二、極限的四則運算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則一、無窮小運算法則第五節(jié)極限運算法則一、無窮小運算法則時,有定理1.

有限個無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個無窮小的和.設(shè)當(dāng)時,有當(dāng)時,有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時,為無窮小量.說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.

定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時,有取則當(dāng)時,就有故即是時的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個無窮小的乘積是無窮小.例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.二、極限的四則運算法則則有證:因則有(其中為無窮小)

于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立

.定理3.

若推論:

若且則(P46定理5)利用保號性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示:

令定理4.

若則有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項式試證證:定理5.若(詳見P44)且B≠0,則有定理6.若則有提示:

因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.例3.設(shè)有分式函數(shù)

x=3時分母為0!其中都是多項式,試證:

證:說明:

若不能直接用商的運算法則.例4.

若例5.求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因例6.求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式注:當(dāng)x時通常將分子、分母同除以x的最高次冪.例7.求解:時,分子分子分母同除以則分母原式例8.求解:應(yīng)用上例的結(jié)果，得原式=∞一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理7.

設(shè)且

x滿足時,又則有注

定理7中的條件：不可少.否則，定理7

的結(jié)論不一定成立.原因：反例雖然所以

說明:若定理中則類似可得相當(dāng)于作一個變量代換！定理7.

設(shè)且

x滿足時,又則有例7.求解:

令已知(見P47例3)∴原式

=(見P34例5)原函數(shù)可看作由例8.求解:

方法1則令∴原式方法2內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法a有理分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,

對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”Th1Th2Th3Th4Th5Th7c.復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量b.

無理分式函數(shù)極限求法分子(母)有理化變量代換思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問3.求解法1原式=解法2令則原式=4.試確定常數(shù)a

使解:令則故因此作業(yè)P491

(1),(3),(5),(7),(9),(11),(1