基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的中美數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)比較

2009年9月，在東北師范大學(xué)附屬中學(xué)舉行的一次中美數(shù)學(xué)教師“同課異構(gòu)”活動(dòng)中，一位中國(guó)教師和一位美國(guó)教師分別給該校高一年級(jí)兩個(gè)不同班級(jí)的學(xué)生用英語(yǔ)講授了人教版高中數(shù)學(xué)必修3中的“幾何概型”這一節(jié)課.因?yàn)楹芏嘀忻罃?shù)學(xué)教育的比較研究是基于不同文化背景下的學(xué)生，而這次研究活動(dòng)中學(xué)生的文化背景幾乎完全相同，所以這是一次極具研究?jī)r(jià)值的活動(dòng).顧泠沅先生在1999年“中美數(shù)學(xué)教育高級(jí)研討會(huì)”上提出了這樣的觀點(diǎn)：在世界文化的東西兩方共同尋找中間地帶的重要時(shí)期，尋找中間地帶，不僅是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育改革的大策略，也是整個(gè)教育改革的大趨勢(shì).時(shí)隔10多年以后，中美數(shù)學(xué)教育之間是否找到了彼此滿(mǎn)意的“中間地帶”呢？下面，我們將根據(jù)中美數(shù)學(xué)教師分別任教的“幾何概型”課（錄像），作比較和分析，并試圖初步回答上述問(wèn)題.一、問(wèn)題數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”包括TIMSS1999（第三次國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)水平測(cè)試）錄像研究在內(nèi)的很多關(guān)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究，都將數(shù)學(xué)問(wèn)題作為關(guān)注的焦點(diǎn).因此，我們也試圖對(duì)中美數(shù)學(xué)教師在“幾何概型”錄像課中給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題（見(jiàn)下表）進(jìn)行精細(xì)的比較和分析.二、比較下面我們分別從問(wèn)題呈現(xiàn)方式和問(wèn)題解決策略?xún)蓚€(gè)角度來(lái)分析上述中美數(shù)學(xué)教師在“幾何概型”錄像課中給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題.1.問(wèn)題呈現(xiàn)方式中國(guó)教師在上課過(guò)程中充分地運(yùn)用了信息技術(shù).在她的教學(xué)過(guò)程中，自始至終使用了一個(gè)卡通視頻，通過(guò)其中的一個(gè)卡通人物（朱迪）在星期日的活動(dòng)設(shè)置數(shù)學(xué)問(wèn)題，中國(guó)教師給出了表1中的數(shù)學(xué)問(wèn)題1、2、3、4、8，問(wèn)題5是由教師以口頭語(yǔ)言的形式給出，而問(wèn)題6、7則是通過(guò)一個(gè)獨(dú)立的計(jì)算機(jī)文件呈現(xiàn).所有數(shù)學(xué)問(wèn)題，都沒(méi)有以書(shū)面符號(hào)的形式寫(xiě)在黑板上.中國(guó)教師在卡通視頻中設(shè)置了幾個(gè)虛擬情境，從而使得問(wèn)題1、2、3、4能夠串成一個(gè)“故事”，這種呈現(xiàn)方式可能會(huì)使學(xué)生容易記住這些問(wèn)題，但是這個(gè)故事“純屬虛構(gòu)”，遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí).美國(guó)教師在上課過(guò)程中完全沒(méi)有用到信息技術(shù).上課一開(kāi)始，他借助一個(gè)地球儀，讓全班學(xué)生參與了一個(gè)拋接地球儀的活動(dòng)，并通過(guò)這個(gè)活動(dòng)（問(wèn)題1），成功地模擬得到了地球儀上的海洋與陸地的面積比為35∶15.活動(dòng)結(jié)束后，他問(wèn)全班學(xué)生：“最容易處理的幾何圖形是什么？”有一位學(xué)生回答說(shuō)：“正方形.”此時(shí)，美國(guó)教師根據(jù)學(xué)生的回答，當(dāng)場(chǎng)以口頭語(yǔ)言的形式給出了問(wèn)題2，并在黑板上畫(huà)出了相應(yīng)的幾何圖形.在此基礎(chǔ)上，他不斷地在黑板上改變圖形的特征，分別給出了問(wèn)題3、4、5、6，然后，他以口頭語(yǔ)言的形式給出了整堂課的焦點(diǎn)問(wèn)題——問(wèn)題7，并在黑板上簡(jiǎn)單地寫(xiě)下了該問(wèn)題的已知條件.最后，他將問(wèn)題7作了變式，改成了問(wèn)題8，并作為學(xué)生家庭作業(yè).我們認(rèn)為，中國(guó)教師試圖在她的課堂中體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的基本理念——“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合”，她在課堂中所使用的卡通視頻設(shè)計(jì)得非常精美，能夠吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.而且，幾乎每一個(gè)問(wèn)題她都通過(guò)計(jì)算機(jī)屏幕完整地呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生看得很清楚.然而，如果從突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)并且有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的角度來(lái)考查，這個(gè)卡通視頻似乎并沒(méi)有發(fā)揮出相應(yīng)的功能，她的問(wèn)題呈現(xiàn)方式顯得有些牽強(qiáng)附會(huì)，不夠真實(shí)和自然.讓我們看看美國(guó)教師的問(wèn)題呈現(xiàn)方式.通過(guò)拋接地球儀的活動(dòng)（問(wèn)題1），美國(guó)教師在他的課堂中讓學(xué)生充分體驗(yàn)了概率（隨機(jī)性）和統(tǒng)計(jì)（收集數(shù)據(jù)）的思想.從學(xué)生的回答（最容易處理的幾何圖形是正方形）出發(fā)，美國(guó)教師很自然的給出了問(wèn)題2以及后面的一系列問(wèn)題.與中國(guó)教師的問(wèn)題呈現(xiàn)方式相比，美國(guó)教師的問(wèn)題呈現(xiàn)方式顯得更真實(shí)和自然.然而，美國(guó)教師在引入部分（問(wèn)題1）所花費(fèi)的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)（約10分鐘），使得整節(jié)課前松后緊.美國(guó)教師主要借助口頭語(yǔ)言和在黑板上的書(shū)面符號(hào)來(lái)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于表述得不夠清楚或者學(xué)生聽(tīng)得不是很清楚，學(xué)生較為費(fèi)解.美國(guó)教師雖然主要使用黑板來(lái)板書(shū)，但是他似乎并不擅長(zhǎng)合理利用黑板的空間.一個(gè)典型的現(xiàn)象是，美國(guó)教師在整節(jié)課中有7次擦黑板的動(dòng)作，有時(shí)剛在黑板上寫(xiě)完就擦去，而中國(guó)教師在整節(jié)課中從沒(méi)有擦過(guò)黑板.美國(guó)教師對(duì)問(wèn)題7進(jìn)行變式得到了問(wèn)題8，但是問(wèn)題8的難點(diǎn)已經(jīng)從確定幾何概率模型轉(zhuǎn)到了不等式組的求解，偏離了本節(jié)課的重點(diǎn).2.問(wèn)題解決策略中國(guó)教師在解決問(wèn)題1、2、4時(shí)都使用了相應(yīng)的實(shí)物操作模型作為教具，并將學(xué)生分成若干個(gè)小組進(jìn)行合作學(xué)習(xí).例如，在解決問(wèn)題4時(shí)，中國(guó)教師采用了如下教學(xué)策略：先把全班學(xué)生分成若干個(gè)小組，并給每個(gè)小組發(fā)放一套實(shí)物操作模型（包括一個(gè)裝滿(mǎn)豆子的紙杯和一個(gè)畫(huà)著內(nèi)切圓的正方形硬紙板）.幾分鐘后，中國(guó)教師請(qǐng)某位學(xué)生分享他的解法.該生回答說(shuō)：“可以通過(guò)計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比解決這個(gè)問(wèn)題.”中國(guó)教師在糾正了該生的一些不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎龊螅ㄖ饕菍ⅰ敖葡嗟取闭f(shuō)成“相等”），轉(zhuǎn)而提出可以用計(jì)算機(jī)模擬這一過(guò)程，并且用一個(gè)應(yīng)用程序進(jìn)行了演示.美國(guó)教師的問(wèn)題5與中國(guó)教師的問(wèn)題4的背景十分相似，然而，美國(guó)教師在解決問(wèn)題5的過(guò)程中未使用任何實(shí)物操作模型或者計(jì)算機(jī)模擬程序，他的策略是搭建“腳手架”，從問(wèn)題2到問(wèn)題5，構(gòu)成了一個(gè)“問(wèn)題串”.在解決了一個(gè)又一個(gè)的“簡(jiǎn)單”問(wèn)題之后，問(wèn)題5的解決就顯得水到渠成了.我們認(rèn)為，中國(guó)教師試圖在她的課堂中體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的基本理念——倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.她希望學(xué)生能夠體驗(yàn)到自主探索、動(dòng)手實(shí)踐和合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.因此，她制作了精美的實(shí)物操作模型分發(fā)給學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí).然而，問(wèn)題1、2的知識(shí)背景是中國(guó)學(xué)生所熟悉的.我們認(rèn)為，沒(méi)有必要制作相關(guān)的教具讓學(xué)生動(dòng)手操作，直接畫(huà)圖就可以講清楚，教師應(yīng)該留出更多的時(shí)間解決更為重要的問(wèn)題3.而中國(guó)教師在問(wèn)題4中使用實(shí)物操作模型的教學(xué)策略存在兩方面的不足：一是學(xué)生在撒豆子時(shí)很難做到隨機(jī)化，因而得到的結(jié)果不夠準(zhǔn)確；二是教師最后并沒(méi)有要求學(xué)生匯報(bào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而只是問(wèn)學(xué)生應(yīng)該如何解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生的回答只是解決這個(gè)問(wèn)題的一般策略，并不是具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.這使得這個(gè)基于實(shí)物操作模型的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)形同虛設(shè).美國(guó)教師搭建“腳手架”的策略——從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、一步一步地逼近一個(gè)較難的問(wèn)題，這是符合西方教育理念的.然而，美國(guó)教師設(shè)置的這些問(wèn)題對(duì)于中國(guó)的高中學(xué)生而言顯得過(guò)于簡(jiǎn)單，無(wú)法給他們帶來(lái)太多的思考和挑戰(zhàn).中國(guó)教師的問(wèn)題3和美國(guó)教師的問(wèn)題7幾乎相同，都可以稱(chēng)為“會(huì)面問(wèn)題”.這個(gè)問(wèn)題是“幾何概型”這一節(jié)課中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生可能存在著從一維向二維轉(zhuǎn)化的疑難，還可能存在著不知如何確定平面區(qū)域的困惑.在解決會(huì)面問(wèn)題時(shí)，中美兩位教師采用的教學(xué)策略驚人的一致：都是請(qǐng)一位學(xué)生到黑板上板書(shū)解題過(guò)程，學(xué)生解完題后，教師并沒(méi)有進(jìn)一步解釋和評(píng)論.我們認(rèn)為，對(duì)于這個(gè)經(jīng)典的會(huì)面問(wèn)題，兩位教師請(qǐng)學(xué)生到黑板上板書(shū)的策略欠妥，較好的策略是教師先講解并示范如何解題，然后再布置另一個(gè)與之類(lèi)似的問(wèn)題讓學(xué)生練習(xí).三、結(jié)語(yǔ)中美數(shù)學(xué)教育的“中間地帶”在哪里？我們現(xiàn)在處于什么位置？這是值得中美雙方的數(shù)學(xué)教育工作者共同思考的問(wèn)題.從中美兩位數(shù)學(xué)教師在“幾何概型”這節(jié)課中的問(wèn)題呈現(xiàn)方式和問(wèn)題解決策略來(lái)看，雙方似乎已經(jīng)邁開(kāi)了互相學(xué)習(xí)的步伐，然而尚未真正學(xué)到對(duì)方的精髓.例如，使用實(shí)物模