材料力學梁的撓度演示文稿目前一頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點材料力學梁的撓度目前二頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點第七章梁的變形目前三頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點§7–1概述§7–2梁的撓曲線近似微分方程§7–3積分法計算梁的位移§7–4疊加法計算梁的位移§7–5梁的剛度校核目錄梁的變形目前四頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點§7－１概述梁的變形研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的：①對梁作剛度校核；②解超靜定梁（為變形幾何條件提供補充方程）。目前五頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點梁的變形目前六頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。與f

同向為正，反之為負。

2.轉角：橫截面繞其中性軸轉動的角度。用表示，順時針轉動為正，反之為負。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：v=f(x)三、轉角與撓曲線的關系：一、度量梁變形的兩個基本位移量小變形PxvCqC1f梁的變形目前七頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點

§7-2

梁的撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。小變形fxM>0fxM<0(1)梁的變形目前八頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD梁的變形

§7-3積分法計算梁的位移目前九頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。②可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。支點位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：梁的變形目前十頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點[例1]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分應用位移邊界條件求積分常數(shù)解：PLxf梁的變形目前十一頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉角xfPL梁的變形目前十二頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分xfPLa[例2]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。梁的變形目前十三頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點應用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxf梁的變形目前十四頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉角PLaxf梁的變形目前十五頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點[例3]試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉角方程，并求C截面撓度和A截面轉角。設梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。

解：1．外力分析：求支座約束反力。研究梁ABC，受力分析如圖，列平衡方程：梁的變形目前十六頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點

2．內力分析：分區(qū)段列出梁的彎矩方程：3．變形分析：AB段：由于積分后得：梁的變形目前十七頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點BC段：由于，積分后得：邊界條件：當連續(xù)光滑條件：代入以上積分公式中，解得：

梁的變形目前十八頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點故撓曲線方程和轉角方程分別為：

由此可知：

梁的變形目前十九頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點§7-4疊加法計算梁的位移一、載荷疊加

多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和。二、結構形式疊加（逐段剛化法）梁的變形目前二十頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點[例4]按疊加原理求A點轉角和C點撓度。解、①載荷分解如圖②由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。qqPP=+AAABBB

Caa梁的變形目前二十一頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點qqPP=+AAABBB

Caa③疊加梁的變形目前二十二頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點[例5]

試用疊加法求圖示梁C截面撓度和轉角。設梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。（已知AB=BC=l/2）(a)(b)

+解：將原圖分解成圖(a)和圖(b)所示情況。

查表，對于圖(a)有：梁的變形目前二十三頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點于是有：對于圖(b)有：故梁C截面撓度為：轉角為：(順時針)說明：對于圖(a)：BC段無內力，因而BC段不變形，BC段為直線。梁的變形目前二十四頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點[例6]

按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加q00.5L0.5LxdxbxfC梁的變形目前二十五頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點[例7]結構形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf梁的變形目前二十六頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點§7-5梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉角；[f/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設計截面尺寸：、設計載荷：(對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構件例外）梁的變形目前二十七頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點

[例8]

圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長a=200mm的正方形，均布載荷集度，彈性模量E1=10GPa，鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2，彈性模量E2=210GPa，試求拉桿的伸長量及梁跨中點D處沿鉛垂方向的位移。解：靜力分析，求出支座A點的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程：梁的變形目前二十八頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點本題既可用積分法，也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法：拉桿BC的伸長為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得：

梁的變形目前二十九頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點邊界條件：當時，；當時，代入上式得故當時，。疊加法：

說明：AB梁不變形，BC桿變形后引起AB梁中點的位移，與BC不變形，AB梁變形后引起AB梁中點的位移疊加。

梁的變形目前三十頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB

[例9]下圖為一空心圓截面梁，內外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[f/L]=0.00001，B點的[]=0.001弧度，試校核此梁的剛度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM梁的變形目前三十一頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點P2BCa=++圖1圖2圖3解：結構變換，查表求簡單載荷變形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAM梁的變形xf目前三十二頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點P2BCa=++圖1圖2圖3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復雜載荷下的變形梁的變形目前三十三頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點校核剛度梁的變形目前三十四頁\總數(shù)三十五頁\編于十五點

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