第三章靜態(tài)電磁場及第1頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件3.1.2電位函數(shù)3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容3.1.4靜電場的能量3.1.5靜電力第2頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.1.1靜電場的基本方程

關(guān)系式稱為真空的電特性方程或本構(gòu)關(guān)系

靜電場的源變量是電荷

第2章中已由庫侖定律引入了電荷產(chǎn)生的電場強度

任意電荷分布產(chǎn)生的電場強度

定義任意電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量

第3頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三表示閉合曲面S

對點電荷所在點張的立體角對任意閉合曲面S

積分一、電場的散度設(shè)空間存在一點電荷，則點的電位移所以在閉合面內(nèi)在閉合面外若閉合面內(nèi)有N個點電荷若閉合面內(nèi)的電荷分布為真空中的高斯定律散度定理于是電場的散度方程（高斯定理的微分形式）第4頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三二、電場的旋度真空中電場的基本方程在點電荷的電場中，任取一條曲線，積分當(dāng)積分路徑是閉合曲線，A、B

兩點重合，得斯托克斯定理第5頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)當(dāng)補充例題電荷按體密度分布于半徑為a

的球形區(qū)域內(nèi)，其中為常數(shù)。試計算球內(nèi)外的電位移矢量。解:電場具有球?qū)ΨQ性，于是于是第6頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三2.邊界條件第7頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三直角坐標(biāo)系3.1.2電位函數(shù)1.電位和電位差由，稱為靜電場的標(biāo)量位函數(shù)，又稱電位函數(shù)

由此可求得電位的微分在任意方向上的分量

空間A、B

兩點的電位差

若選取為電位參（即），則任意點的電位為第8頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三

對于點電荷的電場，其電位為

體電荷、面電荷、線電荷產(chǎn)生的電位分別為若取處的電位為零，則第9頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三解：取如圖所示坐標(biāo)系，場點的電位等于兩個點電荷電位的疊加而當(dāng)因此由于得電偶極子的電位電偶極子的電場強度例3.1.1求電偶極子的電位(教材例3.3.1)。第10頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三2.靜電位的微分方程（泊松方程拉普拉斯方程）由在直角坐標(biāo)系中電位的泊松方程若空間電荷分布為零，則有電位滿足的拉普拉斯方程補充例題半徑為a的帶電導(dǎo)體球，其電位為U（無窮遠(yuǎn)處電位為零），試計算球外空間的電位。解：

球外空間的電位滿足拉氏方程

電位滿足的邊界條件由題意可知電位及電場具有球?qū)ΨQ性在球坐標(biāo)系下直接積分因此第11頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三電位的邊界條件：第12頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例3.1.3兩塊無限大接地導(dǎo)體板分別位于x=0,x=a處，在兩塊導(dǎo)體板間oxyba第13頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三補充內(nèi)容：點電荷的函數(shù)表示格林函數(shù)

為表示點電荷的體密度，引入函數(shù)

于是位于處的點電荷q的體密度為

單位點電荷產(chǎn)生的電位滿足的泊松方程

定義格林函數(shù)第14頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三格林定理泊松方程的積分公式格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理設(shè)而得格林第一恒等式同理，若設(shè)格林第一恒等式表示為——格林第二恒等式第15頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三利用格林函數(shù)的性質(zhì)和格林第二恒等式可得到有界空間中的泊松方程的積分解以上公式說明，只要知道區(qū)域內(nèi)的電荷分布以及區(qū)域邊界面上的電位和電位梯度值，就可求出區(qū)域內(nèi)的電位分布。第16頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三惟一性定理

靜電場的邊值問題是在給定邊界條件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。

可以證明在每一類邊界條件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。這就是邊值問題的惟一性定理

實際邊值問題的邊界條件分為三類第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件

惟一性定理的意義：是間接求解邊值問題的理論依據(jù)。第17頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)電場中放入電介質(zhì)時，電介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，介質(zhì)中因極化出現(xiàn)許多電偶極矩，電偶極矩又要產(chǎn)生電場，疊加于原來電場之上，使電場發(fā)生變化。

極化強度：用p表示極化的程度，即式中：N為單位體積內(nèi)被極化的分子數(shù)

極化體電荷

由于電場的作用使電偶極子的定向排列，介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)極化體電荷，介質(zhì)表面出現(xiàn)極化面電荷。

極化面電荷

（為介質(zhì)表面外法線方向的單位矢量）第18頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三

小圓柱側(cè)面積，h為無窮小量，該面積趨于零一、電位移矢量D的邊界條件nh將電場基本方程用于所作的圓柱形表面。設(shè)兩種不同的電介質(zhì)，其分界面的法線方向為n，在分界面上作一小圓柱形表面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，底面積為，h為無窮小量。方程左邊電位移矢量D的邊界條件用矢量表示方程右邊為分界面上的自由電荷面密度第19頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三二、電場強度E的邊界條件（其中為回路所圍面積的法線方向）

因為回路是任意的，其所圍面的法向也是任意的，因而有電場強度E的邊界條件：或表示為在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊分居于分界面兩側(cè)，而高。將方程用于此回路介質(zhì)分界面兩側(cè)電場強度的切向分量連續(xù)第20頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三對于電位由由例3.9.1半徑分別為a和b的同軸線，外加電壓U。圓柱電極間在圖示角部分填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，其余部分為空氣，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場。（教材例3.9.2)解：問題具有軸對稱性，選用柱坐標(biāo)系，待求函數(shù)，在圓柱坐標(biāo)系下于是電位滿足的拉普拉斯方程其通解為同理第21頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三其中系數(shù)A、B、C、D可由邊界條件確定邊界條件于是由此可知內(nèi)導(dǎo)體表面單位長度的電荷由內(nèi)導(dǎo)體和區(qū)域1的邊界條件由內(nèi)導(dǎo)體和區(qū)域2的邊界條件得同軸線單位長度上的電容第22頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容1.雙導(dǎo)體電容的計算由物理學(xué)得知，平板電容器正極板上攜帶的電量q與極板間的電位差U的比值是一個常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的電容，即電容為

電容的單位F（法拉）太大。例如半徑大如地球的弧立導(dǎo)體的電容只有F。實際中，通常取F（微法）及pF（皮法）作為電容單位。第24頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三2.部分電容

N個導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)，其中第i個導(dǎo)體的電位與自身的電荷和其他導(dǎo)體的電荷關(guān)系為

其中為常數(shù)，稱為電位系數(shù)，與系統(tǒng)中所有導(dǎo)體的形狀、位置及周圍介質(zhì)有關(guān)。（共有N個方程）

由以上N

個方程可解出（共有N

個方程）

當(dāng)時稱為電容系數(shù)，時稱為感應(yīng)系數(shù)，且

引入，方程可寫為與導(dǎo)體i的電位成正比與導(dǎo)體i、j的電位差成正比其比值第25頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三

例3.1.4圖示的平行雙線傳輸線，每根導(dǎo)線的直徑為a，雙導(dǎo)線間的距離為D(D>>a)，周圍是空氣。求傳輸線單位長度的電容。解：設(shè)平行雙導(dǎo)線間的電壓為U，單位長度的電荷為ρl，則雙導(dǎo)線間的電場強度為將上式積分即得雙導(dǎo)線間的電壓:

第26頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)電容的定義得平行雙導(dǎo)線單位長度的電容為第27頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例3.1.5已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為。試求單位長度內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容。解由于電場強度一定垂直于導(dǎo)體表面，因此，同軸線中電場強度方向一定沿徑向方向。又因結(jié)構(gòu)對稱，可以應(yīng)用高斯定律。ab

設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度內(nèi)的電量為q，圍繞內(nèi)導(dǎo)體作一個圓柱面作為高斯面S，則那么內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差U為

因此同軸線單位長度內(nèi)的電容為第28頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.1.4靜電場的能量

電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)過程中外界提供的能量。

設(shè)系統(tǒng)完全建立時，最終的電荷分布為，電位為。

設(shè)充電過程中，各點的電荷密度按其終值的同一比例因子增加，則各點的電位也將按同一因子增加。即在某一時刻電荷分布為時，其電位分布為。的變化為。

整個充電過程外界對整個系統(tǒng)提供的總能量

用場變量表示該能量為

單位體積的能量，稱為能量密度

對某一體積元，變?yōu)闀r（此時電位為電荷增加）外界提供的能量第29頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三

例3.1.6在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著體電荷密度為ρ的電荷，計算電場能量。解：用高斯定理可以得到電場為(r<a)(r>a)第30頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三所以第31頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三解法二：第32頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三補充例題部分填充介質(zhì)的同軸線，求介質(zhì)與空氣中單位長度內(nèi)的電場能量解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體電位外導(dǎo)體電位，則同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度的能量由例3.9.2可知，內(nèi)導(dǎo)體表面單位長度的電荷所以由例3.9.2可知，介質(zhì)和空氣中的電場強度相等于是介質(zhì)中的能量密度、能量空氣中的能量密度、能量第33頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.1.5靜電場力

1.兩個點電荷間的相互作用力

已知某點的電場強度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點受到的電場力。因此，點電荷受到的電場力為若上式中E

為點電荷q產(chǎn)生的電場強度，則

式中

為該點電荷周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。那么，點電荷受到點電荷q的作用力，或者說點電荷q

對于點電荷的作用力為

式中er

為由q

指向的單位矢量。上式就是法國科學(xué)家?guī)靵龈鶕?jù)實驗總結(jié)歸納的庫侖定律。

第34頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三2.用虛位移原理計算帶電系統(tǒng)的靜電力

已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但是，對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力是非常困難的，有時甚至無法求積。為了計算具有一定電荷分布的帶電體之間的電場力，通常采用虛位移法。這種方法是假定帶電體在電場作用下發(fā)生一定的位移，根據(jù)位移過程中電場能量的變化與外力及電場力所作的功之間的關(guān)系計算電場力。

以平板電容器為例，設(shè)兩極板上的電量分別為+q

及-q，板間距離為l。為了計算方便，假定在電場力作用下，極板之間的距離增量為dl。眾所周知，兩極板間的相互作用力實際上導(dǎo)致板間距離減小。因此，求出的作用力應(yīng)為負(fù)值。dll-q+q第35頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三既然認(rèn)為作用力F導(dǎo)致位移增加，因此，作用力F的方向為位移的增加方向。這樣，為了產(chǎn)生dg

位移增量，電場力作的功應(yīng)為。根據(jù)能量守恒定律，這部分功應(yīng)等于電場能量的減小值，即由此求得式中腳注q=常數(shù)說明當(dāng)極板發(fā)生位移時，極板上的電量沒有發(fā)生變化，這樣的帶電系統(tǒng)稱為常電荷系統(tǒng)。已知平板電容器的能量為。對于常電荷系統(tǒng)，發(fā)生位移時電量q未變，只有電容C

改變了。第36頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三式中S

為極板的面積，l為兩極板的間距。將這些結(jié)果代入上式，求得平板電容器兩極板之間的作用力為已知平板電容器的電容式中負(fù)號表明作用力的實際方向是指向位移減小的方向。如果假定發(fā)生位移時，電容器始終與電源相連，這樣，在虛位移過程中，兩極板的電位保持不變，這種系統(tǒng)稱為常電位系統(tǒng)。根據(jù)這種常電位的假定，也可以計算平板電容器兩極板之間的作用力，所得結(jié)果應(yīng)該與上完全相同。第37頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)在電場力作用下，極板間距的增量為dl。由于電容改變，為了保持電位不變，正極板的電荷增量為dq，負(fù)極板的電荷增量為-dq。設(shè)正負(fù)極板的電位分別為

1及

2，則電場能量的增量為式中為兩極板之間的電壓。為了將dq

電荷移至電位為

1的正極板，將電荷-dq移至電位為

2的負(fù)極板，外源必須作的功為第38頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)能量守恒原理，系統(tǒng)外接恒壓源，外源作功的一部分供給電場力作功，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿艿脑隽浚虼饲蟮美锰撐灰品ㄓ嬎闫桨咫娙萜鳂O板上受到的表面張力。解利用虛位移概念，假定由于同一極板上的同性電荷相斥產(chǎn)生的表面張力為F。在此表面張力F

的作用下，使極板面積擴(kuò)大了dS，則電場力作的功為FdS。根據(jù)能量守恒原理，這部分功應(yīng)等于電場能量的減小值，即第39頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三已知平板電容器的能量為，代入上式，得

若虛位移時，極板與外源相連，因而電位保持不變。那么，表面張力F

應(yīng)為

那么將代入，即可獲得同樣結(jié)果。

如果將及兩式中的變量l

理解為一種廣義坐標(biāo)，也就是說，l可以代表位移、面積、體積甚至角度。那么，企圖改變這種廣義坐標(biāo)的作用力稱為對于該廣義坐標(biāo)的廣義力。第40頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三顯然，對于不同的廣義坐標(biāo)，其廣義力的含義不同。對于位移而言，廣義力就是普通概念的力，單位為N；對于面積，廣義力為表面張力，單位為N/m；對于體積，廣義力為膨脹力或壓力，單位為N/m2；對于角度，廣義力為轉(zhuǎn)矩，單位為N?m。若規(guī)定廣義力的方向仍然為廣義坐標(biāo)增加的方向，那么，廣義力與廣義坐標(biāo)的乘積仍然等于功。這樣，前兩式可分別改寫為兩式中的微分符號變?yōu)槠⒎质强紤]到系統(tǒng)的能量可能與幾種廣義坐標(biāo)有關(guān)。l

代表對應(yīng)于廣義力的廣義坐標(biāo)。由上兩式可見，帶電系統(tǒng)的能量與多少種廣義坐標(biāo)有關(guān)，就存在多少種廣義力。當(dāng)帶電系統(tǒng)的某一廣義坐標(biāo)發(fā)生變化時，若帶電系統(tǒng)的能量沒有發(fā)生變化，也就不存在使該廣義坐標(biāo)發(fā)生變化的廣義力。

第41頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例計算帶電肥皂泡的膨脹力。解

設(shè)肥皂泡的電量為q

，半徑為a。利用常電荷系統(tǒng)公式，令式中廣義坐標(biāo)l代表體積

V，則受到的膨脹力F為已知半徑為a，電量為q的帶電球的電位為因此，攜帶的能量為又知球的體積為代入上式，得第42頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例3.1.7第43頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析3.2.1恒定電場的基本方程邊界條件1.基本方程

恒定電流空間存在的電場，稱為恒定電場。

恒定電場中的二個基本變量為電流密度和電場強度。

描述恒定電場基本特性的第一個方程是電流連續(xù)性方程，即或

電流恒定時，電荷分布不隨時間變化，恒定電場同靜電場具有相同的性質(zhì)。因此描述恒定電場基本特性的第二個方程為或

實驗證明，導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度與電場強度成正比，即第44頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三

要想在導(dǎo)電媒質(zhì)中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷q抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。因此

Ee

是非保守場。

設(shè)局外場強為設(shè)局外場強為，則電源電動勢為電源電動勢與有無外電路無關(guān)，它是表示電源本身的特征量。則第45頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三與靜電場的討論類似，由可引入恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位由2.恒定電場的邊界條件若用電位表示將恒定電場的基本方程、分別用于二種不同導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上，與推導(dǎo)靜電場邊界條件方法類似，可導(dǎo)出恒定電場的邊界條件。第46頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.2.2恒定電流場與靜電場的比擬

已知無外源區(qū)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)的恒定電流場方程和無源區(qū)中均勻介質(zhì)內(nèi)的靜電場方程如下：

恒定電流場靜電場可見，兩者非常相似，恒定電流場的電流密度J

相當(dāng)于靜電場的電場強度E，電流線相當(dāng)于電場線。第47頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三因此，當(dāng)恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強度的分布特性完全相同。根據(jù)這種類似性，可以利用已經(jīng)獲得的靜電場的結(jié)果直接求解恒定電流場?；蛘哂捎谠谀承┣闆r下，恒定電流場容易實現(xiàn)且便于測量時，可用邊界條件與靜電場相同的電流場來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬。

例如，兩電極間的電流場與靜電場對應(yīng)分布如下圖示：

PN電流場PN靜電場那么，利用已經(jīng)獲得的靜電場結(jié)果可以求解恒定電流場。

第48頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三解：設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體是理想導(dǎo)體，則導(dǎo)體內(nèi)，導(dǎo)體表面是等位面，于是漏電介質(zhì)中的電位只是徑向r的函數(shù)，柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程為其通解邊界條件為得導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場強度電流密度單位長度上的漏電流單位長度上的漏電導(dǎo)

例3.2.1同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，填充的介質(zhì)，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的和單位長度的絕緣電阻（漏電電導(dǎo)）。第49頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例3.2.2計算半球形接地器的接地電阻。第50頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例題一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為和外加電壓U，介質(zhì)分界面上的自由電荷密度。解：設(shè)電容器極板為理想導(dǎo)體，故極板是等位面，電流沿z方向。由邊界條件得相應(yīng)的電場外加電壓U等于得于是由邊界條件上極板的自由電荷面密度下極板的自由電荷面密度介質(zhì)分界面上的自由電荷第51頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.3恒定磁場分析

實驗表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中，不僅有恒定電場

，同時還有不隨時間變化的磁場，簡稱恒定磁場。

首先建立真空與磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程；引入矢量位A;確立磁場的邊界條件；在特定條件下引入標(biāo)量位。

最后討論自感和互感的計算、磁場能量和磁場力。

3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件

3.3.2矢量磁位和標(biāo)量磁位

3.3.3電感

3.3.4恒定磁場的能量

3.3.5磁場力

第52頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三斯托克斯定理3.3.1恒定磁場的基本方程引入磁化電流后，媒質(zhì)的磁化效應(yīng)由磁化電流表征，即空間的磁場由傳導(dǎo)電流和磁化電流產(chǎn)生。而磁化電流和傳導(dǎo)電流的實質(zhì)相同，則將得令（為磁介質(zhì)中的磁場強度矢量）于是磁介質(zhì)中的基本方程微分形式由實驗證明，除鐵磁性物質(zhì)外，M和H之間有一定的線性關(guān)系，即得（為磁介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系）媒質(zhì)的磁導(dǎo)率（除鐵磁性物質(zhì)外）媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率磁化率式中均為傳導(dǎo)電流第53頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三小圓柱側(cè)面積，h為無窮小量，該面積趨于零2.磁場的邊界條件一、磁感應(yīng)強度B的邊界條件設(shè)兩種不同的磁介質(zhì)，其分界面的法線方向為n。在分界面上作一小圓柱形表面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，底面積為，h為無窮小量。nh將磁場基本方程用于所作的圓柱形表面。方程左邊磁感應(yīng)強度B

的邊界條件用矢量表示分界面上B的法向分量連續(xù)第54頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三二、磁場強度H的邊界條件在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊分居于分界面兩側(cè)，而高，取H

沿此回路的環(huán)積分為

設(shè)分界面上的自由電流面密度為

則回路所圍面積上通過的電流為（其中的方向為回路所圍面積的法線方向）

矢量可寫為

方程變?yōu)?/p>

因為回路是任意的，其所圍面的法向也是任意的，因而有磁場強度H的邊界條件：若分界面上沒有自由的表面電流第55頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三磁導(dǎo)率為無限大的媒質(zhì)稱為理想導(dǎo)磁體。在理想導(dǎo)磁體中不可能存在磁場強度，否則，由式可見，將需要無限大的磁感應(yīng)強度。產(chǎn)生無限大的磁感應(yīng)強度需要無限大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。因此，在理想導(dǎo)磁體中不可能存在磁場強度。因為邊界上磁場強度的切向分量是連續(xù)的，可見，在理想導(dǎo)磁體表面上不可能存在磁場強度的切向分量，換言之，磁場強度必須垂直于理想導(dǎo)磁體表面。當(dāng)然，在理想導(dǎo)磁體內(nèi)部仍然存在磁感應(yīng)強度。例1在具有氣隙的環(huán)形磁芯上緊密繞制N

匝線圈，如圖示。環(huán)形磁芯的磁導(dǎo)率為，平均半徑為r0，線圈的半徑為a<<

r0，氣隙寬度為d。當(dāng)線圈中的恒定電流為I時，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁芯及氣隙中的磁感應(yīng)強度及磁場強度。

第56頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三代入矢量磁位3.3.2矢量磁位和標(biāo)量磁位1.矢量磁位

為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。

由磁場的散度為零，引入矢量磁位。

利用磁場的旋度方程導(dǎo)出矢量磁位滿足的微分方程。由其單位為T·m（特·米）或Wb/m（韋/米）得即得矢量位的泊松方程規(guī)定其散度（庫侖規(guī)范）第57頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三在直角坐標(biāo)系中可分解為三個標(biāo)量泊松方程其解于是，矢量位滿足的泊松方程的解為體電流、面電流、線電流產(chǎn)生的矢量位分別為第58頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三在恒定磁場無電流區(qū)域——標(biāo)量磁位，單位：A（安培）。

標(biāo)量磁位僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。標(biāo)量磁位的特點：2.標(biāo)量磁位

標(biāo)量磁位滿足的微分方程

標(biāo)量磁位滿足的邊界條件第59頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位一面積為S,通以電流I的小圓電流環(huán)稱為磁偶極子，定義矢量為磁偶極子的磁偶極矩?？紤]得磁偶極子產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度產(chǎn)生的合成矢位只有分量如圖建立坐標(biāo)系，與x軸對稱的兩個電流元在考察點式中稱為磁偶極子的標(biāo)量位磁場的另一基本變量第60頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三磁偶極子的矢量磁位圖3-12磁偶極子第61頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三式中：第62頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三如果r>>a，則從圖3-12可見，第63頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三如果r>>a，則從圖3-12可見，第64頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三所以式中，m=Iπa2，是圓形回路磁矩的模值。一個載流回路的磁矩是一個矢量，其方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積，即其定義為第65頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三第66頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三位于點r的磁矩為m的磁偶極子，在點r′處產(chǎn)生的磁矢位為位于外磁場B中的磁偶極子m，會受到外磁場的作用力及其力矩。這里僅僅給出作用力及力矩的公式。作用力為力矩為第67頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三

例3.3.2求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。圖3-11直導(dǎo)線磁矢位第68頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三解:當(dāng)l>>z時，有上式中，若再取l>>r,則有第69頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢位的參考點，就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點時，可以得出從上式，用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出第70頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例3.3.2求無限長直線電流的矢量位A

磁感應(yīng)強度B。解：首先計算一根長度為的長直線電流I產(chǎn)生的矢量位。由線電流的矢位計算公式積分可得第71頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時若，則這時可在A

的表達(dá)式中附加一個常矢量則磁感應(yīng)強度B等于磁場強度H等于與例3.32.1直接積分所得的結(jié)果相同第72頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.3.3電感在線性介質(zhì)中，一個電流回路在空間任意一點產(chǎn)生的B與電流成正比，因而穿過任意回路的磁通也與電流成正比；若一回路由N匝導(dǎo)線繞成，則總磁通是各匝磁通之和，成為磁鏈，用表示。且可近似為

當(dāng)磁場由自身回路的電流產(chǎn)生則回路磁鏈與電流之比稱為自感系數(shù)，簡稱自感，單位為H（亨）

第1回路電流產(chǎn)生的磁場與第二回路交鏈的磁鏈為，則比值稱為互感系數(shù)，簡稱互感，單位仍為H

同樣，第2回路電流產(chǎn)生的磁場與第一回路交鏈的磁鏈為，其比值同樣稱為互感系數(shù)自感與互感都僅取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和介質(zhì)的磁導(dǎo)率?；ジ羞€與兩個回路的相互位置有關(guān)。第73頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三兩個單匝回路的互感設(shè)回路1通過電流而所以同理由此可見諾伊曼公式單匝回路的自感對于單匝回路，可將電流看作集中于軸線回路上，而將計算磁通的回路取作導(dǎo)線邊緣的回路，應(yīng)用諾伊曼公式計算自感為第74頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例3.3.3計算同軸線單位長度的電感abr第75頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三與電流交鏈以上計算的自感只考慮了導(dǎo)線外部的磁通，故稱為外自感；在導(dǎo)線內(nèi)部的磁力線同樣套鏈著電流，其磁鏈與電流比值定義為內(nèi)自感。假設(shè)單匝回路，其橫截面積導(dǎo)線內(nèi)的磁場穿過圖中面積的磁通為穿過圖中面積的磁鏈為長度為l一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為第76頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三總自感為

例3.3.4求雙線傳輸線單位長度的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距離，如圖所示解：由得二導(dǎo)線在x處產(chǎn)生的磁場分別為總的磁感應(yīng)強度單位長度的外自感為單位長度的內(nèi)自感為穿過面積的磁通第77頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三而回路j的磁鏈為3.3.10磁場能量

電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流過程中由電源供給的。

當(dāng)電流從零增加時回路感應(yīng)電動勢將阻止電流的增加，外加電壓須克服感應(yīng)電動勢而作功，使回路能量增加。

若所有回路固定，且忽略焦耳損耗，則電源作功將全部變?yōu)殡娏骰芈废到y(tǒng)的磁場能量，這時回路上的外加電壓和回路中的感應(yīng)電動勢大小相等方向相反。回路j中的感應(yīng)電動勢為外加電壓dt時間內(nèi)與回路j相連的電源所作的功若系統(tǒng)包含N個回路，增加的磁場能量為互感系數(shù)自感系數(shù)第78頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)所有回路中的電流同時從零開始以百分比同比例增加，即則，于是充電過程完成后，系統(tǒng)的總磁場能量例單回路雙回路用場量表示該磁場能量單位體積的磁場能量稱為磁場能量密度第79頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三例3.3.7求無限長同軸線單位長度內(nèi)的磁場能量，如圖所示。解：在的區(qū)域在的區(qū)域在的區(qū)域由基本方程三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為第80頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三因為總磁場能量所以同軸線單位長度的電感為其中（內(nèi)自感）（主自感）（外套管壁內(nèi)的電感）第81頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.3.5磁場力兩個載流回路間的磁力可由安培力公式計算。也可與靜電力的計算類似，用磁場能量的空間變化率來計算磁場力。①磁鏈不變

兩個回路的磁鏈不變，即

回路發(fā)生位移，兩回路中電流必定發(fā)生變化，才能維持兩回路的磁鏈不變

兩回路中沒有感應(yīng)電動勢（因為磁鏈不變），故與回路相連的電源不對回路輸入能量。

回路位移時所須的機(jī)械功只有靠磁場能量減少來完成。②電流不變

兩個回路電流不變，即

回路發(fā)生位移，兩回路中的磁鏈必定發(fā)生變化，才能維持兩回路電流不變。第82頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三兩個回路的能量為

上式表明：在不變的情況下磁場能量的改變（即磁力）僅是由于互感的改變引起的。

前面假設(shè)的不變和不變是在一個回路發(fā)生位移時的兩種假設(shè)，無論假設(shè)不變還是不變，求出的磁場力是相同的。

兩回路中都有感應(yīng)電動勢（因為磁鏈發(fā)生變化），與回路相連的電源要作功來克服感應(yīng)電動勢以保持兩個回路的電流不變。

電源作功為即電源輸入能量的一半用于增加磁場儲能，另一半用于回路位移所需的機(jī)械功。得第83頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.4.1邊值問題的分類

第一類邊值問題：給定整個邊界上的位函數(shù)值；第二類邊值問題：給定邊界上每一點位函數(shù)的法向?qū)?shù)；第三類邊值問題：給定一部分邊界上每一點的電位，同時給定另一部分邊界上每一點的電位法向?qū)?shù)。給定導(dǎo)體上的總電量亦屬于第二類邊值問題。第84頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.4.2唯一性定理第85頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三唯一性定理證明：設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，φ1和φ2滿足泊松方程，即在V的邊界S上，φ1和φ2滿足同樣的邊界條件，即第86頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三令φ=φ1-φ2，則在V內(nèi)，▽2φ=0，在邊界面S上，φ|S=0。在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，則由于▽2φ=0，所以有在S上φ=0，因而上式右邊為零，因而有第87頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.5鏡像法

待求區(qū)域的電位由其電荷分布與邊界條件共同決定。

鏡像法則是在研究區(qū)域之外，用一些假想的電荷分布代替場問題的邊界。

這些假想的電荷稱為像電荷，大多是一些點電荷或線電荷。

鏡像法只適用于一些特殊邊界。

鏡像法求解電位問題的理論依據(jù)是惟一性定理。

本節(jié)將分別討論平面鏡像、球面鏡像和柱面鏡像。第88頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三1.點電荷對接地導(dǎo)體平面的鏡像求置于無限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為h處的點電荷q的電位。圖3.5.1無限大導(dǎo)體平面上點電荷的鏡像第89頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三第90頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三由Dn=ρS可得導(dǎo)體表面的面電荷密度：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷：第91頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三圖3.5.3點電荷與正交接地導(dǎo)體平面的鏡像第92頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.5.2導(dǎo)體球面的鏡像

球外區(qū)域任意一點的電位由點電荷和導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷決定。

像電荷的位置及大小由以下原則決定:點電荷與像電荷的共同作用應(yīng)使球面的電位為零。一半徑為a的接地導(dǎo)體球，在與球心O相距的點有一點電荷，求球外的電位分布。

在求解區(qū)域外（球內(nèi)）用一點電荷（像電荷）代替球面上感應(yīng)電荷的影響。球外任意一點P的電位為確定像電荷的位置及大小，可在球面上取兩個特殊點、。它們的電位均為零。聯(lián)立求解得于是球外任意點的電位第93頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.5.3導(dǎo)體柱面的鏡像于是圓柱外任意點的電位采用球坐標(biāo)系，取原點為球心O點，Z軸與重合，則球外任意點處有如圖，半徑為的接地導(dǎo)體圓柱外有一根和它平行的線電荷，密度為，與圓柱軸線相距為。求空間的電位函數(shù)。代入解得分析方法與球面鏡像相同，并用的關(guān)系進(jìn)行試探求解。同樣在圓周上取兩個特殊點、，因為圓柱接地，它們的電位為零。第94頁，共106頁，2023年，2月20日，星期三3.5.4介質(zhì)平面的鏡像

6設(shè)兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2的介質(zhì)充填于x<0及x>0的半空間，在介質(zhì)2中點(d,0,0)處有一點電荷q,如圖4-7(a)所示，求空間各點的電位。圖