???i7.1.證明：證：由對易關(guān)系xyz????2i?及xyyxz????反對易關(guān)系0，得xyyx??i?zxy?上式兩邊乘，得z?2z????21i∵xyzz???i∴xyz?SS和y?(S)中，7.2求在自旋態(tài)的測不準(zhǔn)關(guān)系：12zx(S)2(S)2?xy??(S)、SSzxy?S解：在表象中、的矩陣表示分別為z121(S)S?010iS2i0?021012zxy(S)態(tài)中∴在12z011(10)0210001011SSx12x12221021004?S2S(10)2x12x12(S)2S2Sx224xx0i1?SS(10)0002iy12y12001ii2?S2S(10)2004202iiy12y12(S)2S2Sy224yy(S)2(S)2416xy??的對易關(guān)系SS、討論：由xySSiS???[，]xyz2S24(S)2(S)2(S)2(S)2要求z①416xyxy(S)態(tài)中，S在212zz4(S)2(S)2∴16xy可見①式符合上式的要求。i0102i0??Sx及Sy7.3.求的本征值和所屬的本征函數(shù)。210?S解：的久期方程為x2202()20222?S∴的本征值為。xa1設(shè)對應(yīng)于本征值由本征方程的本征函數(shù)為21/2b1?S，得2x1/21/2a1a011bb210211ba1abba111111/21/2由歸一化條件1，得a1(a*,a*)1a111112a211ab即∴2211112的本征函數(shù)為1/2對應(yīng)于本征值設(shè)對應(yīng)于本征值由本征方程12a22的本征函數(shù)為1/2b2a?S22x1/21/2b2ba2ab2ab2222由歸一化條件，得aaa1(,)*2*22a22a212ab11即∴222211212的本征函數(shù)為對應(yīng)于本征值1/22。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為?S同理可求得的本征值為y11112ii21212(cos,cos,cos)方向的投影7.4求自旋角動量SS?cosS?cosS?cos?nxyz本征值和所屬的本征函數(shù)。??的平均值是多少？SS在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？zz?S?的矩陣元為S解：在表象，zn010i10201S?coscoscos210i20ncos2cosicoscosicosScosn其相應(yīng)的久期方程為cos(cosicos)022(cosicos)cos22222cos2(cos2cos2)0即44220(利用cos2cos2cos21)422?S所以的本征值為。nS2的本征函數(shù)的矩陣表示為a12(S)設(shè)對應(yīng)于，則bnncos2cosicoscoscosicosaabb2a(cosicos)bcosb1cosbcosicosa1(a*,b*)ab22由歸一化條件，得b1122acosicos21cosa21221cosa211cos1(S)cosicos12n2(1cos)1cos1(S)cosicos12n2(1cos)1cosicos01cos(S)202(1cos)112n1coscosicos122(1cos)1221cosicos01cos(S)202(1cos)112n1coscosicos122(1cos)122?S可見，的可能值為22z2(1cos)1coscos2cos21cos相應(yīng)的幾率為221cos1coscosS22222zS同理可求得對應(yīng)于2的本征函數(shù)為n1cos2(S)cosicos12n2(1cos)?S在此態(tài)中，的可能值為21cos2z1cos相應(yīng)的幾率為22Scosz21RrY21()(,)2117.5設(shè)氫的狀態(tài)是3R(r)Y(,)22110??的平均值；LzS①求軌道角動量②求總磁矩z分量和自旋角動量z分量z??e?eMLS2的z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。解：ψ可改寫成101R(r)Y(,)3R(r)Y(,)1020212111211R(r)Y(,)(S)3R(r)Y(,)(S2221111z21101z22?Lz從ψ的表達式中可看出的可能值為01434相應(yīng)的幾率為Lz4?S的可能值為22z1432為C相應(yīng)的幾率4i13SC2S24244ziziMLS()eeee2244zzze1M244B7.6一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？，，則體系可能的狀態(tài)為j解：體系可能的狀態(tài)有4個。設(shè)兩個單粒子態(tài)為i2(q)(q)(q)1i1ii32(q)(q)(q)2j1jj313[(q)(q)(q)(q)(q)(q)33i1i2j3i1ij2(q)(q)(q)]ji2i31134[(q)(q)(q)(q)(q)(q)3j1j2i3j1ji23(q)(q)(q)]j2ji1(1),(2),(3)和組成的正交歸一系。A7.7證明SSS(1)(S)][(S)1z1/2(1)[(S)S(S)]2z解：S1/21z1/22z1/21/2(S)(S)(S)(S)1z1/21/22z1z1/22z(S)2z(S)2z1/21/21(1)(S)1z1/2(2)[(S)S(S)][(S)]2zS1/21z1/22z1/21/2(S)2z(S)1z(S)1z(S)2z1/21/21/2=01(1)(3)[(S)1z1/2(S)]2z2SS1/2[(S)(S)2z(S)1z(S)]2z1/21z1/21/21/21(S)1z1/2[(S)(S)(S)2z1/222z1/21z1/21/2(S)2z(S)1z1/2(S)1z(S)]2z1/21/21[1/2(S)2z(S)0]2z21/2同理可證其它的正交歸一關(guān)系。1(3)(3)[S(S)(S)(S)(S)]2[S1/21/21z1/21/22z1/21/21z1/21/22z(S)1z(S)2z(S)1z(S)]2z1[21[21[21[2(S)(S)][(S)(S)]2z1/21/21/21/21z1/22z1/21/21/21/21z1/21/21/2(S)1z(S)][2z(S)(S)]1z1/22z(S)(S)][1z(S)1z(S)]1z2z1/21/2(S)(S)][1z(S)(S)]1z2z2z1/21001122U(r)17.8設(shè)兩電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是2r2。如果電子之間的庫侖能和2U(r)相比可以忽略，求當(dāng)一個電子處在基態(tài)，另一電子處于沿x方向運動的第一激發(fā)態(tài)時，兩電子組成體系的波函數(shù)。解：電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S-方程22(r)U(r)(r)E(r)122222)(r)r(r)E(r)22(z22x2y2122222)(r)2r(r)E(r)22(xyz222r2x2yz22，令考慮到(r)X(x)Y(y)Z(z)2)XYZ12222(x2y2z2)XYZEXYZ(xy2z222212X112Y1(22y2)22x2)(2Xx22Yx222212Z12Zx2(2z2)E212X1(22x2)E2Xx22x212Y1(2y2)E22Yx2y212Z12Zx2(2z2)E2zEEEExyzX(x)Ne122x2H(x)nnn1Y(y)Ne2H(y)2y2mmmZ(z)Ne122z2H(z)12r2(r)NNNe2H(x)H(y)H(z)nmnmnm12r2(r)NNNe2H(x)H(y)H(z)nmnmnmE(nmnm3)2Nn2nn!，其中1/