/數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【參考答案】C【題目解析】【題目考點分析】解出集合、，利用交集的定義可得出集合.【題目詳細(xì)解讀】，，.故選：C.【點睛】本題考查交集的計算題，涉及一元二次不等式的求解，考查計算題能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i【參考答案】D【題目解析】【題目考點分析】兩邊同乘-i，化簡即可得出參考答案．【題目詳細(xì)解讀】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i，選D.【點睛】的共軛復(fù)數(shù)為3.設(shè)隨機變量，若，則（）A.， B.，C.， D.，【參考答案】A【題目解析】【題目考點分析】根據(jù)正態(tài)分布及可知期望與方差.【題目詳細(xì)解讀】因為隨機變量，且，所以由對稱性知，由正態(tài)分布知方差.故選：A【點睛】本題主要考查了正態(tài)分布中，的含義，屬于容易題.4.從名教師和名學(xué)生中，選出人參加“我和我的祖國”快閃活動．要求至少有一名教師入選，且入選教師人數(shù)不多于入選學(xué)生人數(shù)，則不同的選派方案的種數(shù)是（）A. B. C. D.【參考答案】C【題目解析】【題目考點分析】由題意可分成兩類：一名教師和三名學(xué)生，兩名教師和兩名學(xué)生，分別利用組合公式計算題即可.【題目詳細(xì)解讀】由題意可分成兩類：（1）一名教師和三名學(xué)生，共；（2）兩名教師和兩名學(xué)生，共；故不同的選派方案的種數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查組合的應(yīng)用，是簡單題，注意分類討論、正確計算題即可．5.在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A.74 B.121 C. D.【參考答案】D【題目解析】【題目考點分析】根據(jù)，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數(shù)，【題目詳細(xì)解讀】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，6.袋子中裝有大小相同的八個小球，其中白球五個，分別編號1、2、3、4、5；紅球三個，分別編號1、2、3，現(xiàn)從袋子中任取三個小球，它們的最大編號為隨機變量X，則P(X=3)等于()A. B. C. D.【參考答案】D【題目解析】第一種情況表示1個3，,第二種情況表示2個3，，所以，故選D.7.如圖，四面體中，，，兩兩垂直，，點是的中點，若直線與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【參考答案】D【題目解析】【題目考點分析】根據(jù)題意，面ABE,過B作BF，證明BF面ACD,為直線與平面所成角，BF即為到平面的距離，利用三角形等面積即可求解.【題目詳細(xì)解讀】由題知AB面BCD,ABCD,又BC=BD，點是的中點，BECD,且BE=又，CD面ABE,過B作BF于E，則CDBF,又AECD=E,BF面ACD,為直線與平面所成角，BF即為到平面的距離.,解得BA=4,,利用等面積知.

故選D.【點睛】本題考查線面角，點面距，過B作BF，證明BF面ACD是關(guān)鍵.8.設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則實數(shù)取值范圍（）A. B. C. D.【參考答案】D【題目解析】【題目考點分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及題意題目考點分析可得所求范圍．【題目詳細(xì)解讀】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可得，要使函數(shù)是在上的增函數(shù)，需滿足，解得．所以實數(shù)取值范圍是．故選D．【點睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個：（1）畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解，增強了解題的直觀性和形象性；（2）討論函數(shù)在實數(shù)集上的單調(diào)性時，除了考慮每個段上的單調(diào)性之外，還要考慮在分界點處的函數(shù)值的大小關(guān)系．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A B. C. D.【參考答案】CD【題目解析】【題目考點分析】將各項的值代入驗證后可得正確的選項，注意用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.【題目詳細(xì)解讀】取，則，不成立；取，則，不成立；取，則，成立；取，則，成立；下證：當(dāng)時，成立.當(dāng)，則，成立；設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，有，令，則，因為，故，因為，所以，所以當(dāng)時，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意的都成立.故選：CD.【點睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，注意歸納的起點可以通過驗證得到，還要注意用數(shù)學(xué)歸納法證明一般性結(jié)論是成立.10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.命題“，”的否定是“，”C.“”是“”必要而不充分條件D.“”是“關(guān)于方程有一正一負(fù)根”的充要條件【參考答案】BD【題目解析】【題目考點分析】A.根據(jù)全稱命題的否定的書寫規(guī)則來判斷；B.根據(jù)特稱命題的否定的書寫規(guī)則來判斷；C.根據(jù)充分性和必要性的概念判斷；D.根據(jù)充分性和必要性的概念判斷.【題目詳細(xì)解讀】解：A.命題“，”的否定是“，”，故錯誤；B.命題“，”的否定是“，”，正確；C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故錯誤；D.關(guān)于方程有一正一負(fù)根，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，正確，故選：BD.【點睛】本題考查全稱命題，特稱命題否定的寫法，以及充分性，必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.11.已知為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則．B.復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則．C.若復(fù)數(shù)，滿足，則．D.復(fù)數(shù)的虛部是3．【參考答案】ABC【題目解析】【題目考點分析】直接運算可判斷A；由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)模的概念可判斷B；由共軛復(fù)數(shù)的概念，運算后可判斷C；由復(fù)數(shù)虛部的概念可判斷D；即可得解.【題目詳細(xì)解讀】由，故A正確；由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，即，則，故B正確；設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，故C正確；復(fù)數(shù)的虛部是-3，故D不正確.故選：A、B、C【點睛】本題綜合考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.12.（多選）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.的值域是【參考答案】BC【題目解析】【題目考點分析】舉反例說明A錯，用奇函數(shù)的定義證明B正確，用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性說明C正確，求出函數(shù)的值域，根據(jù)高斯函數(shù)的定義證明D錯誤．【題目詳細(xì)解讀】根據(jù)題意知，．，，，，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯誤；，是奇函數(shù)，B正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上是增函數(shù)，C正確；，，，，D錯誤．故選BC．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識．由于涉及到新定義函數(shù)，有一定的難度．三、填空題題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，取值如表：畫散點圖題目考點分析可知：與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，則__________．【參考答案】【題目解析】題目考點分析：計算題，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點，代入方程求出m的值．題目詳細(xì)解讀：計算題=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（3，），又y與x的線性回歸方程=x+1過樣本中心點，∴=1×3+1，解得m=.故填.點睛：本題考查了回歸直線方程過樣本中心點的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是__________．【參考答案】(1,3)【題目解析】【題目考點分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，增函數(shù)，化簡得到，解得參考答案.【題目詳細(xì)解讀】，，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，即，即，解得.故參考答案為：.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.15.已知，且，則的最小值為_____________.【參考答案】【題目解析】【題目考點分析】由題意首先求得的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算題即可求得最終結(jié)果，注意等號成立的條件.【題目詳細(xì)解讀】由可知，且：，因為對于任意，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.綜上可得的最小值為.【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．16.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，“趙爽弦圖”如圖所示，由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成，現(xiàn)有五種不同的顏色可供涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有______種（用數(shù)字作答）.【參考答案】420【題目解析】【題目考點分析】根據(jù)題意設(shè)五個區(qū)域分別為①②③④⑤，再分兩步討論①②③和④⑤的情況，最后由分步計數(shù)原理計算題即可.【題目詳細(xì)解讀】由題意，假設(shè)五個區(qū)域分別為①②③④⑤，對于區(qū)域①②③，三個區(qū)域兩兩相鄰，共有種情況；對于區(qū)域④⑤，若④與②顏色相同，則⑤有3種情況，若④與②顏色不同，則④有2種情況，⑤有2種情況，共有種情況，所以④⑤共有種情況，則一共有種情況.故參考答案為：420【點睛】本題主要考查排列組合的應(yīng)用和分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求展開式中含的項的系數(shù).【參考答案】（1）（2）（3）【題目解析】【題目考點分析】（1）根據(jù)前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的定義求得的值；（2）根據(jù)通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含的項的系數(shù)．【題目詳細(xì)解讀】解：（1）因為前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，且前三項系數(shù)為，所以，即，所以（舍去）或.（2）因為，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第五項，即.（3）通項公式：由，，可得含的項的系數(shù)為.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)．18.已知函數(shù)f（x）（k＞0）（1）若f（x）＞m的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，求不等式5mx2+kx+3＞0的解集；（2）若存在x＞3，使得f（x）＞1成立，求k的取值范圍．【參考答案】（1）（2）【題目解析】【題目詳細(xì)解讀】試題題目考點分析：（1）根據(jù)不等式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系：-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，即利用韋達(dá)定理得方程組，解方程組可得m,k的值，代入不等式5mx2+kx+3＞0再解一元二次不等式即可（2）不等式有解問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：，再根據(jù)基本不等式求最值，即得k的取值范圍．試題題目解析：解：（1）不等式，∵不等式mx2-2kx+6km＜0的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，∴-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，∴，故有，∴不等式5mx2+kx+3＞0的解集為．（2）．存在x＞3，使得f（x）＞1成立，即存在x＞3，使得成立．令，則k＞g（x）min．令2x-6=t，則t∈（0，+∞），，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．所以故k∈（6，+∞）．點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)題目解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.19.如圖，直三棱柱中，，，，分別為，的中點．（1）證明：平面；（2）已知與平面所成的角為30°，求二面角的余弦值．【參考答案】（1）證明見題目解析；（2）．【題目解析】【題目考點分析】（1）取中點，連接、，根據(jù)題目條件，利用線面垂直的判定定理，得出平面，由于為中點，，，可證出四邊形為平行四邊形，得出，從而可證出平面；（2）設(shè)，，根據(jù)（1）可知，平面，則到平面距離，設(shè)到面距離為，根據(jù)三棱錐等體積法有，得，得，因為與平面所成的角為30°，可求出，結(jié)合線面垂直的判定定理證出平面，進而得出為二面角的平面角，只需求出，即可求出二面角的余弦值．【題目詳細(xì)解讀】解：（1）取中點，連接、，∵∴，∵平面，平面，∴，而平面，平面，∴平面，∵為中點，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．∴平面．（2）設(shè)，，則，，，∴∴，，到平面距離，設(shè)到面距離為，由，得，即，得，因為與平面所成的角為30°，所以，而在直角三角形中，，所以，解得．因為平面，平面，所以，又平面，平面，所以，所以平面，∵平面，平面所以為二面角的平面角，而，可得四邊形是正方形，所以，則，所以二面角的余弦值為．【點睛】本題考查線面垂直的判定定理，以及利用幾何法求二面角余弦值，涉及平行四邊形的證明、等體積法求距離、棱錐的體積，線面角的應(yīng)用等知識點，考查推理證明能力和計算題能力.20.交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體，隨機調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.635787910.828【參考答案】（1）填表見題目解析；有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān)（2）詳見題目解析【題目解析】【題目考點分析】（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算題出的值，由此判斷出有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān).（2）利用二項分布的知識計算題出分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳細(xì)解讀】（1）平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為，，所以有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān).（2）服從，即，.所以的分布列如下0123的期望【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查二項分布分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.21.已知為給定的正整數(shù)，設(shè)，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【參考答案】（1），.（2）【題目解析】【題目考點分析】（1）利用二項式定理可求出和的值