實(shí)驗(yàn)三求代數(shù)方程的近似根(解)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)三、近似求解代數(shù)方程解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一。目前還沒有一般的解析方法來求解非線性方程，但如果在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則可以認(rèn)為求解問題已基本解決，至少可以滿足實(shí)際需要。本實(shí)驗(yàn)主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：對(duì)分法，迭代法和牛頓法。同時(shí)要求大家學(xué)會(huì)如何利用Matlab

來求方程的近似解。相關(guān)概念

如果f(x)

是一次多項(xiàng)式，稱上面的方程為線性方程；否則稱之為非線性方程。

線性方程與非線性方程基本思想對(duì)分法將有根區(qū)間進(jìn)行對(duì)分，判斷出解在某個(gè)分段內(nèi)，然后再對(duì)該段對(duì)分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。

適用范圍求有根區(qū)間內(nèi)的單根或奇重實(shí)根。

數(shù)學(xué)原理：介值定理設(shè)

f(x)

在[a,b]

上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則由介值定理可得，在

(a,b)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使得f()=0。具體步驟對(duì)分法設(shè)方程在區(qū)間[a,b]

內(nèi)連續(xù)，且f(a)f(b)<0，給定精度要求，若有|f(x)|<，則x就是我們所需要的f(x)

在區(qū)間(a,b)

內(nèi)的近似根。......收斂性分析對(duì)分法收斂性設(shè)方程的根為x*(ak,bk

)，又，所以0(k)對(duì)分法總是收斂的但對(duì)分法的收斂速度較慢通常用來試探實(shí)根的分布區(qū)間，

或給出根的一個(gè)較為粗糙的近似。根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個(gè)每次縮小一半的區(qū)間序列

{[ak,bk

]}

，在(ak,bk

)中含有方程的根。迭代法基本思想構(gòu)造

f(x)=0

的一個(gè)等價(jià)方程：從某個(gè)近似根x0

出發(fā)，計(jì)算得到一個(gè)迭代序列k=0,1,2,......

(x)

的不動(dòng)點(diǎn)f(x)=0x=(x)等價(jià)變換f(x)

的零點(diǎn)若收斂，即，假設(shè)(x)

連續(xù)，則收斂性分析迭代法的收斂性即注：若得到的點(diǎn)列發(fā)散，則迭代法失效！定義：迭代法收斂性判斷定理2：如果定理1的條件成立，則有如下估計(jì)如果存在

x*的某個(gè)

鄰域

=(x*-,x*+),

使得對(duì)

x0

開始的迭代

xk+1

=

(xk)都收斂,則稱該迭代法在

x*

附近局部收斂。定理1：設(shè)

x*=(x*)，的某個(gè)鄰域

內(nèi)連續(xù)，且對(duì)

x都有|’(x)|q<1,則對(duì)

x0，由迭代

xk+1

=

(xk)得到的點(diǎn)列都收斂。迭代法收斂性判斷定理3：已知方程

x=(x)，且(1)對(duì)

x[a,b]，有(x)[a,b]；對(duì)

x[a,b]，有|’(x)|q<1；則對(duì)

x0[a,b]

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到的點(diǎn)列都收斂，且q越小，迭代收斂越快’(x*)

越小，迭代收斂越快迭代法收斂性判斷以上所給出的收斂性定理中的條件的驗(yàn)證都比較困難，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用下面不嚴(yán)格的判別方法：當(dāng)有根區(qū)間[a,b]

較小，且對(duì)某一

x0[a,b]，|’(x0)|明顯小于1時(shí)，則我們就認(rèn)為迭代收斂迭代法的加速設(shè)迭代xk+1

=

(xk)

，第k

步和第k+1

步得到的近似根分別為xk

和(xk)，令其中wk

稱為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重。得新迭代xk+1

=

(xk)

加權(quán)系數(shù)wk

的確定：令’(x)=0得松弛迭代法松弛法迭代公式：松弛法具有較好的加速效果，甚至有些不收斂的迭代，加速后也能收斂。缺點(diǎn)：每次迭代需計(jì)算導(dǎo)數(shù)Altken迭代法

Altken迭代法用

差商

近似微商設(shè)x*

是方程的根，則由中值定理可得Altken迭代法

Altken迭代公式k=0,1,2,......Altken法同樣具有較好的加速效果牛頓迭代簽法令：

基本思想：用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法設(shè)非線性方程f(x)=0

,f(x)在x0

處的Taylor展開為牛頓法迭呼代公泊式牛頓醒迭代痕公式k=散0,視1照,墊2,棋.綁..掉.令..牛頓法的解收斂吳速度令牛頓俱法至扇少二證階局絞部收嘆斂當(dāng)f(x*)0時(shí)’(x*)=0(x)即為逮牛頓蛾法的票迭代冠函數(shù)牛頓法迭墨代公廟式牛頓的優(yōu)點(diǎn)牛頓法是吃目前橡求解韻非線奪性方沾程(組)的主稀要方敘法至少筆二階冒局部蝴收斂粱，收偏斂速包度較喘快，細(xì)特別盆是當(dāng)且迭代皺點(diǎn)充炎分靠奸近精抓確解千時(shí)。

牛頓的缺點(diǎn)

對(duì)重根收斂速度較慢（線性收斂）

對(duì)初值的選取很敏感，要求初值相當(dāng)接近真解在實(shí)街際計(jì)脊算中朋，可努以先姑用其項(xiàng)它方著法獲士得真第解的惕一個(gè)棉粗糙決近似蠅，然惡后再永用牛迎頓法別求解洗。Ma戚tl晝ab解方絹程函舒數(shù)ro訪ot馬s(緣瑞p)：多項(xiàng)棵式的所有浙零點(diǎn)，p是多得項(xiàng)式薪系數(shù)竹向量劑。fz理er吸o(f,厚x0)：求f=流0在x0附近互的根堆，f可以越使用in猜li姥ne、字符酒串、或@，但霸不能許是方母程或仗符號(hào)激表達(dá)孫式！so雖lv望e(擋f,室v)：求方如程關(guān)襯于指弟定自襖變量詠的解蔽，f可以燭是用字拼符串擋表示荷的方虜程、符號(hào)脊表達(dá)乓式或符號(hào)叫方程；so落lv落e也可取解方尋程組桿(包陣含非低線性尾)；得不雁到解濱析解蠟時(shí)，饞給出賤數(shù)值殺解。li辱ns覽ol獸ve圣(A居,b)：解線院性方叨程組術(shù)。其他Ma相tl冷ab相關(guān)場(chǎng)函數(shù)g=di良ff稱(f顯,v)：求符悶號(hào)表怕達(dá)式f關(guān)于v的導(dǎo)很數(shù)g=di搖ff蝕(f)：求符套號(hào)表淚達(dá)式f關(guān)于默認(rèn)爺變量的導(dǎo)戲數(shù)g=di賭ff栗(f翼,v洲,n)：求f關(guān)于v的n階導(dǎo)法數(shù)di漠fff是符腦號(hào)表堵達(dá)式豬，也歐可以校是字拖符串默認(rèn)結(jié)變量瞇由fi磚nd發(fā)sy擁m(溝f,夠1)確定>>