-.z.數(shù)學專題對數(shù)與對數(shù)運算〔教師版〕二、點擊考點［考題1］求以下各式的〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕［解析］〔1〕由，得，即；〔2〕由，得，即，故；〔3〕由，得故；〔4〕由，得故［點評］對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式與指數(shù)形式的互化又是解決問題重要手段。［考題2］求以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕［分析］利用對數(shù)的性質求解，首先要明確解題目目標是化異為同，先使各項底數(shù)一樣，才能使用性質，再找真數(shù)間的聯(lián)系，對于復雜的真數(shù)，可以先化簡再計算。［解析］〔1〕原式〔2〕原式===〔3〕∵∴原式［點評］［考題3］求［解析］條件與所求對數(shù)的底是不一樣的，因此考慮應用換底公式。解法一：∵，∴∴解法二：∵，∴∴解法三：∵∴∴［點評］此題還有其他方法，這里，都是把指數(shù)式改寫為對數(shù)式，再把所求對數(shù)通過換底公式換成和它一樣底數(shù)的對數(shù)，以便利用條件和對數(shù)的性質求解。［考題4］〔1〕設，求的值.〔2〕均大于1，，求［分析］〔1〕首先將指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的性質進展計算?！?〕觀察條件，真數(shù)一樣，底數(shù)不同，假設將拆成、、，則問題獲得解決，因此，要屢次使用等式［解析］〔1〕∵∴∴，∴〔2〕由得由得，由得，即∴，解得∴［點評］〔1〕此題〔1〕通過將、的值用換底公式轉化為同底數(shù)的對數(shù)，再利用對數(shù)的運算法則求值，此外，我們還可以用換底公式得到一個常用的關系式，常用來把分式轉化為整式?！?〕對數(shù)的換底公式在解題中起著重要的轉化作用，能夠將不同底的問題轉化為同底，從而使我們利用對數(shù)的運算性質解題的想法得以實現(xiàn)。［考題5］、、為正數(shù)，且，求的取值范圍.［解析］∵∴∴∵，∴上式關于的方程有實根?！?∴∴，或∴或［點評］對數(shù)知識又常常與其他知識交匯在一起，構成較復雜的題目，如此題與方程、不等式綜合，這時首先要牢牢掌握對數(shù)的定義，注意其與指數(shù)式的轉化；靈活運用運算法則就可使問題得到解決。［考題6］科學研究說明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳-14，碳-14的衰變極有規(guī)律，其準確性可以稱為自然界的"標準時鐘〞。動植物在生長過程中衰變的碳-14，可以通過與大氣的相互作用得到補充，所以活著的動植物每克組織中的碳-14含量保持不變，死亡后的動植物，停頓了與外界環(huán)境的相互作用，機體中原有的碳-14按確定的規(guī)律衰減，我們已經(jīng)知道其"半衰期〞為5730年?！?〕設生物體死亡時，體內每克組織的碳-14含量為l，試推算生物死亡年后體內每克組織中的碳-14含量P；〔2〕湖南長沙馬王堆漢墓女尸體出土時碳-14的剩余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆古墓的年代。［解析］〔1〕設生物體死亡后時，體內每克組織中的碳-14的含量為1,1年后的殘留量為，由于死亡機體中原有碳-14按確定的規(guī)律衰減，所以生物體的死亡年數(shù)與其體內每克組織的碳-14含量P有如下關系：死亡年數(shù) 1 2 3 ……碳-14含量P ……因此，生物死亡年后體內碳-14的含量由于大約每過5730年，死亡生物體的碳-14含量衰減為原來的一半，所以于是這樣生物死亡年后體內碳-14的含量〔2〕由對數(shù)與指數(shù)的關系，指數(shù)式，兩邊取常用對數(shù)得到，∴湖南長沙馬王堆漢墓女尸中碳-14的殘留量約占原始含量的76.7%，即，則，則由計算器可算得所以，馬王堆古墓約是2100多年前的遺址。［點評］要計算，由于在指數(shù)上，計算是不可能的，當轉為對數(shù)式可以計算其結果。三、夯實雙基1．〔a≠0〕化簡得結果是〔〕A．－aB．a(chǎn)2 C．｜a｜ D．2．log7［log3〔log2*〕］＝0，則等于〔〕A． B． C． D．3．〔〕等于〔〕A．1 B．－1 C．2 D．－24．假設2〔*－2y〕＝*＋y，則的值為〔〕A．4B．1或C．1或4D．5．以下指數(shù)式與對數(shù)式的互化中，不正確的選項是〔〕A．與 B．與C．與 D．與6．的值為〔〕A．4 B．1 C．6 D．37．在中，實數(shù)a的范圍是〔〕A．或 B．C．或 D．8．當時，以下說法正確的選項是〔〕①假設M=N，則； ②假設，則M=N；③假設，則M=N； ④假設M=N，則A．①與② B．②與④ C．② D．①②③④9．.10．假設loga*＝logby＝－logc2，a，b，c均為不等于1的正數(shù)，且*＞0，y＞0，c＝，則*y＝________．11．假設lg2＝a，lg3＝b，則log512＝________．12．3a＝2，則log38－2log36＝__________13．均為正數(shù)，，求證：四、感悟高考1．設則。［解析］此題考察了分段函數(shù)的知識，，則，得故應填：2．，則〔〕A． B． C． D．［解析］，，∴應選C。3．方程的解.［解析］令∴∴∴∴故應填：－14．方程的解是。［解析］，∴故應填：1,2。夯實雙基參考答案：2．C3．B4．錯解：由2〔*－2y〕＝*＋y，得〔*－2y〕2＝*y，解得*＝4y或*＝y(tǒng)，則有＝或＝1．答案：選B正解：上述解法忽略了真數(shù)大于0這個條件，即*－2y＞0，所以*＞2y．所以*＝y(tǒng)舍掉．只有*＝4y．答案：D10．11．12．a(chǎn)－2對數(shù)函數(shù)一、考點聚焦1．對數(shù)函數(shù)的概念形如的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù).說明：〔1〕一個函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的條件是：①系數(shù)為1；②底數(shù)為大于0且不等于1的正常數(shù)；③自變量為真數(shù).對數(shù)型函數(shù)的定義域：特別應注意的是：真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。2、由對數(shù)的定義容易知道對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)及其性質①互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱。②假設函數(shù)上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之假設在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上。③利用反函數(shù)的性質，由指數(shù)函數(shù)的定義域，值域，容易得到對數(shù)函數(shù)的定義域為，值域為，利用上節(jié)學過的對數(shù)概念，也可得出這一點。3、．對數(shù)函數(shù)的圖象和性質定義底數(shù)圖象定義域值域單調性增函數(shù)減函數(shù)共點性圖象過點(1,0)，即函數(shù)值特征對稱性函數(shù)與的圖象關于軸對稱4．對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的比擬名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式定義域值域函數(shù)值變化情況當時當時當時當時單調性當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)圖象的圖象與的圖象關于直線對稱要牢記的反函數(shù)的圖象，并由此歸納出表中結論。5、比擬大小比擬對數(shù)的大小，一般遵循以下幾條原則：①如果兩對數(shù)的底數(shù)一樣，則由對數(shù)函數(shù)的單調性〔底數(shù)為增；為減〕比擬。②如果兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不一樣，通常引入中間變量進展比擬。③如果兩對數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)一樣，如與的比擬〔〕.當時，曲線比的圖象〔在第一象限內〕上升得慢，即當1時，；當時，.而在第一象限內，圖象越靠近軸對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大〔同[考題2]的含義〕當6、求參數(shù)范圍但凡涉及對數(shù)的底含參數(shù)的問題，要注意對對數(shù)的底數(shù)的分析，需要分類討論時，一定要分類討論。二、點擊考點［考題1］計算對數(shù)函數(shù)對應于取、、64、128時的函數(shù)值。［解析］當時，；當時，；當時，；當時，［點評］此題主要考察學生利用對數(shù)運算法則，準確地進展對數(shù)運算的能力，在計算過程中要將算式轉化為公式構造，從而熟練地運用公式。［考題2］如圖是對數(shù)函數(shù)的圖象，值取，則圖象相應的值依次是〔〕A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、［解析］∵當時，圖象上升；，圖象下降，又當時，越大，圖象向右越靠近軸；時，越小，圖象向右越靠近軸，應選A。［點評］這類問題還可這樣求解，過點(0,1)作軸的平行直線〔如圖〕與的交點的橫坐標，即為各對數(shù)底的值，顯然，交點越在左邊，底越小，這種求解方法簡單易記。[考點3]，且1，函數(shù)與的圖象只能是圖中的〔〕［分析］可以從圖象所在的位置及單調性來判別，也可利用函數(shù)的性質識別圖象，特別注意底數(shù)對圖象的影響。解法一：首先，曲線只可能在上半平面，只可能在左半平面上，從而排除A、C。其次，從單調性著眼，與的增減性正好相反，又可排除D。解法二：假設，則曲線下降且過點(0,1)，而曲線上升且過，以上圖象均不符合這些條件.假設時，則曲線上升且過(0,1)，而曲線下降且過，只有B滿足條件。解法三：如果注意到的圖象關于軸的對稱圖象為，又與互為反函數(shù)〔圖象關于直線對稱〕，則可直接選定B。［答案］B［點評］函數(shù)圖象是一個重要的問題，可從定義域、值域、單調性、對稱性及特殊點入手篩選，對常見函數(shù)圖象一定要掌握好。[考點4]，則的取值范圍是。［分析］利用函數(shù)單調性或利用數(shù)形結合求解。［解］由，得當時，，∴；當時，，∴故，或［答案］或［點評］解含有對數(shù)符號的不等式時，必須注意對數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1，然后再利用相應的對數(shù)函數(shù)的單調性進展解答，理解會用以下幾個結論很有必要：〔1〕當時，；〔2〕當時，，［考題5］設，〔1〕求；〔2〕求證：在上為增函數(shù).［解析］〔1〕設，則于是因此〔2〕設，則∵∴即∵，∴，∴即∴在上為增函數(shù)。［點評］問題〔1〕中所采用的換元法求解析式是復合函數(shù)解析式求法中經(jīng)常用到的，復合函數(shù)的單調性問題，要注意討論的單調性，這里，假設條件改為，且，該如何解答？［考題6］求以下函數(shù)的定義域：〔1〕［解析］要使原函數(shù)有意義，需即當時，∴當時，∴∴當時，原函數(shù)定義域為；∴時，原函數(shù)定義域為［點評］函數(shù)有意義的條件，可能有許多個，對每一個條件都不能丟掉，然后求解.［考題7］設函數(shù)〔1〕假設的定義域為R，求的取值范圍；〔2〕假設的值域為R，求的取值范圍。［解析］〔1〕因為的定義域為R，所以對一切恒為正數(shù)，由此可得，且，解得〔2〕因為的值域為R，所以真數(shù)能取到一切正實數(shù)，由此可得，且，解得［點評］此題很多同學容易把〔1〕與〔2〕混為一談，常用求解問題〔1〕的方法去處理問題〔2〕。區(qū)別它們的依據(jù)：對函數(shù)的定義域和值域的理解，以及二次、對數(shù)函數(shù)性質的應用。［考題8］〔1〕的大小順序為〔〕A．B．C．D．〔2〕假設，試比擬的大小.［解析］〔1〕∵，∴選B?！?〕∵，∴∴又，且，∴故有［考題9］〔1〕假設方程的所有解都大于1，求的取值范圍；〔2〕假設，求的取值范圍.［解析］〔1〕原方程化為假設使，則需，∴原方程等價于解得.∴的取值范圍是〔2〕∵∴①當時，有為增函數(shù)，∴，結合，故②當時，有為減函數(shù)，∴，結合，∴∴的取值范圍是［考題10］假設不等式，當時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.［解析］要使不等式在時恒成立，即函數(shù)的圖象在內恒在函數(shù)圖象的上方，而圖象過點.由圖可知，，顯然這里∴函數(shù)遞減，又∴，即∴所求的的取值范圍為［點評］原問題等價于當時，的圖象在的圖象的下方，由于的大小不確定，當時，顯然，因此必為小于1的正數(shù)，當?shù)膱D象通過點時，滿足條件，此時則是大于還是小于才滿足呢？可以畫圖象觀察，請試著畫一畫，這樣可以對數(shù)形結合的方法有更好地掌握。［考題11］*城市人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題：〔1〕寫出該城市人口總數(shù)(萬人)與年份(年)的函數(shù)關系式；〔2〕計算10年以后該城市人口總數(shù)〔準確到0.1萬人〕；〔3〕計算大約多少年以后該城市人口將到達120萬人〔準確到1年〕；〔4〕如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年自然增長率應該控制在多少？［解析］〔1〕1年后該城市人口總數(shù)為；2年后該城市人口總數(shù)為3年后該城市人口總數(shù)為；年后該城市人口總數(shù)為〔2〕10年后該城市人口總數(shù)為：(萬人).〔3〕設年后該城市人口將到達120萬人，即∴(年).〔4〕設年自然增長率為，依題意有，∴∴∴，∴〔用計算器計算〕.∴，即，故年自然增長率應控制在0.9%以內。［點評］從此例可以看出中國的人口增長壓力很大，因此控制人口增長刻不容緩，方案生育的國策不可改變三、夯實雙基1：是上的減函數(shù)，則的取值范圍是A. B.C. D.2：設，函數(shù)，則使的的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、假設，則的大小關系為〔〕A． B．C． D．答案均有可能4、，則〔〕A．B. B.D.5．函數(shù)的圖象是〔〕6．函數(shù)y＝〔－1〕的圖象關于〔〕A．y軸對稱B．*軸對稱C．原點對稱D．直線y＝*對稱7．函數(shù)f〔*〕＝的定義域是〔〕A．〔1，＋∞〕B．〔2，＋∞〕C．〔－∞，2〕D．8．定義域為R的偶函數(shù)f〔*〕在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f〔〕＝0，則不等式f〔log4*〕的解集是_____．9、假設函數(shù)是奇函數(shù)，則10．函數(shù)恒過定點.11．以下四個命題：①；②函數(shù)與是同一函數(shù)；③，則；④，則其中正確命題的序號是.12．求函數(shù)的定義域.13．函數(shù)的圖象過點〔1,3〕，其反函數(shù)的圖象過(2,0)點，求的表達式.14．函數(shù)〔1〕判斷的奇偶性；〔2〕證明：在上是增函數(shù).四、感悟高考1．設，則的值為〔〕A．0 B．1 C．2 D．3［解析］，則應選C。2．函數(shù)的定義域是〔〕A． B．C． D．［解析］由可得，，應選B。3．，則有〔〕A． B．C． D．［解析］∵，∴，同理.∴，即應選D。4．函數(shù)，假設，則等于〔〕A． B．－ C．2 D．－2［解析］本小題主要考察函數(shù)的概念以及函數(shù)的奇偶性，∵，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∴應選B。5．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則〔〕A． B．C． D．［解析］由題意得，則，應選D。6．〔理〕，，則〔〕A． B．C． D．〔文〕，則〔〕A． B． C． D．［解析］〔理〕由，得函數(shù)為減函數(shù)，又由，∴，故應選A.［點評］此題考察了對數(shù)函數(shù)的單調性及其應用.〔文〕由，得函數(shù)為減函數(shù)，又由，∴，故應選D。［點評］此題考察了對數(shù)函數(shù)的單調性及其應用.7．〔理〕設函數(shù)的圖象過點(2,1)，其反函數(shù)的圖象過點(2,8)，則等于〔〕A．3 B．4 C．5 D．6〔文〕設函數(shù)的圖象過點(0,0)，其反函數(shù)的圖象過點(1,2)，則等于〔〕A．3 B．4 C．5 D．6［解析］〔理〕反函數(shù)的圖象過點(2,8)，則原函數(shù)圖象過點(8,2)，又的圖象過點(8,2)，又的圖象過點(2,1).由題意得∴則有，應選B。〔文〕反函數(shù)圖象過點(1,2)，∴原函數(shù)圖象過點(2,1)，∴求得則，應選B。8．函數(shù)〔〕A．是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增B．是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調遞減C．是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調遞減D．是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增［解析］易知是偶函數(shù)，當時，在上是增函數(shù)，所以在時是減函數(shù)。應選B。9．設，函數(shù)的反函數(shù)和的反函數(shù)的圖象關于〔〕A．軸對稱 B．軸對稱 C．對稱 D．原點對稱［解析］的反函數(shù)為，而的反函數(shù)為，因此，它們關于軸對稱。應選B。10．設集合，則等于〔〕A． B．C． D．［解析］由或，由，∴應選A。11．函數(shù)的定義域是〔〕A． B． C． D．［解析］由，得，∴應選D.10．記函數(shù)的反函數(shù)為，則等于〔〕A．2 B．－2 C．3 D．－1［解析］由，得，∴，∴應選B。11．函數(shù)在上的最大值和最小值之和為，則的值為〔〕A． B． C．2 D．4［解析］∵與的單調性一樣，∴函數(shù)在上是單調函數(shù)，當時，是最小值，是最大值，當時，是最大值，是最小值，故，即，化簡得，解得應選B。12．假設函數(shù)的定義域和值域都是，則等于〔〕A． B． C． D．2［解析］∵，∴，又∵，故，且，∴13．函數(shù)與的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則等于〔〕A． B． C． D．［解析］由條件知，解得應選A。14．假設函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉得到，則等于〔〕A． B． C． D．［解析］設為上任一點，把點A繞原點逆時針旋轉，得到，B點必在上，則∵A點滿足，∴代入，整理得應選A。15．設是定義在R上的奇函數(shù)，假設當時，，則。［解析］因為時，，又為奇函數(shù)，所以，設，所以，所以故應填：－116．對于函數(shù)定義域中任意的，有如下結論：①；