畫法幾何點、直線與平面的投影點的投影VHXOa'ab'bc'cABC例題3-1：根據(jù)投影圖判斷點在空間的位置二、點的三面投影1.三面投影體系2.點的三面投影XOZYHYWaa'axa"aYHaYw點的三面投影規(guī)律：a'a"OZaYHO=aYwOaa'

OX3.點的投影與坐標(biāo)的關(guān)系XYZ（X，Z）（X，Y）（Y，Z）VHW45°例題3-2：畫出點（15，5，10）的三面投影及空間位置XOZYHYWa'aa"aa’a"AXZYHYWa'a例3-3：根據(jù)點的兩面投影求第三投影45°a"輔助線45°b'bb"e"ee'c"c'cd'dd"f'f"fg'g"g三、兩點的相對位置1.相對位置的判定XOZYHYWa'aa"b'bb"d'dd"b'bb"a'aa"c'cc"XOZYHYW(b)(d')不可見者用括號表示2.重影點及其投影的可見性§3-2直線的投影XOZYHYWa'aa"b'bb"直線的投影可由直線上任意兩點的投影決定1.直線的傾角：對水平投影面的夾角——對正投影面的夾角——對側(cè)投影面的夾角——一、各種位置直線的投影1投影面的平行線2投影面的垂直線3一般位置線XOZYHYWb"1、投影面的平行線a'aa"b'b實長（1）水平線XOZYHYWb"a'aa"b'b（2）正平線（3）側(cè)平線XOZYHYWa'aa"b'bb"水平線的投影特征：（4）、平行線的投影特征：（1）在與其平行的投影面上的投影反映實長；（2）該投影與相應(yīng)投影軸之間的夾角反映直線與另外兩個投影面的傾角；（3）其余的兩個投影平行于投影軸，但不反映實長。25XOZYHYWa'aa"30°b"b'b例題1例題3-4：過點A向右上方作一正平線AB,使其實長為25，與H面的傾角=30°。(1)鉛垂線XOZYHYWb"a'aa"b'（b）2、投影面的垂直線(2)正垂線(3)側(cè)垂線（b"）XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWb"a'aa"（b'）b（1）直線在與其垂直的投影面上的投影積聚為一點；（2）其余的兩個投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實長。（4）、垂直線的投影特征：XOZYHYWb"a'aa"b'（b）例題2例題3-5根據(jù)投影圖判斷下列直線的空間位置b"XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWa'aa"b'bb"（b"）XOZYHYWa'aa"b'b討論1、在垂直線投影圖上能否量得、和？2、既然垂直線也平行于投影面，能否稱它為平行線呢？討論XOZYHYWb"a'aa"b'（b）b"XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWa'aa"b'bb"3、一般位置線的投影特征：（1）三個投影均不反映實長；（2）三個投影均不反映直線與投影面的傾角。3一般位置線A0zyxXOZYHYWa'aa"b'bb"實長實長實長Za-Zb直角三角形法：兩直角邊、斜邊、銳角求直線對投影面的傾角及線段的實長例題3例題3-6已知直線AB的正面投影和點A的水平投影a,并知AB=25,求AB的水平投影ab及AB對V面的傾角。

XOa'ab'25b例題4例題3-7已知直線AB的水平投影ab，和正面投影a’,并知AB對H面的傾角為30°，求AB的正面投影及實長XOa'abb'b1'30oc'cd'd點在直線上，點的投影必在直線的同名投影上定比性：AC：CB=a'c':c'b'=ac:cb=a"c":c"b"二、直線上的點bXOa'ab'dDd'e'e例題3-8:在直線AB上找一點K,AK:KB=3:2。

bXOa'ab'32kk'例題5例題6例題3-9:判定點K是否在直線AB上。

k"OZYHYWa"b"k'kXa'ab'bXa'ab'bk'k例題7例題3-10:

已知點C在直線AB上，且AC=20,求C點的投影。

bXOa'ab'20c'c課后思考題XOZYHYW(a')b'aba"b"b"XOZYHYWa'aa"b'b1、判斷AB線的空間位置ABCDEFHILKOJMN課后思考題2、請指出立體上棱線的空間位置，并畫出相應(yīng)的投影。思考練習(xí)題ABCDEFHGILKOJMN請指出立體棱線的空間位置,并找出其相應(yīng)的投影a"(d")a'd'adb"(c")b'(c')bci'(j')jij"i"k(o)k'o'(k")(o")f'f(f")(h")(h')he'ee"§3-3兩條直線的相對位置關(guān)系兩條直線的相對位置共面:平行、相交（垂直）不共面：交叉(垂直）一、平行兩條直線平行同名投影平行ca'b'c'd'abd平行例一：a"c"d"b"a'b'c'd'abdc例二：c'd'a'b'a"b"c"d"abcd當(dāng)兩條直線為某一投影面的平行線時，必須在該投影面內(nèi)判斷兩條直線是否平行二、相交兩條直線相交同名投影相交ca'b'c'd'abdkk'ca'b'c'd'abd交點的投影符合點的投影規(guī)律例題3-11：過點A，作直線AB，與已知直線CD相交。a'ac'd'cd例題3-12：過點A，作水平線AB，與已知直線CD相交。a'ac'd'cd無數(shù)解唯一解例題3-13：過線外一點A，作正平線與CD相交。a'ac'd'cd例題3-14：從F點作直線，使其與AB、CD均相交cf'fa'b'abc'(d')dk'ke(e')例題3-15：已知兩平行線AB、CD，求作于其相交的水平線MN，使其距H面的距離為15。a'b'abc'd'dc15m'n'mn小結(jié)一、各種位置直線的投影特性(三大類七種位置直線)⒉投影面平行線（一斜兩平行）水平線、正平線、側(cè)平線在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸。⒊投影面垂直線（一點兩垂直）鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應(yīng)的投影軸?！馻ba(b)abbaaabbβγbaabba

⒈一般位置直線（三斜無實長）三個投影與各投影軸都傾斜。二、直線上的點⒈從屬性：點的投影在直線的同名投影上。⒉定比性：點分線段之比在投影中不變。AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”baabccaccbabcabc三、兩直線的相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉

同面投影互相平行(注意投影面平行線)。

同面投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合點的投影特性。

同面投影可能相交，但“交點”不符合點的投影特性。所謂“交點”是兩直線上一對重影點的投影。babcdcadabcdbacdkkbbcddcXaa3(4)34121(2)三、交叉交叉直線的特征:即不平行也不相交d'dca'b'c'abe'f'e(f)判定可見性ca'b'c'd'abdeff'(e')g'h'g(h)例題3-16：判定重影點的可見性。四、垂直定理：互相垂直的兩直線，當(dāng)其中有一條直線平行于投影面時，兩直線在該投影面上的投影反映直角。證明：

bcab?ABBC,BCBbBC平面ABabbc//BCbc平面ABab逆定理也成立：如果兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，而其中有一條直線平行于該投影面，那么這兩條直線在空間一定垂直。d'dca'b'c'abd'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab相交垂直交叉垂直垂直的兩種情況：判斷垂直d'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab例題3-17：求兩直線AB與CD之間的距離。(f)ef'e'公垂線bXOa'ab'cd'（d）c'例題3-18：已知矩形ABCD的一邊AB平行于H面，完成該矩形的兩面投影。d'dca'b'c'ab§3-4

平面的投影ABCDEFHILKOJMN一、平面表示法OXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"c1、幾何元素表示法不在同一直線上的三個點，唯一地確定了一個平面OXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"c幾何元素表示平面的方法2跡線表示法跡線——平面與投影面的交線PvPHPw二、各種位置平面

1平面的傾角與H面夾角——與V面夾角——與W面夾角——（1）正垂面OXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"c2.垂直面PvPwPhVWHQQV

正垂面投影特性：1.abc積聚為一條線，與OX、OZ的夾角反映α、角；

2.abc、abc為ABC的類似形。αababbacccAcCabB2.垂直面（2）鉛垂面OXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cVWHPPH

鉛垂面投影特性：1.abc積聚為一條線，與OX、OYH的夾角反映、角；

2.abc、abc為ABC的類似形；ABCacbababbaccc投影面垂直面的投影2.垂直面（3）側(cè)垂面OXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cVWHSWS

側(cè)垂面投影特性：1、abc積聚為一條線，與OYW、OZ的夾角反映α、β角；2、abc、abc為

ABC的類似形。CabABcabbbaaαβccc垂直面的投影特性正垂面鉛垂面?zhèn)却姑?

在與平面垂直的投影面上，其投影積聚成一條直線。該直線與投影軸的夾角，反映平面與另兩個投影面的夾角。OXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"c2在與傾斜的投影面上的投影為類似形。abcacbcba類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。2.另兩個投影面上的投影有類似性。γβ是什么位置的平面？投影特征：一斜兩類似3、平行面（1）水平面Ywzx0YHabca'b'c'b"a"c"VWH水平面投影特性：1.abc//OX、abc//OYW，分別積聚為直線;2.水平投影abc反映

ABC實形。CABabcbacabccabbbaacc投影面平行面的投影（2）正平面YwzxoYHa'b'c'abb"a"c"c正平面VWH投影特性：1.abc//OX、abc//OZ，分別積聚為直線；2.正面投影abc反映

ABC實形。

cabbacbcabacabcbcaCBA（3）、側(cè)平面a"a'b'YwzxoYHabb"c"c'c投影特性：1.abc//OYY、abc//OZ，分別積聚為直線；2.側(cè)平面投影abc反映

ABC實形。

側(cè)平面VWHabbbacccabcbacabcCABa平行面的投影特性Ywzx0YHabca'b'c'b"a"c"YwzxoYHa’b’c’abb"a"c"ca"a'b'YwzxoYHabb"c"c'c1在與其平行的投影面上的投影反映實形。2

在另外兩個投影面上，其投影積聚成一條直線，且平行于投影軸abcabcabc積聚性積聚性實形性水平面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映實形。2.另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。投影特征：兩線一實形OXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"c在三個投影面上的投影都是類似形，不直接反映與投影面的夾角。4、一般位置面例題3-19：根據(jù)投影判定平面的位置a’b’c’abca'b'abc'cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"caa'b'bc'cb'bc'ca'aabca'b'c'正平面鉛垂面正垂面水平面?zhèn)却姑鎮(zhèn)绕矫胬}3-19：根據(jù)投影判定平面的位置a’b’c’abca'b'abc'cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"caa'b'bc'cb'bc'ca'aabca'b'c'正平面鉛垂面正垂面水平面?zhèn)却姑鎮(zhèn)绕矫鍽HRV例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過直線AB的正垂面P；過點C的正平面Q；過直線DE的水平面R。a’b’abPVPHbac水平正垂側(cè)垂投影面平行面:兩線一實形投影面垂直面:一斜兩類似例題3-20：指出圍成立體各平面的空間位置并找出相應(yīng)的投影ABCDEFHILKOJMN例題3-20：指出圍成立體各平面的空間位置并找出相應(yīng)的投影ABCDEFHILKOJMN⒉平面上取點若點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。即：點在線上，則點在面上。

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①accakb●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abca’bkcdk●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線(細(xì)實線)求解例2已知ABC給定一平面,試判斷點D是否屬于該平面。ddabcabcee點D不屬于平面ABCddabcabcee點D屬于平面ABC例3：作出三角形ABC平面內(nèi)三角形DEF的水平投影。de求線先找兩已知點，求點先找已知線。a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’12平面內(nèi)的直線2、平面內(nèi)的直線

如果直線在平面內(nèi)，它必須通過平面內(nèi)的兩點；或通過平面內(nèi)的一點，且平行于平面內(nèi)的一條直線特殊位置平面上的點可根據(jù)其積聚性求出一般位置平面上的點的確定要依靠平面上的直線作為輔助直線a'b'c'cbak'ka'b'c'cbak'k例題3-21：判斷K點是否在平面上例題3-22：已知MN是平面ABCD內(nèi)的一條直線，求其水平投影。a'b'c'd'abdcm'n'mn綠色的直線在平面內(nèi)嗎？例題3-23：已知平面ABC內(nèi)的點D的正面投影，求其水平投影。a'b'c'abcd'd例題3-23：已知平面ABC內(nèi)的點D的正面投影，求其水平投影。a'b'c'abcd'd例題3-25：完成ABCD的投影。abcda'b'c'od'作出三角形ABC平面內(nèi)三角形DEF的水平投影。de求線先找兩已知點，求點先找已知線。a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’12bckadadbcadadbckbcAC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二找點B先求線DB，求線DB先找點K。利用平行四邊形對邊平行判斷點K是否在平面上（另判斷四點是否在同一平面*）點在面上點不在面上(*)點不在面上已知平面ABCD的邊BC//H面，完成其正面投影。

b’c’11’a’d’abcdBC為水平線b’c’//OX分析：根據(jù)a’d’想辦法求b’c’abcbac已知ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。mnnm正平線上的點Y坐標(biāo)相同，水平線上的點Z坐標(biāo)相同，交點K是既滿足Y坐標(biāo)又滿足Z坐標(biāo)的點。kkk’121’k在△ABC內(nèi)確定K點，使K點距H面為18mm，距V面為15mm.

分別畫出：1.距H面18mm的水平線（Z相同=18）。2.距V面15mm的正平線（Y相同=15）。3.兩條線的交點滿足K點的條件。2’1815：在平面ABC上取一點K，使點K在點A之下15mm（△Z）、在點A之前20mm處（△Y）。（思考題）K在點A之下15mm的水平線上K在點A之前20mm的正平線上3、平面內(nèi)的特殊位置線（1）平面內(nèi)的投影面平行線特點：在平面上具有平行線的投影特征例題3-26：在平面內(nèi)畫出水平線、正平線和側(cè)平線a'b'c'abc在平面上可以畫出許多條正平線，但方向是一致的。一般位置平面內(nèi)平行線的空間形態(tài)一般位置平面內(nèi)投影面的平行線的空間形態(tài)討論：1在一般位置平面內(nèi)能否畫出投影面的垂直線？2在水平面內(nèi)能畫出幾種投影面的特殊位置線？3在鉛垂面內(nèi)能畫出幾種投影面的特殊位置線？H2、平面的最大斜度線MNAB最大斜度線——垂直于平面內(nèi)投影面平行線的直線最大斜度線與投影面夾角最大證明：α2α1aB1最大斜度線——垂直于平面內(nèi)投影面平行線的直線最大斜度線與投影面夾角最大HMNABα2α1aB1最大坡度線——垂直于平面內(nèi)水平線的直線意義：最大斜度線與投影面夾角反映了平面與投影面的夾角。例題3-27：求三角形ABC與H面的傾角a'b'c'abc1求水平線2求最大坡度線3求α角α討論2一條最大坡度線能否決定一個平面？kk'想一想包含水平線AB作一與H面傾角為30o的平面a'b'abcc'30odd'’課堂練習(xí)題：a′bb′ac′d′cd1′23′2′13ab求平面對投影面的傾角﹕(a)求對H面的傾角a(b)求對V面的傾角b16頁a′bb′aa已知AB為平面P對V面的最大斜度線,求作該平面的投影和對H面的傾角a。16頁a′bb′ac′c60°已知△ABC對H面的傾角a＝60°,試完成其V面投影。16頁以AB為邊長作正三角形，使其與V面成30°角。本題有幾解？a′b′abd30°c′d′cc′d′本題有4解16頁§3-5線與面、面與面的相對位置

平行關(guān)系如果一條直線平行于平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與該平面互相平行一、直線與平面平行例題1：過點A作一水平線AB,使其與平面ECD平行。b'ba'aXOecdd'e'c'例題2：判定直線AB與平面ECD是否平行。Oee'cc'dd'Xa'ab'b例題3：判定直線AB,與平面ECD是否平行。Oee'cc'dd'Xb'ba'a例題4：過點C作一平面平行于直線AB。c'c平行于一條直線的平面可以有無數(shù)個OXb'ba'a(a)(c)(b)(a)(b)17頁a′eb′ac′cdd′e′b17頁a′b′ac′cbKL與△ABCl′k′lk不平行17頁p′apa′aa′p′pb′c′bcb′c′bc17頁q如果平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則兩平面互相平行二、兩平面平行例題5：過點A作一平面與平面DEFG平行OXa'

ad'

d

eg'f'e'

g

f例題6：判定兩正垂面是否平行。ee'cc'dda'abbgg例題7：判定兩平面是否平行。ee'cc'dd'a'abb'g'g2005習(xí)題集第17頁—相對位置1a′b′ac′cb33′2′1′12d′d兩平面不平行p′pq′s′sq相交問題1、共有點：既屬于直線又屬于平面2、可見性：重影點c'ee'cdd'1、特殊位置直線與一般面相交（利用積聚性求交點）k'k當(dāng)相交的兩個元素中有一個是特殊位置時，從有積聚性的投影下手解題OXb'ba'(a)2、一般線與投影面垂直面相交（利用積聚性求交點）OXb'bk'kee'cc'dd'a'aee'ff'dd'aa'c'b'c4、一般面與投影面垂直面相交（利用積聚性求交線）k'l'k(l)兩垂直面的交線是垂直線ee'cc'dd'a'abb'3、一般線與一般面相交（用輔助線(平面)求交點）k'k交點是可見與不可見的分界點PH用輔助平面（線）求交點的一般步驟：1含已知直線的一個投影作一輔助面（通常為垂直面）；3交線的投影與已知直線的同名投影相交，得交點；4判定可見性：利用重影點。ee'cc'dd'a'abb'k'kPH2求該輔助面與已知平面的交線；基本作圖題ee'cc'dd'a'abb'k'k例題8：求直線AB,與平面ECD的交點a′b′abp′pk′k18頁2005習(xí)題集第18頁—相對位置24-20(2)cd′c′e′eda′b′a(b)(k)k′18頁2005習(xí)題集第18頁—相對位置233′2′1′124′4a′(b′)abk(k′)4-20(3)18頁p′pabb′a′k′k4-20(4)18頁2005習(xí)題集第18頁—相對位置2aba′b′4–23求直線MN與△ABC的交點,并判別可見性。c′n′m′nmcm′n′mna′b′c′acbkk′kk′19頁4–24過L點作直線LK同時與AB、CD相交。aba′b′c′cdld′l′1′2′12kk′19頁aba′b′c′c33′2′1′12kk′l′l19頁4、兩平面相交

交線——共有線例題9：求兩平面的交線，并判斷可見性。a’b’c’d’e’f’g’feg5、兩一般面相交（利用線面交點法求交線）m'mn'n全交溫故知新作出兩平面的交線并判別可見性做法：取BC面為輔助面，求出N的兩面投影n,n’.任做一輔助面，不要垂直于OX,求出M的兩面投影m,m’,連接MN,并延長至交線，c’1’2’3’4’a’b’bca1234mnn’m’例題10：求兩平面的交線，并判斷可見性。m'mn'naba′b′c′c33′2′1′12kk′l′l19頁例題11：求兩平面的交線，并判斷可見性。m'mn'n互交aba′b′c′c33′2′1′12l′lkk′19頁a′b′ac′cb33′2′1′12l′k′lk18頁abb′a′c′c3(4)2(1)4′3′1′2′k′kss′18頁4-21a′b′ac′cbk′kf′e′fel′l19頁abb′a′c′c3(4)2(1)4′3′1′2′ksk′s′18頁4-21續(xù)特殊情況：用輔助平面求兩平面的交線Pvk'kQvl'l平面擴(kuò)大后再交用加輔助平面法作出兩平面的交線做法：延長ac.34交于m,求出m’,延長2‘1’交點為o’,p,’在ab求出p,bc利用定比性求出o,連接po交21于n,求出n’,連接mn,m’n’.n’bca1234a’b’c’1’2’3’4’mm’pp’oo’n垂直（往往是綜合性的）如果一條直線垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則直線與平面互相垂直4-27下列各圖中，直線與平面垂直的圖是（a）。20頁4-28判斷已知直線和平面是否垂直20頁P(yáng)L不垂直PL不垂直p′p′pl′plee'cc'dd'a'abb'1求垂直線：其正面投影垂直于正平線的正面投影；水平投影垂直于水平線的水平投影；2求交點kk'3判別可見性不可見不可見例題12：過點A作直線AB,垂直于平面ECD，并求交點。1求垂直線：其正面投影垂直于正平線的正面投影；水平投影垂直于水平線的水平投影；2求交點3判別可見性基本作圖題ee'cc'dd'a'abb'kk'例題13：過點A作平面與直線垂直。cc’b'bOee'dd'Xa'a基本作圖題例題14：判定直線AB與平面ECDF是否垂直。d'cc'b'bOee'dXa'af'f例題15：判定直線AB與鉛垂面是否垂直。b'bOXa'a與鉛垂面垂直的線一定是水平線且水平投影垂直于平面的水平投影例題16：已知矩形ABCD的一邊AB的兩個投影及鄰邊AC的正面投影，要求完成矩形的投影。cdd'c'bOXa'ab'含已知直線AB作平面△ABC垂直于已知平面P20頁p′pa′bb′ac′cabca′b′c′pp′判別兩已知平面是否垂直。20頁QP垂直QP不垂直p′ppp′qq′q′qq線面垂直思路解決的幾種常見的應(yīng)用題：1已知平面，求垂直線2已知直線，求垂直面3求點到平面的距離問題4……垂直問題中，反映的構(gòu)建很重要。參與相交的兩個平面都是特殊位置時，其交線的投影如何求出？思考題一兩個平面的交線應(yīng)該在投影圖上畫多長？思考題二a'b'ab

已知直線AB平行于平面CDE求直線的正面投影做法：作cf∥ab,作出f’,連接c’f’,作bb’∥oz,a’b’∥c’f’,連接a’b’.b’e’abcdec’d’a’ff’過K點作鉛垂面垂直于平面ABC做法：作cd∥ox,dd’∥oz,連接c’d’,作k’e’⊥c’d’,abca’b’c’kk’Pvdd’ee’∥過A點作直線垂直于平面ABC做法：作a’d’∥ox,dd’∥oz,連接ad,作ae⊥ab,作a’e’⊥c’b’,e’abca’b’c’d’de作過K點到平面ABC的真實距離做法：作c’e’∥ox,ee’∥oz,連接ce,作kf⊥e