定很麻煩．那么有什么更簡單的方y(tǒng)2xy20②法嗎？我們將條件中的兩個(gè)等式仔細(xì)觀察，大膽想象它可能與我們所學(xué)過的什么知識有聯(lián)系呢？可能會(huì)猜想它們與(ab2)和(ab2)有某種聯(lián)系，但是，它們到底有何聯(lián)系呢？讓我們來分析一下．首先，我們知道(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2；其次，觀察等式x2xy100，因?yàn)樯厦鎯蓚€(gè)公式展開后都有積的2倍，所以可試著把等式左邊改寫為x22x3y10，（如圖）(a+b)2=a2+2?a?b+b2(x+__)2=x2+2?x?()+()2按照這樣的想法，猜測ax，b3y，（如果猜想b3y也可以，但出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，解答2起來沒有整數(shù)方便），于是有(x3y)2x22x3y(3y)2x26xy9y2，對照條件中的兩個(gè)等式可知，①＋②×3得(x23xy10)3(3y2xy2)0，y)216，所以xy4．即x26xy9y2160，也就是(x32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選當(dāng)然，如果將x23xy100①變形為x(x3y)10③，然后③÷④，得到x53y2xy20②y(x3y)2④y，即x5y，再代入①或②，也可以先求出x、y的值，最后求x3y的值，但是，這種方法較為麻煩．三、“一葉障目”的問題，就是需要撥開云霧見“月明”數(shù)學(xué)中有很多問題，由條件到結(jié)果只差一步，但往往就在這一步被卡住，此時(shí)就需要我們認(rèn)真思考，由條件能推出哪些結(jié)果，而要得到結(jié)論又需要什么樣的條件，這兩方面將如何對接，如果對接成功，也就打通了從條件到結(jié)論的最后“瓶頸”．只有把擋住眼前的那一片樹葉去掉，才能夠看清問題實(shí)質(zhì)． 【例4】已知：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若∠ABC＝30°，∠ADC＝45°，求∠ACB的度數(shù)．本題看似簡單，由已知∠ABC和∠ADC，求∠ACB的度數(shù)，按照常規(guī)做法，需要過點(diǎn)D或點(diǎn)C作垂線，問題是作哪一邊的垂線呢？不清楚，此時(shí)需要我們對條件和結(jié)論兩方面進(jìn)行分析、探究、猜想，以期找到撥開云霧見日月的“鑰匙”．A AEB30°45°CB30°45°CaDaaDa例4圖例4解圖 通過對問題的分析，知∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝15°，又知BD＝CD，所以，可以嘗試以點(diǎn)D為圓心BC為直徑作半圓（如圖），交AB于點(diǎn)E，連接DE、CE，則DE＝BD＝CD＝a，

所以，∠DEB＝∠EBD＝30°，∠CDE＝60°，∠BEC＝90°進(jìn)一步得到△CDE是等邊三角形，CE＝CD＝DE，∠DCE＝60°．于是，∠EDA＝∠CDE－∠ADC＝15°＝∠EAD，AE＝DE＝a，所以AE＝CE． 在Rt△ACE中，由于AE＝CE，所以∠ACE＝45°．故∠ACB＝∠BCE＋∠ACE＝105°．42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選 說明，本題根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，通過構(gòu)造輔助圓，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形、等腰三角形的問題，再利用這些特殊三角形的相關(guān)知識，找到問題解決的突破口． 【例5】如圖，在邊長為2的正方形中擺放如圖所示的4個(gè)大小相同的圓，陰影部分是四邊分別與這四個(gè)圓相切的正方形，求陰影部分正方形的面積． 本題如果想通過用大正方形的面積減去空白部分的面積來求陰影部分正方形的面積，顯然是不太容易做到的，那么怎樣才能簡便地求出小正方形的面積呢？

猜想：如果能求出小正方形的邊長，那么它的面積也就能求出來了，如何求出小正方形的邊長呢？根據(jù)圖形的特殊性，可以嘗試將各圓心分別連接起來（如圖），得到△ABC．很容易判斷△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC＝1，所以AC＝2．而DE長就是陰影正方形的邊長．因?yàn)锳D＝CE＝0.5，所以DE＝ 21．因此，陰影部分正方形的面積為S( 2)1232 2． C

E222ADB2例5圖例5解圖當(dāng)然，不管是“似是而非”的問題，還是“似曾相識”的問題，都表明了在我們大腦中已經(jīng)存儲(chǔ)了一定的數(shù)學(xué)知識，但是卻不能快速、準(zhǔn)確、有效地調(diào)取出來，說明我們在平時(shí)的數(shù)學(xué)問題解決中還存在如何應(yīng)用的問題。而“一葉障目”更是說明了我們不能靈活應(yīng)用所學(xué)知識，不能透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)。這就要求我們在平時(shí)解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，多問一些“為什么”、“怎樣才能實(shí)現(xiàn)”、“還需要什么條件”、“條件和結(jié)論（結(jié)果）有怎樣的關(guān)