第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.1根軌跡的概念一.根軌跡法是1948年伊凡思（Evans）提出的，該法是在已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳函的極、零點分布的基礎上，研究某一個或某些系統(tǒng)參數(shù)的變化對控制系統(tǒng)閉環(huán)傳函極點分布影響的一種圖解法。二.根軌跡是指當系統(tǒng)某個參數(shù)（比如開環(huán)增益k）由零到無窮大變化時，閉環(huán)特征根在[s]平面上移動的軌跡。舉例：開環(huán)傳函：K為開環(huán)增益（因為標準型）有兩個開環(huán)極點無開環(huán)零點第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

閉環(huán)傳函：

則閉環(huán)特征方程為：

閉環(huán)特征根（即閉環(huán)傳函的極點）：第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.1根軌跡的概念考慮某一參數(shù)變化后，閉環(huán)極點的變化規(guī)律。通過極點的軌跡了解系統(tǒng)動態(tài)性能的變化。利用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分布來研究閉環(huán)系統(tǒng)的極點的分布。G(s)H(s)+-閉環(huán)傳遞函數(shù)分母方程即特征方程根軌跡方程第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.1根軌跡的概念3繪制根軌跡的條件：由得幅值條件相角條件為m個開環(huán)零點為n個開環(huán)極點k——根軌跡增益第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.1根軌跡的概念模條件與角條件的作用：1、角條件與k無關，即s平面上所有滿足角條件的點都屬于根軌跡。（所以繪制根軌跡只要依據(jù)角條件就足夠了）。2、模條件主要用來確定根軌跡上各點對應的根軌跡增益k值。0幾何意義：從各開環(huán)極點引向根軌跡上的點s的矢量的長度的乘積除以從各開環(huán)零點引向根軌跡上的點s的矢量的長度的乘積所得的商即為該s點對應的系數(shù)k值.

第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.1根軌跡的概念例：開環(huán)極點為：無開環(huán)零點jω

σ0-0.5×

×

-p1-p2第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.1根軌跡的概念試探法(1)在實軸上取S1=-0.1S1jω

σ0-0.5×

×

-p1-p2S1對應的

同理，實軸上之間的點都是根軌跡上的點。

第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.1根軌跡的概念(2)在復平面上取S2=-0.25+j0.25S1對應的

同理，實軸垂直平分線上的所有點都是根軌跡上的點。

S2jω

σ0-0.5×

×

-p1-p2?

-0.25第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.2根軌跡的繪制規(guī)則規(guī)則一：根軌跡對稱于實軸。規(guī)則二：根軌跡的分支數(shù)，起點，終點。（1）分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n：（因為n階方程應有n個根，當時，n個根都隨k變）（2）根軌跡起始于開環(huán)極點（n個）（3）根軌跡終止于開環(huán)零點（m個）和（n-m）個無窮遠處。因為由根軌跡方程：起點，即k=0。只有當時，為無窮大。終點，即,只有當或為0。第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.2根軌跡的繪制規(guī)則規(guī)則三：實軸上的根軌跡分析：（1）共軛復零點或極點所產生的相角等值反號。所以不影響相角條件；（2）s點左側零、極點相角都為0，所以也不影響相角條件。（3）s點右側零、極點相角為而相角條件即奇數(shù)個所以結論：實軸上線段右側的零、極點數(shù)目之和為奇數(shù)時，此區(qū)段為根軌跡。第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三jωσ

×

×

×

×

例第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.2根軌跡的繪制規(guī)則規(guī)則四：根軌跡的漸近線：（1）條數(shù)：（n-m）條（2）與實軸所成角度當時，認為所有開環(huán)零極點引向s的角相同（3）與實軸交點坐標：即[極點坐標之和]-[零點坐標之和]

極點數(shù)–零點數(shù)第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三規(guī)則五

兩條或兩條以上的根軌跡分支在S平面上某點相遇后立即分開，則稱該點為分離點，分離點的坐標d可由以下方程求得：證明：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：根軌跡在S平面上某點相遇，則意味著上式有重根第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三代數(shù)方程有重根的條件：D(s)=0,dD(s)/ds=0化簡：第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三因為：最后得：第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三根軌跡的分離點：分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之間。分離點(會合點)是閉環(huán)特征方程的重根。閉環(huán)特征方程：另一種求分離點和會合點的方法消去k得第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例：求閉環(huán)根軌跡的分離點坐標。法一：法二：-1d1.5第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三規(guī)則六

根軌跡離開復數(shù)極點的切線方向與正實軸間的夾角稱為出射角；進入復數(shù)零點的切線方向與正實軸間的夾角稱為入射角。

它們的計算公式為：出射角

=1800+[各零點指向本極點的方向角]-[其他極點指向本極點的方向角]入射角=1800-[其他零點指向本零點的方向角]+[各極點指向本零點的方向角]第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三規(guī)則七

若根軌跡與虛軸相交，其交點處的值和對應的k可由勞斯判據(jù)求得，或將s=j代入特征方程，并令其實部和虛部分別相等求得。根軌跡與虛軸相交，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，可令勞斯陣列第一列中包含k的項為零，求出k。如果根軌跡與正虛軸有一個交點，說明特征方程有一對純虛根，可利用勞斯陣列中s2項的系數(shù)構成輔助方程，解此方程可求得交點處的值。若交點多于一個，可用大于2的偶次冪所在行的系數(shù)構成輔助方程，求得根軌跡與虛軸的交點或第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三根軌跡與虛軸的交點：由s=j

代入閉環(huán)特征方程可得，D(j

)=0，由方程可得交點的值。例根軌跡的分離點：舍去第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.2根軌跡的繪制與虛軸交點：代入實部，k’=48實部虛部臨界放大倍數(shù)Routh表：S318S26k’S10S0

k’0K’=48時，S1行全為0輔助方程：6S2＋48＝0第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.3根軌跡繪制舉例例4.3-1已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制系統(tǒng)的根軌跡。第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的特征方程為5階，故根軌跡有5支。起始點：p1=0;p2=-5;p3=-6;p4=-1+j;p5=-1-j;終止點：z1=0;(有限零點）有4個無窮遠終止點有四條根軌跡趨于無窮遠處，故有四條漸近線：夾角：交點：第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三實軸上的根軌跡位于0~-3及-5~-6之間根軌跡離開復數(shù)極點-1+j的起始角為根軌跡的分離點或：a=[113.56614212345];roots(a)ans=-5.5257-3.3311+1.2040i-3.3311-1.2040i-0.6560+0.4677i-0.6560-0.4677ir:用MATLAB求根：d=-5.53第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三6.根軌跡與虛軸交點可利用勞斯判據(jù)確定。第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解得：k=35.6由：k=35.6時的值由以下輔助方程確定：代入k=35.6：rlocus([13],[1135482600])用：第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.3根軌跡繪制舉例例4.3-2已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制系統(tǒng)的以T為參變量的根軌跡。解法：A與K等價第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三1.系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：2.求等效開環(huán)傳遞函數(shù)：3.起始點：p12=-1j;終止點：z1=0,z2=0,z3=-24.實軸上的根軌跡位于：-~-25.從復數(shù)極點起始的相角為：進入原點的終止相角為：第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.3根軌跡繪制舉例例4.3-3已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。背景：復雜系統(tǒng)中可能局部回路是正反饋子系統(tǒng)。特征方程變?yōu)椋夯虻?4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三幅角條件：幅值條件：開環(huán)傳函：第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三修正規(guī)則三

實軸上若某線段右側的開環(huán)零極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則此線段為根軌跡的一部分修正規(guī)則六

根軌跡離開復數(shù)極點的切線方向與正實軸間的夾角稱為起始角，進入復數(shù)零點的切線方向與正實軸間的夾角稱為終止角，計算公式：第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三修正規(guī)則四

當有限開環(huán)極點數(shù)n大于有限開環(huán)零點數(shù)m時，有n–m條根軌跡沿n–m條漸近線趨于無窮遠處，這n–m條漸近線在實軸上相交于一點，交點坐標為：漸近線與實軸的夾角為：分離角為：第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三起始點：p12=-1j;p34=-12j;2.實軸上的根軌跡位于：-~+4.從復數(shù)極點起始的相角為：5.分離點：3.根軌跡有4條漸近線d=-1解得6.與虛軸交點：k=0,s=0解得第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三j0第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三4.3根軌跡繪制舉例例4.3-4已知非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制系統(tǒng)的根軌跡。對于非最小相位系統(tǒng)，需要根據(jù)特征方程確定是按負反饋還是正反饋條件繪制根軌跡。例如：第40頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三化成標準形式：根軌跡方程：按正反饋系統(tǒng)條件繪制該系統(tǒng)根軌跡2.實軸上的根軌跡位于：[0~-3]，[