第二節(jié)排列與組合必備知識(shí)—基礎(chǔ)落實(shí)關(guān)鍵能力—考點(diǎn)突破微專(zhuān)題·最新考綱·1．理解排列、組合的概念．2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．·考向預(yù)測(cè)·考情分析：排列組合的綜合問(wèn)題仍是高考的重點(diǎn)，近幾年難度降低，單獨(dú)考查較少．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)排列組合的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．必備知識(shí)—基礎(chǔ)落實(shí)1．排列與組合的概念

[注意]

區(qū)分一個(gè)問(wèn)題屬于排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵在于是否與順序有關(guān)，如果與順序有關(guān)，則是排列；如果與順序無(wú)關(guān)，則是組合．名稱(chēng)定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序________組合合成一組排成一列2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有________的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有________的個(gè)數(shù)公式性質(zhì)不同排列不同組合n！1

××√√(二)教材改編2．[選修2－3·P27T7改編]學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序，除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外，還有4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)曲藝節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求不能相鄰，2個(gè)曲藝節(jié)目出場(chǎng)前后順序已定，共有________種不同排法．75600

210

(三)易錯(cuò)易混4．(分類(lèi)不清)某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課3門(mén)，B類(lèi)選修課4門(mén)，一位同學(xué)從中共選3門(mén)．若要求兩類(lèi)課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_____．30

5．(不會(huì)用間接法)現(xiàn)有6個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不同時(shí)相鄰的排法有________種．576

(四)走進(jìn)高考6．[2021·全國(guó)乙卷]將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有(

)A．60種

B．120種C．240種

D．480種答案：C

關(guān)鍵能力—考點(diǎn)突破考點(diǎn)一排列問(wèn)題[基礎(chǔ)性、應(yīng)用性][例1]

有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；

(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．

反思感悟

1．求解排列應(yīng)用題的主要方法直接法分類(lèi)法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類(lèi)型，分別計(jì)算每個(gè)類(lèi)型中的排列數(shù)，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列(如本例(3))插空法不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中(如本例(4))間接法對(duì)于分類(lèi)過(guò)多的問(wèn)題，按正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2.解決有限制條件排列問(wèn)題的策略(1)根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進(jìn)行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．(2)根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰(shuí)來(lái)占進(jìn)行分類(lèi)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬]某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站在前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(

)

答案：D

2．[2022·福建龍巖質(zhì)檢]若用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中的六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性都不同的六位數(shù)，則這樣的六位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答)．288

考點(diǎn)二組合問(wèn)題[基礎(chǔ)性、應(yīng)用性]

[例2]

要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；

(2)男生甲和女生乙入選；(3)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．

反思感悟兩類(lèi)含有附加條件的組合問(wèn)題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直解法或間接法都可以求解，通常用直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，用間接法求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·昆明市“三診一模”質(zhì)量檢測(cè)]小華在學(xué)校里學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌，打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩(shī)，他準(zhǔn)備在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6個(gè)冬季節(jié)氣與立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨6個(gè)春季節(jié)氣中一共選出3個(gè)節(jié)氣，若冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少選出1個(gè)，則小華選取節(jié)氣的不同方法種數(shù)是(

)

A．90

B．180

C．220

D．360答案：B

2.[2022·廣州市綜合測(cè)試]如圖，洛書(shū)(古稱(chēng)龜書(shū))，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源．在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)．若從4個(gè)陰數(shù)和5個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，則選取的3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為(

)A．30

B．40C．44D．70答案：B

考點(diǎn)三排列、組合的綜合應(yīng)用[綜合性、應(yīng)用性]

[例3]

(1)2021年1月18日，國(guó)家航天局探月與航天工程中心組織完成了我國(guó)首輛火星車(chē)全球征名活動(dòng)的初次評(píng)審．初評(píng)環(huán)節(jié)遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、風(fēng)火輪、追夢(mèng)、天行、星火共10個(gè)名稱(chēng)，作為我國(guó)首輛火星車(chē)的命名范圍．某同學(xué)為了研究這些初選名字的內(nèi)涵，計(jì)劃從中隨機(jī)選取4個(gè)依次進(jìn)行分析，若同時(shí)選中哪吒、赤兔，則哪吒和赤兔連續(xù)被分析，否則隨機(jī)依次分析，則所有不同的分析情況有(

)A.4704種

B．2800種

C．2688種

D．3868種答案：(1)A

(2)一次表彰大會(huì)上，計(jì)劃安排5名優(yōu)秀學(xué)生代表上臺(tái)發(fā)言，這5名優(yōu)秀學(xué)生分別來(lái)自高一、高二和高三三個(gè)年級(jí)，其中高一、高二年級(jí)各2名，高三年級(jí)1名．發(fā)言時(shí)若要求來(lái)自同一年級(jí)的學(xué)生不相鄰，則不同的排法共有________種．(

)A．36B．48C．72D．120答案：B

反思感悟

解排列、組合綜合應(yīng)用題的思路【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·江蘇南京市高三調(diào)研]將4名志愿者全部安排到某社區(qū)參加3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的安排方式共有(

)A．24種

B．36種

C．60種

D．72種

2．現(xiàn)有4份不同的禮物，若將其全部分給甲、乙兩人，要求每人至少分得1份，則不同的分法共有(

)A．10種

B．14種

C．20種

D．28種答案：B

微專(zhuān)題37排列組合中的分組分配問(wèn)題分組問(wèn)題是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題，在考試中不容易得分，在解題過(guò)程中容易掉入陷阱，本文結(jié)合一些典型問(wèn)題談?wù)勅绾伪苊獾暨M(jìn)分組問(wèn)題中的陷阱．解決這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想是先分組后分配．關(guān)于分組問(wèn)題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無(wú)論分成幾組，應(yīng)注意的是只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．一、不等分組問(wèn)題[例1]

7人參加志愿者活動(dòng)，按下列不同方法分組各有多少種不同的分法？(1)分成3組，各組人數(shù)分別為1人、2人、4人；(2)選出5個(gè)人分成2組，其中一組2人，另一組3人．

名師點(diǎn)評(píng)解決此類(lèi)“完全非均勻分組”問(wèn)題時(shí)，由于分組的不等分與組合數(shù)的相乘不產(chǎn)生矛盾，不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的問(wèn)題，因此只要分開(kāi)就可以直接達(dá)到完全非均勻分組的目的，無(wú)須考慮重復(fù)問(wèn)題．[變式訓(xùn)練1]

將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法．

二、整體均分問(wèn)題[例2]

國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分配方法．90

[變式訓(xùn)練2]

將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有_____