高等數(shù)學(xué)（上）總復(fù)習(xí)第一章函數(shù)極限與連續(xù)第五章中值定理的證明技巧第二章導(dǎo)數(shù)與微分第四章定積分與反常積分積微分習(xí)題課安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959第三章不定積分第六章一元微積分的應(yīng)用第七章函數(shù)方程與不等式的證明⒊理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念；⒋掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形；⒌會(huì)建立簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式；⒈理解函數(shù)的概念；⒉了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；第一章基本要求⒍理解極限的概念、掌握極限四則運(yùn)算法則；⒎了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限；⒏了解無窮小、無窮大及無窮小的階，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限；⒐理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念；⒑了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型；⒒了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。⑴函數(shù)的定義1.1、函數(shù)設(shè)有兩個(gè)變量x和y,x的變域?yàn)镈,若對D中每個(gè)x值,按照一定的法則,變量y有一個(gè)確定的值與之對應(yīng),則稱y為x的函數(shù),記作y=f(x).函數(shù)概念的兩要素①定義域≌自變量x的變化范圍(若是解析式,則使運(yùn)算有意義的實(shí)自變量值的集合即定義域)。②對應(yīng)關(guān)系≌給定x的值,求y的方法.解題提示當(dāng)且僅當(dāng)給定的兩個(gè)函數(shù),其定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí),才表示同一函數(shù),否則表示不同的函數(shù).例1解1.1、函數(shù)⑵函數(shù)定義域的求法記住下面簡單函數(shù)的定義域解題提示求復(fù)雜函數(shù)的定義域,就是求解由簡單函數(shù)的定義域所構(gòu)成的不等式組之解集.1.1、函數(shù)例2解例3解自我檢查試題一1.1例4解自我檢查試題二1.11.1、函數(shù)⑶函數(shù)的基本性質(zhì)①奇偶性圖形：偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱,奇函數(shù)則關(guān)于原點(diǎn)對稱.運(yùn)算性質(zhì)：奇函數(shù)代數(shù)和為奇,偶函數(shù)代數(shù)和為偶.奇?zhèn)€奇函數(shù)的積為奇,偶個(gè)同函數(shù)的積為偶.一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇.1.1、函數(shù)例5判別下列函數(shù)的奇偶性

②周期性1.1、函數(shù)設(shè)f(x)在區(qū)間X上有定義,若存在一個(gè)與x無關(guān)的正數(shù)T,使對任一x?X,恒有f(x+T)=f(x),則稱f(x)是以T為周期的函數(shù),把滿足上式最小正數(shù)T稱為f(x)的周期.運(yùn)算性質(zhì)：f(x)的周期為T,

f(ax+b)的周期為T/|a|.f(x),g(x)均以T為周期,

則f(x)±g(x)也以T為周期.f(x),g(x)分別以T1,T2為周期,

則f(x)±g(x)是以T1,T2的最小公倍數(shù)T為周期.例6設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),

證明③有界性1.1、函數(shù)設(shè)f(x)在區(qū)間X上有定義,若$M>0,使對一切x?X,恒有|f(x)|≤M,則稱f(x)在區(qū)間X上有界,若不存在這樣的M>0,則稱f(x)在區(qū)間X上無界.例7例8④單調(diào)性1.1、函數(shù)設(shè)f(x)在區(qū)間X上有定義,例9

設(shè)f(x)在(0,+∞)內(nèi)連續(xù),且f(x)>0.證明函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).證∴F(x)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).1.1、函數(shù)⑷分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對應(yīng)于不同區(qū)間段有著不同的表達(dá)式，則該函數(shù)稱為分段函數(shù)。常見有

②取整函數(shù)：y=[x]表示x

的最大整數(shù)部分①符號函數(shù)③狄利克雷函數(shù)注意:一般而言，分段函數(shù)不是初等函數(shù).1.1、函數(shù)⑸初等函數(shù)①反函數(shù)求反函數(shù)的步驟第一章函數(shù)與極限左極限右極限第一章函數(shù)與極限無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關(guān)系2、無窮小與無窮大第一章函數(shù)與極限定理1在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)第一章函數(shù)與極限定理推論1推論23、極限的性質(zhì)第一章函數(shù)與極限4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第一章函數(shù)與極限5、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)第一章函數(shù)與極限(1)(2)6、兩個(gè)重要極限某過程第一章函數(shù)與極限定理(等價(jià)無窮小替換定理)8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的唯一性第一章函數(shù)與極限左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性

振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類第一章函數(shù)與極限1、連續(xù)的定義第一章函數(shù)與極限定理3、連續(xù)的充要條件2、單側(cè)連續(xù);)(,],()(00處左連續(xù)在點(diǎn)則稱且內(nèi)有定義在若函數(shù)xxfxaxf第一章函數(shù)與極限4、間斷點(diǎn)的定義第一章函數(shù)與極限(2)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)的分類(1)跳躍間斷點(diǎn)第一章函數(shù)與極限定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.第一章函數(shù)與極限推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.第一章函數(shù)與極限自我檢查試題四一(2).分析:第一章函數(shù)與極限例2解解法討論第一章函數(shù)與極限第一章函數(shù)與極限例3證明討論:第一章函數(shù)與極限由零點(diǎn)定理知,綜上,用時(shí)2課時(shí)第一章函數(shù)與極限二(3).分析:第一章函數(shù)與極限二(1).分析:第一章函數(shù)與極限

第二章導(dǎo)數(shù)與微分求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分一、主要內(nèi)容1、導(dǎo)數(shù)的定義定義第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):第二章導(dǎo)數(shù)與微分2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）第二章導(dǎo)數(shù)與微分3、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章導(dǎo)數(shù)與微分(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:第二章導(dǎo)數(shù)與微分(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊對函數(shù)變量求導(dǎo).(6)參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章導(dǎo)數(shù)與微分5、微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))第二章導(dǎo)數(shù)與微分6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系定理7、微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.第二章導(dǎo)數(shù)與微分二、典型例題例1解一第二章導(dǎo)數(shù)與微分解二第二章導(dǎo)數(shù)與微分三(2).分析:第二章導(dǎo)數(shù)與微分例3解第二章導(dǎo)數(shù)與微分例4解第二章導(dǎo)數(shù)與微分

例5解第二章導(dǎo)數(shù)與微分例6解第二章導(dǎo)數(shù)與微分自我檢查試題六三(1).分析:第二章導(dǎo)數(shù)與微分自我檢查試題二二(1).A.連續(xù)且可導(dǎo)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)但不連續(xù)D.不連續(xù)也不可導(dǎo)分析:第二章導(dǎo)數(shù)與微分二(1).分析:第二章導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分二(1).分析:第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容1、羅爾中值定理第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2、拉格朗日中值定理有限增量公式.第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用推論第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4、洛必達(dá)法則定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.注意：洛必達(dá)法則的使用條件.第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5、泰勒中值定理第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

常用函數(shù)的麥克勞林公式第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義(2)函數(shù)的極值及其求法第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(必要條件)定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求極值的步驟:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理1第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方法1:方法2:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(2).A.極大值B.極小值C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)分析第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(2).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用由兩式可得：由式還可以得第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(2).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(4).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一(4).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用自我檢查試題七二(2).分析:如下圖第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用自我檢查試題七二(2).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(5).分析第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用自我檢查試題十二(2).分析第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(5).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(5).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(5)*.第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(5)*.第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容第四章不定積分1、原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．第四章不定積分(2)微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.(3)不定積分的性質(zhì)第四章不定積分3、基本積分表是常數(shù))第四章不定積分第四章不定積分5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積