..圓第一課時(shí)教學(xué)內(nèi)容1．圓的有關(guān)概念．2．垂徑定理：平分弦〔不是直徑的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其它們的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)了解圓的有關(guān)概念,理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問題．從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程,講授圓的有關(guān)概念．利用操作幾何的方法,理解圓是軸對(duì)稱圖形,過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸．通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理,并輔以邏輯證明加予理解．重難點(diǎn)、關(guān)鍵1．重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用．2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問題〔提問一、兩個(gè)同學(xué)1．舉出生活中的圓三、四個(gè)．2．你能講出形成圓的方法有多少種？老師點(diǎn)評(píng)〔口答：〔1如車輪、杯口、時(shí)針等．〔2圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn),固定一個(gè)長(zhǎng)度,繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓．二、探索新知從以上圓的形成過程,我們可以得出：在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心,線段OA叫做半徑．以點(diǎn)O為圓心的圓,記作"⊙O",讀作"圓O"．學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問題：?jiǎn)栴}1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)〔圓心O的距離有什么規(guī)律？問題2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？老師提問幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié)．〔1圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)〔圓心O的距離都等于定長(zhǎng)〔半徑r；〔2到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．因此,我們可以得到圓的新定義：圓心為O,半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形．同時(shí),我們又把①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,如圖線段AC,AB；②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑,如圖24-1線段AB；③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧,"以A、C為端點(diǎn)的弧記作",讀作"圓弧"或"弧AC"．大于半圓的弧〔如圖所示叫做優(yōu)弧,小于半圓的弧〔如圖所示或叫做劣?。軋A的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓．〔學(xué)生活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問題．1．圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？2．你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進(jìn)行交流．〔老師點(diǎn)評(píng)1．圓是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸是直徑,我能找到無數(shù)多條直徑．3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱軸問題的．因此,我們可以得到：圓是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線．〔學(xué)生活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：如圖,AB是⊙O的一條弦,作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M．〔1如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,其對(duì)稱軸是什么？〔2你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由．〔老師點(diǎn)評(píng)〔1是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是CD．〔2AM=BM,,,即直徑CD平分弦AB,并且平分及．這樣,我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。旅嫖覀冇眠壿嬎季S給它證明一下：已知：直徑CD、弦AB且CD⊥AB垂足為M求證：AM=BM,,.分析：要證AM=BM,只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等．因此,只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可．證明：如圖,連結(jié)OA、OB,則OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱∴當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,與重合,與重合．∴,進(jìn)一步,我們還可以得到結(jié)論：平分弦〔不是直徑的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。脖绢}的證明作為課后練習(xí)例1．如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦〔即圖中,點(diǎn)O是的圓心,其中CD=600m,E為上一點(diǎn),且OE⊥CD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑．分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用,解題過程中使用了列方程的方法,這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．解：如圖,連接OC設(shè)彎路的半徑為R,則OF=〔R-90m∵OE⊥CD∴CF=CD=×600=300〔m根據(jù)勾股定理,得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+〔R-902解得R=545∴這段彎路的半徑為545m．三、鞏固練習(xí)教材P86練習(xí)P88練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形,如圖24-5所示,正常水位下水面寬AB=60m,水面到拱頂距離CD=18m,當(dāng)洪水泛濫時(shí),水面寬MN=32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由．分析：要求當(dāng)洪水到來時(shí),水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施,只要求出DE的長(zhǎng),因此只要求半徑R,然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R．解：不需要采取緊急措施設(shè)OA=R,在Rt△AOC中,AC=30,CD=18R2=302+〔R-182R2=900+R2-36R+324解得R=34〔m連接OM,設(shè)DE=x,在Rt△MOE中,ME=16342=162+〔34-x2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4,x2=64〔不合設(shè)∴DE=4∴不需采取緊急措施．五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納,老師點(diǎn)評(píng)本節(jié)課應(yīng)掌握：1．圓的有關(guān)概念；2．圓是軸對(duì)稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸．3．垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)1．教材P94復(fù)習(xí)鞏固1、2、3．2．車輪為什么是圓的呢？3．垂徑定理推論的證明．4．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．圓<第2課時(shí)>教學(xué)內(nèi)容1．圓心角的概念．2．有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等．3．定理的推論：在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弦相等．在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弧也相等．教學(xué)目標(biāo)了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中,圓心角、弦、弧中有一個(gè)量的兩個(gè)相等就可以推出其它兩個(gè)量的相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)值就相等,及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用．通過復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識(shí),產(chǎn)生圓心角的概念,然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)探索在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等,最后應(yīng)用它解決一些具體問題．重難點(diǎn)、關(guān)鍵1．重點(diǎn)：定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)弦也相等及其兩個(gè)推論和它們的應(yīng)用．2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)們完成下題．已知△OAB,如圖所示,作出繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的圖形．老師點(diǎn)評(píng)：繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),O點(diǎn)就是固定點(diǎn),旋轉(zhuǎn)30°,就是旋轉(zhuǎn)角∠BOB′=30°．二、探索新知如圖所示,∠AOB的頂點(diǎn)在圓心,像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．〔學(xué)生活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)們按下列要求作圖并回答問題：如圖所示的⊙O中,分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′OB′將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A′OB′的位置,你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？=,AB=A′B′理由：∵半徑OA與O′A′重合,且∠AOB=∠A′OB′∴半徑OB與OB′重合∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合,點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合∴與重合,弦AB與弦A′B′重合∴=,AB=A′B′因此,在同一個(gè)圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等．在等圓中,相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等呢？請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在動(dòng)手作一作．〔學(xué)生活動(dòng)老師點(diǎn)評(píng)：如圖1,在⊙O和⊙O′中,分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′得到如圖2,滾動(dòng)一個(gè)圓,使O與O′重合,固定圓心,將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,使得OA與O′A′重合．<1><2>你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？我能發(fā)現(xiàn)：=,AB=A/B/．現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了,這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢──化歸思想,化未知為已知,因此,我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等．同樣,還可以得到：在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弦也相等．在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弧也相等．〔學(xué)生活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說明一下．請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書,老師點(diǎn)評(píng)．例1．如圖,在⊙O中,AB、CD是兩條弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別為EF．〔1如果∠AOB=∠COD,那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？〔2如果OE=OF,那么與的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？∠AOB與∠COD呢？分析：〔1要說明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF,即說明AB=CD,因此,只要運(yùn)用前面所講的定理即可．〔2∵OE=OF,∴在Rt△AOE和Rt△COF中,又有AO=CO是半徑,∴Rt△AOE≌Rt△COF,∴AE=CF,∴AB=CD,又可運(yùn)用上面的定理得到=解：〔1如果∠AOB=∠COD,那么OE=OF理由是：∵∠AOB=∠COD∴AB=CD∵OE⊥AB,OF⊥CD∴AE=AB,CF=CD∴AE=CF又∵OA=OC∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF〔2如果OE=OF,那么AB=CD,=,∠AOB=∠COD理由是：∵OA=OC,OE=OF∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴AE=CF又∵OE⊥AB,OF⊥CD∴AE=AB,CF=CD∴AB=2AE,CD=2CF∴AB=CD∴=,∠AOB=∠COD三、鞏固練習(xí)教材P89練習(xí)1教材P90練習(xí)2．四、應(yīng)用拓展例2．如圖3和圖4,MN是⊙O的直徑,弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P,∠APM=∠CPM．〔1由以上條件,你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么,請(qǐng)說明理由．〔2若交點(diǎn)P在⊙O的外部,上述結(jié)論是否成立？若成立,加以證明；若不成立,請(qǐng)說明理由．<3><4>分析：〔1要說明AB=CD,只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等,只要說明它們的一半相等．上述結(jié)論仍然成立,它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：〔1AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD,垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結(jié)OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD〔2作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP,∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD五、歸納總結(jié)〔學(xué)生歸納,老師點(diǎn)評(píng)本節(jié)課應(yīng)掌握：1．圓心角概念．2．在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都部分相等,及其它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)1．教材P94-95復(fù)習(xí)鞏固4、5、6、7、8．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．圓<第3課時(shí)>教學(xué)內(nèi)容1．圓周角的概念．2．圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弦所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓〔或直徑所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．4．熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用．設(shè)置情景,給出圓周角概念,探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系,運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理,得出推導(dǎo),讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性,最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問題．重難點(diǎn)、關(guān)鍵1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題．2．難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理．3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問題．1．什么叫圓心角？2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？老師點(diǎn)評(píng)：〔1我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．〔2在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等．剛才講的,頂點(diǎn)在圓心上的角,有一組等量的關(guān)系,如果頂點(diǎn)不在圓心上,它在其它的位置上？如在圓周上,是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討,要研究,要解決的問題．二、探索新知問題：如圖所示的⊙O,我們?cè)谏溟T游戲中,設(shè)E、F是球門,設(shè)球員們只能在所在的⊙O其它位置射門,如圖所示的A、B、C點(diǎn)．通過觀察,我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角,它們的頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題．1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？2．同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？〔學(xué)生分組討論提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．老師點(diǎn)評(píng)：1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無數(shù)多個(gè)．2．通過度量,我們可以發(fā)現(xiàn),同弧所對(duì)的圓周角是沒有變化的．3．通過度量,我們可以得出,同弧上的圓周角是圓心角的一半．下面,我們通過邏輯證明來說明"同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒有變化,并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．"〔1設(shè)圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑,如圖所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC〔2如圖,圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè),那么∠ABC=∠AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說明過程．老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC．〔3如圖,圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè),那么∠ABC=∠AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明．老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)OA、OC,連結(jié)BO并延長(zhǎng)交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC現(xiàn)在,我如果在畫一個(gè)任意的圓周角∠AB′C,同樣可證得它等于同弧上圓心角一半,因此,同弧上的圓周角是相等的．從〔1、〔2、〔3,我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．進(jìn)一步,我們還可以得到下面的推導(dǎo)：