勾股定理【例1】引葭測(cè)水深西方代數(shù)學(xué)衰落的時(shí)期，恰是東方代數(shù)學(xué)的鼎盛時(shí)期．早在公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，就出現(xiàn)了求解二次方程的實(shí)際問(wèn)題．在書(shū)中有一道大約公元前兩千年左右的古樸有趣的題目：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深幾何？”這道題后來(lái)被傳到了中亞、印度和歐洲．意思是：有一個(gè)貯滿水的正方形水池正中長(zhǎng)著一株蘆葦．水池的邊長(zhǎng)是10尺，蘆葦只露出水面1尺．若將蘆葦拉到池邊，恰好能達(dá)到水池一個(gè)邊的中點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)池深多少？[解]設(shè)池深為x尺，根據(jù)勾股定理x2+52=(x+1)2x2+52=x2+2x+1x=12答：水深為12尺．現(xiàn)在看來(lái)，此題很簡(jiǎn)單，但是在四千年以前，卻是很難的．可見(jiàn)，我國(guó)古代人民已有了燦爛的文化和聰明的頭腦．【例2】如圖，△ABC中CD⊥AB于D，若AB=5，CD=，∠BCD=30°，求AC的長(zhǎng).[分析]AC是△ABC的邊，也是Rt△ACD的邊，△ABC是一般三角形，三邊之間沒(méi)有特殊關(guān)系，△ACD是直角三角形，三邊之間滿足勾股定理，因此欲求AC，先求AD，要求AD，就需知道BD，而B(niǎo)D又是RtΔBCD中30°所對(duì)的直角邊，所以BD=BC，利用勾股定理可求出BD.[解]∵CD⊥AB于D∠BCD=30°∴BD=BC,即BC=2BD（直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半)設(shè)BD=x，則BC=2x在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2∴∴x=2即BD=2∴AD=3在Rt△ACD中AC2=AD2+CD2∴【例3】如圖，數(shù)軸上A點(diǎn)表示單位1，求作的點(diǎn)B.[分析]首先作出的點(diǎn)C，再取其OC的中點(diǎn)B.[作法](1)過(guò)點(diǎn)O作l⊥OA(2)在l上截取OM=OA，連結(jié)AM(3)以A為圓心，AM為半徑作弧交正半軸于點(diǎn)C(4)作OC的垂直平分線交OC于B點(diǎn)，則點(diǎn)B就是所求的點(diǎn)．【例4】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，且∠DAE=45°求證CD2+BE2=DE2[分析]從待證的結(jié)論來(lái)看，不難聯(lián)想到勾股定理，由于CD、BE、DE三邊不在同一個(gè)三角形中，應(yīng)設(shè)法將其集中在一個(gè)三角形中，由于△ABC為等腰直角三角形，有邊相等，角相等的條件，為構(gòu)造三角形全等提供了條件，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BC使CF=BE，連結(jié)AF、DF，可判定△ABE≌△ACF，△DAE≌△DAF，從而得證．[證明]過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BC，使CF=BE，連結(jié)AF、DF∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=∠ACF=45°∴△ABE≌△ACF(SAS)∴BE=CF，AE=AF∠BAE=∠CAF∴∠BAC=∠EAF=90°∵∠DAE=45°∴∠DAF=45°∴△DAE≌△DAF(SAS)∴DE=DF在Rt△DCF中，CD2+CF2=DF2∴CD2+BE2=DE2【例5】已知：如圖，△ABC中，AB=AC，(1)D是BC上的任意一點(diǎn)，求證：AB2-AD2=BD·DC(2)若D為BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？為什么？[分析]此題條件簡(jiǎn)單，從已知條件很難入手，從求證AB2-AD2=BD·DC，想到勾股定理可以出現(xiàn)線段的平方，需要構(gòu)造直角三角形．因此從A作AE⊥BC于E，再看BD·DC，BD=BE+ED，DC=EC-ED，又BE=EC，∴BD·DC=(BE+ED)(BE-ED)=BE2-ED2，BE、AB在Rt△ABE中，AD、ED在Rt△ADE中[證明](1)過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BC于E，∵AB=AC(已知)∴BE=EC，(等腰三角形三線合一)∴∠AEB=∠AED=90°，由勾股定理，有：AB2-BE2=AE2同理AD2-DE2=AE2∴AB2-BE2=AD2-DE2∴AB2-AD2=BE2-DE2，∴AB2-AD2=(BE+DE)(BE-DE)∵BE+DE=BD，BE-DE=EC-DE=CD∴AB2-AD2=BD·CD(2)不成立，結(jié)論應(yīng)當(dāng)為AD2-AB2=BD·DC，證法仿照(1)，過(guò)A作AE⊥BC于E[說(shuō)明]此題中用到了平方差公式，一般有中點(diǎn)(或相等的線段)的條件，又出現(xiàn)了兩線段的和與兩線段的差時(shí)，應(yīng)考慮到平方差公式．【例6】設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，[分析]遇到數(shù)的平方問(wèn)題，有時(shí)可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形，然后巧用勾股定理，即應(yīng)用