高考復(fù)習(xí)資料PAGE1-/NUMPAGES1第四節(jié)隨機事件的概率【回顧知識點】一、必記4個知識點1．隨機事件和確定事件(1)在條件S下，①____________的事件，叫做相對于條件S的必然事件，簡稱必然事件．(2)在條件S下，②____________的事件，叫做相對于條件S的不可能事件，簡稱不可能事件．(3)必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定事件．(4)在條件S下，③________________________的事件，叫做相對于條件S的隨機事件，簡稱隨機事件．2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例④____________為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的⑤________fn(A)穩(wěn)定在某個⑥________上，把這個⑦________記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．3．事件的關(guān)系與運算定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B⑧____事件A(或稱事件A包含于事件B)⑨______(或A?B)并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的eq\o(○,\s\up1(10))______(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)?____________且?______發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然條件，那么稱事件A與事件B互為對立事件4.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：?____________.(2)必然事件的概率P(E)＝?____________.(3)不可能事件的概率P(F)＝?____________.(4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝?____________.②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝?____________.二、必明3個易誤點1．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．2．從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此不相交，事件A的對立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．3．需準(zhǔn)確理解題意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等語句的含義．【小題熱身鍛煉】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．()(2)隨機事件和隨機試驗是一回事．()(3)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．()(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．()(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．()(6)兩互斥事件的概率和為1.()二、教材改編2．某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立事件的是()A．至多一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都沒有中靶3．從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設(shè)事件A＝“抽到紅心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝eq\f(1,4)，則P(“抽到紅花色”)＝________，P(“抽到黑花色”)＝________.三、易錯易混4．甲、乙兩人做出拳(錘子、剪刀、布)游戲，則平局的概率為________；甲贏的概率為________．5．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________．四、走進高考6．[2019·江蘇卷]從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是________．eq\x(考點一)隨機事件關(guān)系的判斷[自主練透型]1．把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對立事件2．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動卡B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡D．至少有一張移動卡3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是對立事件，那么()A．甲是乙的充分不必要條件B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件悟·技法互斥、對立事件的判別方法(1)在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件．(2)兩個互斥事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件.考點二隨機事件的頻率與概率[互動講練型][例1][2020·全國卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．悟·技法計算簡單隨機事件頻率或概率的解題思路(1)計算所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．(2)由頻率公式得所求，由頻率估計概率.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成頻率分布表．近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率．考點三互斥事件與對立事件的概率[互動講練型][例2]某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)．聽課筆記：悟·技法(1)求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來．(2)求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求解．當(dāng)題目涉及“至多”、“至少”時，多考慮間接法.[變式練]——(著眼于舉一反三)2．有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布情況如下表所示，所用時間(天數(shù))10111213通過公路1的頻數(shù)20402020通過公路2的頻數(shù)10404010假設(shè)汽車A只能在約定日期(某月某日)的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)(將頻率視為概率)，為了在各自允許的時間內(nèi)將貨物運至城市乙，汽車A和汽車B選擇的最佳路徑分別為()A．公路1和公路2B．公路2和公路1C．公路2和公路2D．公路1和公路1第四節(jié)隨機事件的概率【回顧知識點】①一定會發(fā)生②一定不會發(fā)生③可能發(fā)生也可能不發(fā)生④fn(A)＝eq\f(nA,n)⑤頻率⑥常數(shù)⑦常數(shù)⑧包含⑨B?A⑩并事件?事件A發(fā)生?事件B?0≤P(A)≤1?1?0?P(A)＋P(B)?1－P(B)【小題熱身鍛煉】1．參考答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×2．題目解析：連續(xù)射擊兩次的結(jié)果有四種：①第一次中靶第二次中靶；②第一次中靶第二次沒中靶；③第一次沒中靶第二次中靶；④第一次沒有中靶第二次沒有中靶，事件“至少一次中靶”包含①②③，所以事件“至少一次中靶”的對立事件是D.參考答案：D3．題目解析：因為A與B不會同時發(fā)生，所以A與B是互斥事件，則P(“抽到紅花色”)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，又事件“抽到黑花色”與“抽到紅花色”是對立事件，則P(“抽到黑花色”)＝1－P(“抽到紅花色”)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).參考答案：eq\f(1,2)eq\f(1,2)4．題目解析：設(shè)平局(用△表示)為事件A，甲贏(用⊙表示)為事件B，乙贏(用※表示)為事件C，容易得到如圖．平局含3個基本事件(圖中的△)，P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，甲贏含3個基本事件(圖中的⊙)，P(B)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).參考答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)5．題目解析：∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.參考答案：0.356．題目解析：從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)共有Ceq\o\al(2,5)＝10種選法，其中選出的2名同學(xué)都是男同學(xué)的選法有Ceq\o\al(2,3)＝3種，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率P＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).參考答案：eq\f(7,10)課堂考點突破考點一1．題目解析：“A，B，C”都是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A、B兩項錯誤；“A，B”可能同時發(fā)生，故“A”與“B”不互斥，C項正確；“B”與“C”既不互斥，也不對立，D項錯誤，故選C.參考答案：C2．題目解析：“至多有一張移動卡”包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件．參考答案：A3．題目解析：兩個事件是對立事件，則它們一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分條件．參考答案：B考點二例1題目解析：(1)甲連勝四場的概率為eq\f(1,16).(2)根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽．比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場的概率為eq\f(1,16)；丙上場后連勝三場的概率為eq\f(1,8).所以需要進行第五場比賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).變式練1．題目解析：(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個．故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率為eq\f(3,10).考點三例2題目解析：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20