3.4z函數(shù)y=Asin(”x+0)的圖象與性質(zhì)

第一課時(shí)函數(shù)y=4sin(<yx+°)的圖象與性質(zhì)

3三角函數(shù)的周期性

〃^知識(shí)搜索

1.周期函數(shù)

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)，x±7都有

定義，并且/U±T)=/U).則這個(gè)函數(shù)v=Nx)稱為周期函數(shù),T稱為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.

2.最小正周期

(1)如果周期函數(shù)y=/U)的所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，這個(gè)最小的正數(shù)就稱為

這個(gè)函數(shù)的最小正周期.

(2)函數(shù)y=sinx,y=cosx的最小正周期是初，函數(shù)y=tanx的最小正周期是久.

““嘗試應(yīng)用

函數(shù)y=|cosx|的最小正周期是()

AMB2

C.nD.27r

［提示］C

y=Asin(wx+°)的圖象

〃問題創(chuàng)設(shè)”〃/

1.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sinx,j=sin(x+^),y=sing一號(hào)的圖象，并觀察三

個(gè)函數(shù)的圖象間有何聯(lián)系？

2.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sinx,y=sin2x,y=sin*的圖象并觀察三個(gè)函數(shù)的

圖象間有何聯(lián)系？

3.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)尸sinx,j=2sinx,尸^sinx的圖象，并觀察這三個(gè)函

數(shù)的圖象間有何聯(lián)系？

知識(shí)搜索"/〃/

用“圖象變換法”作y=Asin("x十°)的圖象.

1.函數(shù)y=sina+°),x￡R(其中0=0)的圖象，可以看做是把正弦曲線上所有的點(diǎn)向

左（當(dāng)夕>0時(shí)）或向右（當(dāng)夕<0時(shí)）平行移動(dòng)|夕|個(gè)單位長度而得到.

2.函數(shù)y=singx,xGR（其中。>0,且“W1）的圖象，可以看做是把正弦曲線上所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)s>1時(shí)）或伸長（當(dāng)0<?<1時(shí)）到原來的方倍（縱坐標(biāo)不變）而得到.

3.函數(shù)y=Asinx,xGR（A>0且AW1）的圖象，可以看做是把正弦曲線上所有點(diǎn)的縱

坐標(biāo)伸長（當(dāng)4>1時(shí)）或縮短（當(dāng)0<A<l時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，函數(shù)y=Asin

X的值域?yàn)椋邸?,A1，最大值為&最小值為一4

〃〃〃嘗試應(yīng)用力〃

1.要得到y(tǒng)=sin%的圖象，只需將y=sin%:的圖象如何變換就得到？

I提示］將7=0或工的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;可得.

2.將^=或113*的圖象向左平移今個(gè)單位，得到的解析式是什么？

=sin(3x+,).

I提示］y

3.將產(chǎn)sin（2x一§向左平移g個(gè)單位得到的解析式為尸sin2為對(duì)嗎？

I提示］不對(duì)，應(yīng)為產(chǎn)sin（2x+§.

高頻考點(diǎn)題組化，名師一點(diǎn)就通

求周期

［例1］求下列函數(shù)的周期:

(l)j=sin2x+3；

(2)j=2cosGT)

（3）y=tan（2x+§.

［思路點(diǎn)撥］可以用定義求周期也可以用公式求解.

［邊聽邊記］法一：（l）'.,siii2（x+7r）+3=sin（2x+27r）+3=sin2x+3,

:.由周期函數(shù)定義可知J=sin2x+3的周期為7T.

⑵V2co（條+6"）-引

=2COSQX+2九一￡[)=2eosgx-§

=2cos&-的周期為67r.

.?.由周期函數(shù)定義可知，y

(3)Vtan^2x+J+TT2卡)

即tan^2^r+^)+^=tan(2x+^,

?力=的周期是梟

法二：(l)y=sin2x+3的周期：丁=空=

n.

(2)y=2cos(1r一的周期：7=竿=6兀

3

(3)y=tan(2x+g的周期：T=j.

)的最小正周期T=~.

借題(l)y=Asin(ex+0(@>O)

發(fā)揮

(2)y=Atan(Q)x+°)3>0)的最小正周期T=~.

::跟蹤演練

1.求下列函數(shù)的周期.

—2cos(-5-1)；

(l)J=

(2)j=|sin2x|.

(3)j=|tanx|.

解：(l)y=

_2n.

7=1=4兀

2

(2)因?yàn)閖=sin2x的周期是蔣=兀，故》=卜加2x|的圖象是將y=sin2x在x軸下方的部

分折到％軸上方，并且保留x軸上方圖象而得到的，因此周期

(3)函數(shù)j=|tanx|的圖象是將函數(shù)j=tanx圖象x軸下方的圖象沿x軸翻折上去，其余

不變，如圖所示.

由圖知函數(shù)y=|tanx|的周期為九

函數(shù)J=sincox與y=sin?*+e)圖象間的關(guān)系

［例2］(1)要得到函數(shù)y=sin(2x—；，的圖象.只需將y=sin2x的圖象如何變化就能得

到？

(2)函數(shù)y=2sin2x的圖象怎樣由j=sin|x的圖象得到？

［思路點(diǎn)撥］(1)根據(jù)變換前后確定平移的方向與單位.

(2)利用伸縮變換的規(guī)律可得.

［邊聽邊記］(l)；y=sin(2x一曲=sin24),

.?.把產(chǎn)sin2x的圖象上所有點(diǎn)向右平移合個(gè)單位，就得到產(chǎn)sin(2x一都的圖象.

(2)j=2sinlx的圖象可以看作由j=sinp圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)

不變)得到y(tǒng)=sin2x的圖象，再把該圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)

而得到.

借已知兩個(gè)函數(shù)的解析式，判斷其圖象間的平移關(guān)系的步驟：

題(1)將兩個(gè)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)成y=4sin?v與y=Asin?x+9),即A,0及名稱相同的結(jié)構(gòu).

發(fā)

⑵找到變量X“加”或“減”的量，即平移的單住.

揮

(3)明確平移的方向.

［變式之作］

本例⑴中問題若變?yōu)椤坝蓎=sin(2x—凸的圖象，只需向左平移自個(gè)單位就得到j(luò)

=sin2x的圖象”，試判斷其正確性.

解：由產(chǎn)sin(2x一符向左平移各個(gè)單位得到的為

產(chǎn)域2(*+合一制=sin(2x+g0=sin(2x+勃,

而不是y=sin2x,故不正確.

圖象間伸縮關(guān)系的應(yīng)用

［例3］把函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)向右平移5個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,

再把縱坐標(biāo)縮短到原來的|倍，所得圖象的解析式是y=2sin（5+g,求｛x）的解析式.

［思路點(diǎn)撥I解答本題可逆回去，從y=2sin（$+§的圖象出發(fā)實(shí)施相反的逆變換得到

所求函數(shù)解析式.

［邊聽邊記］了=2$山（方工+年）

縱坐標(biāo)伸長到原來的■!■倍

,橫坐標(biāo)縮短到原來的卷倍

^=3sin（Ta+f）------------"

向左平移于個(gè)單位

借題已知函數(shù)大幻圖象的伸縮變換情況，求變換前后圖象的解析式.要明確伸縮的方向

發(fā)揮及量，然后確定出A或M即可.

■跟蹤演練

2.將y=/（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，然后再將整個(gè)圖象沿x軸向

右平移與個(gè)單位，得到的曲線與y=；sinx圖象相同，則y=/U）的函數(shù)解析式為

向左平移彳個(gè)單位

1.21.(工姑橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍1.(\.7t\11

解析：j=2Sinx--------------------^=2sinv-^27----------------------^y=^in\2x~^2J=2C0S2

答案：/(x)=|cos|x

隨堂練習(xí)常態(tài)化，當(dāng)堂強(qiáng)化所學(xué)

課堂10分鐘

1.將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移］個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

7t

向右平移5個(gè)單位長度

解析：j=sin2x------------------------->j=sinl2Lr-I=sin(2x-n)=—sin(n—2x)=

—sin2x.

由于一sin(-2x)=sin2x,所以是奇函數(shù).

答案：A

2.下列函數(shù)中，周期定的是()

A.j=sinTB.j=sin2x

C.j=sin^D.j=sin4x

解析：由T=言，得)=§加4的周期為4冗，尸sin2x的周期為7T,ksin^的周期為8兀,

\C01/*T

7T

j=sin4x的周期為萬.

答案：D

3.函數(shù)y=2sin仔+§的周期、振幅依次是()

A.4n,—2B.4加,2

C.n92D.n9—2

解析：7=爺=4n,A=2.

2

答案：B

4.將函數(shù)y=sin(x—§圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的5倍，可得到

函數(shù)的圖象.

解析：y=sin(x-g的圖象：：就￡藍(lán)黑：,產(chǎn)而&一年)的圖象.

答案：

5.已知函數(shù)人制=3011(2*+9)(夕6(0,1)),其圖象向左平移點(diǎn)個(gè)單位后，關(guān)于y軸對(duì)

稱.

(1)求出函數(shù)人r)的解析式；

(2)如果該函數(shù)表示一個(gè)振動(dòng)量，指出其振幅、頻率、及初相，并說明其圖象是怎樣由

j=sinx的圖象得到的.

向左平移備個(gè)單位

0

解：（1）f（x）=3sin（2x+（f＞）-----------------!

y=3sin2（1+看）+夕=3sin（2;r+/+卬）

由￡~+9=上江+費(fèi)"，得少=4n+專，

OLt0

*.?長（°，3?中=專，?=J（1）=3sin（2z+7T

\乙，0\

⑵振幅：3,周期，頻率《，初相若.

向左平移4?個(gè)單位

0y=sin（父+企）

、=sinJC

橫坐標(biāo)縮短到原來的-倍

一（縱坐標(biāo)不七一7=sin（2葉1）

縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍y=3sin（2%+看）（最后去掉

（橫坐標(biāo)不變）

軸左側(cè)的部分）.

”課堂留言板

版主（三維精靈）?>

你能總結(jié)一下由j=sinx經(jīng)過變換得y=Asin（sx+e）的圖象的思路嗎？

上鋪的兄發(fā)表意見:?>

可以按下面的思路進(jìn)行，先變抄再變3,最后變A.即

圖象上各點(diǎn)向左

y=sinx的圖象y=sin（工+華）的圖象

或向右平移I同個(gè)單位長度

圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長或

v=sin（<ur+0的圖象

縮短為原來的-倍，縱坐標(biāo)不變

CO

圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長或縮短.

v=Asin（w.r+?的圖象.

到原來的八倍，橫坐標(biāo)不變

同桌的你發(fā)表意見:?>

也可以先變3,再變中,最后變A.即

但橫坐標(biāo)伸長或縮短.

v=sinJ■的圖象------------------*v=sin3R的圖象

到原來的」-倍

UJ

圖象上的點(diǎn)向左或向右

y=sintv（上十法）=sin（+g）的圖象

平移國個(gè)單位長度

0J

縱坐標(biāo)伸長或縮短,

到原來的八倍’y=Asin（3工+9）的圖象.

課下訓(xùn)練經(jīng)典化，貴在觸類旁通

1.把函數(shù)y=cosx的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼淖钊缓?/p>

將圖象沿x軸負(fù)方向平移點(diǎn)個(gè)單位長度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為（）

A.j=sin2xB.sin2x

C.y=cos（2x+JD.y=cos&+?

解析：y=cosx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=cos2x的圖

象；再把y=cos2x的圖象沿x軸負(fù)方向平移￡個(gè)單位長度，就得到y(tǒng)=cos[29+3]=

cos（2x+B）=—sin2x的圖象.

答案：B

2.若/（x）=3sin（2x+e）+a,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有照+》）=胞一x）,且4,則

實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-1B.-7或一1

C.7或1D.7或一7

解析：?.?對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有.6+*）=夠一￡）,

?7/3）的圖象關(guān)于直線x=W對(duì)稱，即3sin2X三+°=±3,

?\/^）=±3+Q=—4,解得?=—7或?=—1.

答案：B

說法正確的是（）

A.函數(shù)尸（x）是奇函數(shù)，周期為T

B.函數(shù)F（x）是偶函數(shù)，周期為與

C.函數(shù)尸（X）是奇函數(shù)，周期為7T

D.函數(shù)尸（x）是偶函數(shù)，周期為兀

解析：平移后的函數(shù)為F(x)=V2sin^2^x—^='\/2sin^2x——y/lcos2x,

此函數(shù)為偶函數(shù)且周期為n.

答案：D

4.要得到函數(shù)尸（;建一習(xí)的圖象，只需將產(chǎn)sin方的圖象（）

A.向左平移彳個(gè)單位長度

B.向右平移?個(gè)單位長度

C.向左平移1個(gè)單位長度

D.向右平移:個(gè)單位長度

仔一*Sil((瀉)+0=sin(瀉:)=sin[K>

解析：??，=cosX+1

...需將尸sin與的圖象向左移4個(gè)單位.

答案：A

二、填空題

5.要得到y(tǒng)=sing+§的圖象，需將函數(shù)j=cos5的圖象上所有的點(diǎn)至少向左平移

個(gè)單位長度.

解析：cos]=sin仔+圖，將尸sin住+0的圖象上所有的點(diǎn)向左平移9（0>0）個(gè)單位長

度得產(chǎn)sin仔瑤+學(xué)的圖象.

令3+5=2?+^,:?(p=4kit—三,kGZ.

//3J

，當(dāng)A=1時(shí)，9=與^是°的最小正值.

答案：竽

6.函數(shù)次x)=sinQ>x+3(s>0)，把函數(shù)/U)的圖象向右平移去個(gè)單位長度，所得圖象

的一條對(duì)稱軸方程是x=j9則9的最小值是.

解析：函數(shù)Hx)=sinQ)x+g(">0),把函數(shù)/U)的圖象向右平移,個(gè)單位長度，

所得圖象的解析式為g(x)=sijft)G—§+T=§inQzr一"餐日.

~~。7tW7TM71-7T(ft)+l)7trt,

,所得圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=§,.—==5+Ajr(A：eZ),

：.w=6k+2(kGZ,w>0),的最小值為2.

答案：2

三'解答題

7.作出段)=2sine+1)的圖象.并指出振幅、周期、初相、最大值與最小值.

解：(l)y=2sin住+§.

列表：

27rn47rTn1O7T

X-

T3TTT

x,n7T37r

+0nIn

232T

y020-20

描點(diǎn)畫圖如圖所示:

把一竽，號(hào)之間的圖象向左、右擴(kuò)展，即可得到它的簡(jiǎn)圖.

(2)振幅為2,周期為4幾，初相為鼻，最大值為2,最小值為一2.

8.已知函數(shù)八x)=Asin(ex+?)Ql>0,儂>0,191Vo的圖象在y軸上的截距為1,它

在J軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為(如2)和(必+3元，-2).

⑴求;U)的解析式；

⑵將/(X)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，然后再將所得圖象向右平移三個(gè)單

位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的解析式.

解：(l)??，imix=2,Jmin='_2,.\A=2.

V(x()+3n)-x0=3n,.\^=T=6n,故e=；?

得；

把點(diǎn)(0,1)代入Ax)=2sisin<p=.

又；|伊|<1，，。弋，.7/U)=2sin&+。

⑵將大x)=2sin&+］圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍,

得/U)=2sin&+g的圖象.將所得圖象向右平移/個(gè)單位長度,

得函數(shù)g(x)=2sinQG—§+W=2si苫的圖象.

第二課時(shí)函數(shù)尸Asin("x+。)的圖象與性質(zhì)(習(xí)題課)

BAW1O-------

□ny=Asin(wx+9)的解析式求法

［例1］如圖所示的是函數(shù)y=Asin(〃)x+0)的圖象，確定其一個(gè)函數(shù)解析式.

［思路點(diǎn)撥］①由最高或最低點(diǎn)求4②先求周期再確定。；③代入特殊點(diǎn)求外

［邊聽邊記］法一：由圖象知振幅A=3,

又T=￥-(_g=加，:?(o=^=2.

又圖象過點(diǎn)(一會(huì)0),

令一京2+9=0,得夕

.?.y=3sin(2x+&.

法二：由圖象知4=3,且圖象過點(diǎn)住0)和管，0),

Q?e+e=7r,

根據(jù)五點(diǎn)作圖法原理，有《

57r..

不?。十9=2兀

解得a)=2,9=g，Aj=3sin^2x+^

法三：VT=n,《一去())，

圖象由y=3sin2x向左平移點(diǎn)個(gè)單位得至!］.

.*.j=3sin2@+習(xí),即j=3sin^2x+^.

給出y=Asin(@r+0)的圖象的一部分，確定A,",°的方法

(1)逐一定參法：如果從圖象可直接確定4和”，則選取“五點(diǎn)法”中的“第一零點(diǎn)”

比的數(shù)據(jù)代入“"x+夕=0”(要注意正確判斷哪一點(diǎn)是“第一零點(diǎn)”)求得0或選取最值

1H

題點(diǎn)代入公式3：+9=?兀+，，A￡Z,求9.

發(fā)

(2)待定系數(shù)法：通過若干特殊點(diǎn)代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A,io,夕.這里需

揮

要注意的是，要認(rèn)清所選擇的點(diǎn)屬于五個(gè)點(diǎn)中的哪一點(diǎn)，并能正確代入列式.

(3)圖象變換法：運(yùn)用逆向思維的方法，先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=Asingx,再根據(jù)

圖象平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù).

二:跟蹤演練

1.函數(shù)尸Asin?ox+9)”>0,I9IV果xeR的部分圖象如圖所示,

則函數(shù)表達(dá)式為()

(it,九、

A.4sinl

B.尸45也&一？

解析：由函數(shù)圖象可知，函數(shù)過點(diǎn)(-2,0),(6,0),

振幅4=4,周期7=16,頻率0=筆=",

IO

將函數(shù)y=4sin%向右平移6個(gè)單位，得到j(luò)=4sin*-6)=4sin|=-4疝（3+胃.

答案：A

jr

［例2］已知函數(shù)|x)=Asin(@*+9)其中A>0,”>0,0<9<爹，xCR的圖象與x軸的

交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為去且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M管，-2).

(1)求人x)的解析式；

(2)當(dāng)xG［古，求八x)的值域.

［思路點(diǎn)撥］①由最低點(diǎn)確定A;

②由與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)確定T-*“；

③由M點(diǎn)解得夕；

④由x范圍得出值域.

［邊聽邊記］(1)由最低點(diǎn)為M管，一2),得4=2.

由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為看得?看

即T=n,.\(o=^=2.

由點(diǎn)M,，一2)在圖象上，得2sin(2X竽+。)=-2,

即sin管+°)=-1.

47r7T117T

...■y+9=2A九一5，得9=2ATT—7~(A￡Z).

.\Ax)=2sin(2x+g.

⑵?.”4言,I’二"十色皆，.

當(dāng)2x+J=p即x=熱，段)取得最大值2；

當(dāng)2x+%=稱，即時(shí)，/(x)取得最小值一1.

故犬X)的值域?yàn)椋?1,2］.

已知函數(shù)y=4sin(@x+0)的曲值及圖象的一些性質(zhì)，求解析式的一般思路：

借題發(fā)揮根據(jù)函數(shù)的最值及圖象的一些性質(zhì)來求待定系數(shù)，有時(shí)可建立方程(組)然

后求解.

■跟蹤演練

2.函數(shù)y=4sin?x+e)G>(),co>09制號(hào))的最小值為-2,其圖象相鄰的最高點(diǎn)與最

低點(diǎn)橫坐標(biāo)差是3TT,又圖象過點(diǎn)(0,1),求函數(shù)的解析式.

解：由于最小值為一2,所以A=2.

又相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為3兒

又圖象過點(diǎn)(0,1),所以sin9=；.

jr7T

因?yàn)殛柟?，所以?7?

故所求解析式為y=2sin&+g.

|eraIy=4sin(“x+0)的性質(zhì)應(yīng)用

［例3］已知函數(shù)於)=2疝1>3+1)+。+1(其中a為常數(shù)).

(1)求/U)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若聞0,同時(shí),/)的最大值為4,求。的值；

(3)求出使人x)取最大值時(shí)x的取值集合.

［思路點(diǎn)撥］對(duì)于(1),把2x+^看作整體，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間;

對(duì)于(2),由xe［o,,求出2x+千的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象求解；

對(duì)于(3),可由函數(shù)性質(zhì)求最大值對(duì)應(yīng)x的取值集合.

［邊聽邊記］(l虺-4+2&7r/2x+^w4+2A7r,A￡Z,

解得一T+EWXWA+ATT,kGZ,

Jo

TTTT

???函數(shù)加)的單調(diào)遞增區(qū)間為［一”―片+反卜￡乙

由m+2EW2x+?4￥+2版,kWZ,

LOZ

解得X+ATTWXW卷+ATT,A￡Z.

oJ

-)-

???函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為U+E,T+同(YZ).

Zooo

:.-34加(2工+習(xí)<L

??JU)的最大值為2+〃+l=4,

，a=1.

(3)當(dāng)人x)取最大值時(shí)，2x+^=^+2kn,k《Z,

o/

^.x=v+knkQZ.

o9

...當(dāng)/(x)取最大值時(shí)，

x的取值集合是卜x弋+而，kGZ

解答此類題目的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用y=Asin(“x+9)的圖象、性質(zhì)，注重?cái)?shù)

借題發(fā)揮

形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，切實(shí)把三角函數(shù)作為一種函數(shù)去認(rèn)識(shí)和領(lǐng)會(huì).

"跟蹤演練

3.關(guān)于函數(shù)人x)=4sin(2x+§,x￡R,有下列命題:

①由4XI)=?T2)=0可得不一也必是加的整數(shù)倍;

②產(chǎn)於)的表達(dá)式可改寫成y=4cos(2x-g；

③y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一會(huì)0)對(duì)稱；

④y=1/U)的圖象關(guān)于直線x=一點(diǎn)對(duì)稱.

其中正確的命題序號(hào)為.

解析：如圖為y=4sin(2x+§的圖象，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)均勻分布，相鄰的兩個(gè)交

點(diǎn)的距離為，故命題①不正確；

每一個(gè)與X軸的交點(diǎn)，都是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以③正確；

函數(shù)圖象的對(duì)稱軸都必須經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，所以直線X

=一季不是對(duì)稱軸，故④不正確；

cos(2x-g=sin(2x-春+]

最后由誘導(dǎo)公式可知；in(2x+g,所以命題②正確.

答案：②③

隨堂練習(xí)常態(tài)化，當(dāng)堂強(qiáng)化所學(xué)

課堂10分鐘

1.函數(shù)y=gsin(2x一個(gè))可以看成是把函數(shù)尸去加2x的圖象()

A.向左平移;得到的B.向右平移點(diǎn)得到的

C.向右平移強(qiáng)得到的D.向左平移?得到的

12o

解析：由于尸$加（2I—§=gsin21一。

需要向右平移￡個(gè)單位得到.

答案：B

2.函數(shù)所示f(x)=cos((ox+(p)((o>0,8￡[0,2江))的部分圖象如

圖，則人2018)=()

A.-1B.1

2

TJT

解析：由圖可知，a=2,所以T=8,所以"=4.

由點(diǎn)（1,1）在函數(shù)圖象上可得大1）=（?（?（^+”）=1,

所以g+p=2?MieZ),所以9=2AL/?Z),

又。￡［0,2九）,所以9=了.

故人*）=＜：05引+普），f（2018）=cosG^5+芝）=cos（253X27t+y=羋.

答案：C

3.已知函數(shù)人x）=sin（x-9（xeR）,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)_/U）的最小正周期為27r

B.函數(shù)｛x）在區(qū)間［o,f上是增函數(shù)

C.函數(shù)_/U）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱

D.函數(shù)八#是奇函數(shù)

解析：_^=5加6一］）=—cosx.由y=cosx的圖象易得y=—cosx的圖象，由圖可知其

周期是T=2n,在［O,2］上是增函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即關(guān)于直線x=0對(duì)稱，它是

偶函數(shù).

答案：D

4.若函數(shù)八x）是以為周期的偶函數(shù)，且43=1，則X一制=.

解析：???府）的周期為且為偶函數(shù)，

認(rèn)一黨」-書+方庶）,

=L

答案：1

5.將函數(shù)y=sin（2x—￡）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)（填“伸長”

或“縮短”）為原來的倍，將會(huì)得到函數(shù)y=3sin（2x—：）的圖象.

解析：A=3>0,故將函數(shù)）=$也（2》一￡）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長

為原來的3倍即可得到函數(shù)y=3sin（2x一3的圖象.

答案：伸長3

6.已知函數(shù)八*）=4sin（"x+0）+Z>（A>0,?>>0,陽〈北）在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=一言時(shí),

大x）取得最小值一2；當(dāng)了=需時(shí)，/（幻取得最大值4,試求八幻的函數(shù)表達(dá)式.

—A+b=—29

解：由題意，得，解得A=3,b—1.

A+b=4.

又穆一H9卜，J.co=2.

?\Ax）=3sin（2x+0）+1,

???XH0=3sin（一殲。）+1=-2

即sin（一廿°）=

-1.

--^+2kn,左￡Z,

o乙

.??9=——1+24九，&￡Z.

.九in（2x-g）+L

又???|。|〈凡,?9=一§,??如0=3s

塾課堂留言板

版主（三維精靈）

形如y=Hsin（ex+洲的函數(shù)的周期如何求？y=Asin?x+e）和y=Acos（tt>x+°）的圖象

的對(duì)稱性有哪些結(jié)論?

上鋪的兄弟”發(fā)表意見：>?

形如y=|Asin(“x+0)|的周期可先作出y=Asin(ex+0)的圖象，再將橫軸下方的對(duì)稱折

上去，由圖象觀察知其周期恰好為產(chǎn)Asin(?a+0)周期的一半，即T'=f.

同桌的你發(fā)表意見：>?

對(duì)于尸Asin(sr+0)的對(duì)稱性，可將①x十°看作整體〃，得產(chǎn)Asin”，利用其對(duì)稱性

可得由3x+0=A7r+],kGZ,求出對(duì)稱軸方程，由(ox+(p=knf(kGZ),求出對(duì)稱中心橫

坐標(biāo)，類似地可研究y=Acos(〃)x+e)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心.

課下訓(xùn)練經(jīng)典化，貴在觸類旁通

YINGYONG

一、選擇題

1.函數(shù)AW的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.f(x)=x+sinx

cosX

f(x)=

B.X

C./(x)=xcosX

D.f(x)=x-(T).(T

解析：由圖象知函數(shù)在x=0處有意義，排除B,

又因?yàn)榈?=。，排除A,

觀察圖象知函數(shù)為奇函數(shù)，排除D.

答案：C

2.將函數(shù)y=sin(2x—1)向左平移于個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象為(

)

A.j=sin2x

C.尸sin(2x+點(diǎn)

n

向左平移k個(gè)單位

了=$叱2(*+§—W=sin(2x+g的圖象.

解析：y=的圖象-------------

答案：C

3.函數(shù)y=Asin("x+9)(A>0,">0)的部分圖象如圖所示，則11)+八2)+43)+…+八2

018)的值等于()

A.-x/iB.2+2V2

C.A/2+2D.V2-2

解析：由圖可知A=2,<p=2kn,kHL,7=8,

.譚=8,即&=￡,.\*x）=2sin%.

?.?周期為8,且41）+<2）+…+八8）=0,

?7/U）+八2）+…+%2018）=41）+{2）=2sing+2sir^=Vi+2.

答案：C

4.函數(shù)Ax）=2sin（0x+0）（g>O）的圖象經(jīng)過4（一去一2）,戲，2）兩點(diǎn)，則”的（）

A.最大值為3B.最小值為3

C.最大值為導(dǎo)D.最小值為上

解析：??,點(diǎn)A,。分別為圖象上的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，

??尹司一（一方，即運(yùn)，..心亍

答案：D

二、填空題

5.y=3cos（2x+§的對(duì)稱軸方程為.

解析：由2x+W=ht,AGZ,7,AGZ.

答案：X=y—A￡Z

6.已知函數(shù)./U）=Acos?ox+g）的圖象如圖所示，府）=一|，則八。）=.

三上生

、、生子十377r,即今和空關(guān)于誓對(duì)稱,

注意到一~~=~

43JL/

于是/（。）=.痣）=一局4

答案：I

三、解答題

7.已知函數(shù)1x)=Asin(”x+0)(A＞O,。＞0,|0|噂的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1),它在y

軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xo,2)和(*。+2兀，-2).

(1)求人x)的解析式及X。的值；

(2)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若—7T,可，求ZU)的值域.

解：(1)由題意作出人’)的簡(jiǎn)圖如下：

由圖象，知4=2.由5=2兀，得7=4九.

J?co=竿=；，?7Ax)=2sin&+°)

代入點(diǎn)(0,1),得2sin9=1.

又,.?|刎《，.,.夕=》

.-./(x)=2si心+5

..?夫Xo)=2sin&0+]=2,

:.&o+,=]+2左江區(qū)￡Z),xo=4kn+^(k￡Z).

又???(xo,2)是y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)，Ax0=y.

⑵由一2上九4X+菅＜?+2?(A￡Z),

AC

得一寸+4A?rWxW學(xué)+4kn(k￡Z).

.7/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為[—竽+4&兀，^+4kn(%WZ).

(3)V—7rWx<7r,:.-

j/oJ

:.—乎Wsin(；x+§/1,:.一小Wf(x)W2.

故大好的值域?yàn)閇一小，2].

8.已知A(X1，1Axi)),8(*2,1Ax2))是函數(shù)1Ax)=2sin?ux+9)(<y>0,一<O<0)圖象上的

任意兩點(diǎn)，且角9的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,一小），若欣1）一/（必）1=4時(shí)，|肛一Ml的最小值為全

（1）求函數(shù)八x）的解析式；

⑵求函數(shù)火X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

[o,刊時(shí)，不等式3x）+2,〃利x）恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

⑶當(dāng)xW

解：（1）*.,角9的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,一5），/.tan<p=-y[3.

??兀A?冗

.—2<9><O,..<p=-y

由l/Ui）-A*2）l=4時(shí)，ki—X2l的最小值為:，得T=弩,

“=竿=3,.?如;)=2sin(3x-)

⑵令一5+2E〈3x—g2ATT(A￡Z),

,力n.2kn^-57r.2kn,,一~、

得一誦+亍、X式誦

函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間為[n,2kn5n,2kn~\

Ax誦+亍，18+^-J("￡Z)?

⑶當(dāng)x￡時(shí)，一/W1/(x)Wl,

2

；.2+/（x）>0.切（x）+2，〃》/（x）等價(jià)于機(jī)27U)

2+/(x)-，2+fixy

由一小得養(yǎng)也的最大值為

即實(shí)數(shù)，〃的取值范圍+°0.

第三課時(shí)應(yīng)用舉例

1抽象問題情境化,新知無師自通

三角函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)搜索"〃//

解答三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟可分為四步：審題、建模、解模、還原評(píng)價(jià).

1.審題

審題是解題的基礎(chǔ)，它包括閱讀理解、翻譯、挖掘等，通過閱讀，真正理解用普通文

字語言表述的實(shí)際問題的類型、思想內(nèi)涵、問題的實(shí)質(zhì)，初步預(yù)測(cè)所屬數(shù)學(xué)模型，有些問

題中采用即時(shí)定義解釋某些概念或?qū)I(yè)術(shù)語，要仔細(xì)閱讀，準(zhǔn)確把握，同時(shí)，在閱讀過程

中，注意挖掘一些隱含條件.

2.建模

在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將試題中的非數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系——建立三角函數(shù)模型.這時(shí)要注意三角函數(shù)的

定義域應(yīng)符合實(shí)際問題要求，這樣便將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成了純數(shù)學(xué)問題.

3.解模

運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理、運(yùn)算，使問題得到解決.

4.還原評(píng)價(jià)

應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)科學(xué)，又要符合實(shí)際背景，因此，對(duì)于

解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判.

”嘗試應(yīng)用?〃〃

1.如圖所示為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是()

B.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)振動(dòng)速度最大

D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為零

［提示］B

2.彈簧振子以。點(diǎn)為平衡位置在&C間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B,C相距2()cm,某時(shí)刻振子

處在8點(diǎn)，經(jīng)0.5s振子首次到達(dá)C點(diǎn)，則振動(dòng)的周期和頻率分別是.

［提示］1,1

高頻考點(diǎn)題組化，名師一點(diǎn)就通

根據(jù)圖象建立解析式

［例1］如圖，彈簧上掛的小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開平衡

位置的距離s(cm)隨時(shí)間f(s)的變化曲線是一個(gè)三角函數(shù)的圖象.

(1)經(jīng)過多少時(shí)間，小球往復(fù)振動(dòng)一次？

(2)求這條曲線的函數(shù)解析式；

(3)小球在開始振動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移是多少？

［思路點(diǎn)撥］(1)由曲線，形態(tài)可設(shè)s=Asin(@/+9);

(2)利用函數(shù)周期、最值及過定點(diǎn)情況，確定4,生

(3)利用實(shí)際意義，結(jié)合表達(dá)式作出結(jié)論.

［邊聽邊記］(1)由圖可知，周期T=2倍一卷=7T.

所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間為兀“3.14s.

(2)由圖可設(shè)該曲線的函數(shù)解析式為：

s=Asin("f+°),￡W［0,+°°).

從圖中可以看出4=4,又知=兀，

...“=2.從而s=4sin(2l+3).

將/="，s=4代入上式，得

sine+°)=1.；?9=?

故這條曲線的函數(shù)解析式為s=4sin(2￡+§,/￡［(),+8).

(3)當(dāng)Z=0時(shí)，s=4sin］=2巾(cm).

故小球在開始振動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移是2小cm.

借根據(jù)圖象判斷函數(shù)的類型，用適當(dāng)?shù)男问皆O(shè)出其解析式，是解決這類問題的基點(diǎn)，利

題用待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，就可求出函數(shù)解析式，并結(jié)合實(shí)際問題的

揮意義，注明函數(shù)的定義域，有了函數(shù)解析式，其他相關(guān)問題都能得到解決.

一［變式之作］

在兩個(gè)彈簧上各掛一個(gè)質(zhì)量分別為Mi和的小球，做上下自由振動(dòng).已知它們?cè)?/p>

時(shí)間⑹離開平衡位置的位移sKcm)和S2(cm)分別由下列兩式確定：si=5sin(2f+§；$2=

10cos2f.則在時(shí)間，=亨時(shí)，S1與S2的大小關(guān)系是.

解析：當(dāng)t=專時(shí)，S1=-5,S2=-5,

??S1=S2?

答案：＞=S2

建立三角函數(shù)模型

［例2］如圖所示，彈簧掛著的小球作上下運(yùn)動(dòng)，時(shí)間他)與小球相對(duì)

Xm>o

OH/i=0

IA<O

平衡位置(即靜止時(shí)的位置)的高度Mem)之間的函數(shù)關(guān)系式是/i=2sin(2f+y,fC［O,+~).

(1)以，為橫坐標(biāo)，人為縱坐標(biāo)，畫出函數(shù)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；

(2)小球開始振動(dòng)的位置在哪里？

(3)小球最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的位置及各自距平衡位置的距離分別是多少？

(4)小球經(jīng)過多長時(shí)間往復(fù)振動(dòng)一次？

(5)小球1s內(nèi)能振動(dòng)多少次？

(6)小球在什么時(shí)間內(nèi)是升高狀態(tài)？

(7)這一函數(shù)的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸是什么？

［思路點(diǎn)撥］關(guān)鍵是函數(shù)A=2sin(2f+方的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.

［邊聽邊記］(1)畫出〃=2sin(2f+f)的簡(jiǎn)圖(長度為一個(gè)周期).

①列表: