數(shù)學(xué)物理課件第4頁(yè)共6頁(yè)勒讓德（legendre）多項(xiàng)式及其性質(zhì)勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式是由勒讓德方程的通解推導(dǎo)出來(lái)的，所以我們首先引入勒讓德方程，以及勒讓德方程的冪級(jí)數(shù)解，勒讓德方程的表達(dá)式如下：其中為非負(fù)實(shí)數(shù)（1.1）它的冪級(jí)數(shù)解如下：（1.2）其中：（1.3）（1.4）由達(dá)朗貝爾判別法可知，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，這兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，在（1.3）式和（1.4）式中，與可以任意取值，它們起著任意常數(shù)的作用，顯然，在區(qū)間（－1，1）內(nèi)和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，此外級(jí)數(shù)是發(fā)散的。并且，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取非負(fù)整數(shù)時(shí)，和中有一個(gè)便退化為次多項(xiàng)式，它就是方程（1.1）在閉區(qū)間[-1,1]上的有界解。此時(shí)，適當(dāng)?shù)倪x定這個(gè)多項(xiàng)式的最高次冪系數(shù)，所得的多項(xiàng)式稱(chēng)為階勒讓德多項(xiàng)式或第一類(lèi)勒讓德函數(shù)，記作，下面我們來(lái)推導(dǎo)勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式。當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)退化為次多項(xiàng)式。為求得的表達(dá)式，在中我們通過(guò)來(lái)表示其它各項(xiàng)的系數(shù)。為此，將系數(shù)遞推關(guān)系式改寫(xiě)成下列形式：（1.5）在（1.5）式中取，得：（1.6）習(xí)慣上取為（1.7）于是有：（1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得：（1.9）一般地，我們有（）（1.10）我們將這些系數(shù)帶入（1.3）中，并把此時(shí)的記作，可得：（1.11）這就是當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)勒讓德多項(xiàng)式。當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)退化為次多項(xiàng)式，我們把記作，同理可得：（1.12）（1.22）（1.23）（1.24）現(xiàn)在我們來(lái)證明（1.20）及其它的導(dǎo)數(shù)公式，將母函數(shù)分別對(duì)微分，得到得到下列兩個(gè)恒等式（1.25）（1.26）又從式（1.25）和（1.26）得到（1.27）將（1.17）兩端分別對(duì)微分，得到（1.28）（1.29）然后將它們帶入（1.27），得到于是得到與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式其它的導(dǎo)數(shù)公式這里不在一一證明。將式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到上面級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)都等于零，因此，最終得到這就是遞推公式，由，可以推出，由，可以推出，…..4．勒讓德多項(xiàng)式的正交性：勒讓德多項(xiàng)式在[-1,1]上正交，即當(dāng)時(shí)