課時作業(yè)(九)全概率公式一、選擇題1．設(shè)A，B為兩個大事，P(A)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，那么P(AB)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9)D.eq\f(2,3)答案：B解析：由條件概率的計算公式，可得：P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).2．(2021·重慶高二月考)甲、乙、丙、丁四名同學報名參與假期社區(qū)效勞活動，社區(qū)效勞活動共有關(guān)心老人、環(huán)境監(jiān)測、教育詢問這三個工程，每人限報其中一項，記大事A為“恰有2名同學所報工程中相同〞，大事B為“只有甲同學一人報關(guān)心老人工程〞，那么P(B|A)＝()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案：A解析：大事AB為“4名同學所報工程中恰有2名同學所報工程相同且只有甲同學一人報關(guān)心老人工程〞．P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3)×2×1,34)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(1×C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)×1,34)＝eq\f(2,27)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,27),\f(4,9))＝eq\f(1,6).應(yīng)選A.3．(2021·浙江杭州高二模擬)我國古代典籍?周易?用“卦〞描述萬物的變化．每一“重卦〞由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——〞和陰爻“——〞，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機取一重卦，記大事A＝“取出的重卦中至少有2個陰爻〞，大事B＝“取出的重卦中恰有3個陽爻〞．那么P(B|A)＝()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(20,57)答案：D解析：P(A)＝1－eq\f(1,26)－eq\f(C\o\al(1,6),26)＝eq\f(57,64)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(3,6),26)＝eq\f(20,64)，那么P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(20,64),\f(57,64))＝eq\f(20,57).應(yīng)選D.4．有朋自遠方來，乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4，遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0.那么他遲到的概率為()A．0.65 C．0.145 D．0答案：C解析：設(shè)A1＝他乘火車來，A2＝他乘船來，A3＝他乘汽車來，A4＝他乘飛機來，B＝他遲到．易知A1，A2，A3，A4構(gòu)成一個完備大事組，由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Ai)P(B|Ai)××××0＝0.145.5．(2021·陜西寶雞高三三模)托馬斯·貝葉斯在討論“逆向概率〞的問題中得到了一個公式：P(A|B)＝eq\f(PB|A·PA,PB|A·PA＋PB|Ac·PAc)，這個公式被稱為貝葉斯公式(貝葉斯定理)，其中P(B|A)·P(A)＋P(B|Ac)·P(Ac)稱為B的全概率．這個定理在實際生活中有著重要的應(yīng)用價值．假設(shè)某種疾病在全部人群中的感染率是0.1%，醫(yī)院現(xiàn)有的技術(shù)對于該疾病檢測精確?????率為99%，即患病狀況下，99%的可能性可以檢查出陽性，正常人99%的可能性檢查為正常．假如從人群中隨機抽一個人去檢測，經(jīng)計算檢測結(jié)果為陽性的全概率為0.01098，請你用貝葉斯公式估量在醫(yī)院給出的檢測結(jié)果為陽性的條件下這個人得病的概率為()A．0.1% B．8%C．9% D．99%答案：C解析：記一個人得病為大事A，檢測結(jié)果為陽性為大事B，那么P(A)＝0.1%，P(B|A)＝99%，P(B|A)·P(A)＋P(B|Ac)·P(Ac)＝0.01098，所以P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B)＝eq\f(PB|A·PA,PB|A·PA＋PB|Ac·PAc)＝eq\f(99%×0.1%,0.01098)≈9%，所以在醫(yī)院給出的檢測結(jié)果為陽性的條件下這個人得病的概率為9%，應(yīng)選C.二、填空題6．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，那么這粒種子能成長為幼苗的概率是________．答案：0.72解析：設(shè)“種子發(fā)芽〞為大事A，“種子成長為幼苗〞為大事A∩B，那么P(A)＝0.9，又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72.7．(2021·北京四中高二期中)某人遺忘了號碼的最終一個數(shù)字，因而他隨便撥號．假設(shè)撥過了的號碼不能再重撥，那么撥號不超過2次而接通的概率為________．答案：eq\f(1,5)解析：設(shè)Ai表示第i(i＝1,2，…，10)次撥通，所以第1次撥通的概率為P(A1)＝eq\f(1,10)，第2次撥通的概率為P(eq\x\to(A1)A2)＝eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10)，那么撥號不超過2次而接通的概率為P＝P(A1)＋P(eq\x\to(A1)A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,5).故答案為eq\f(1,5).8．袋中有10個黑球，5個白球．現(xiàn)擲一枚勻稱的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球．假設(shè)取出的球全是白球，那么擲出3點的概率為________．答案：eq\f(22,455)解析：設(shè)B＝{取出的球全是白球}，Ai＝{擲出i點}(i＝1,2，…，6)，那么由貝葉斯公式，得P(A3|B)＝eq\f(PA3PB|A3,\i\su(i＝1,6,P)AiPB|Ai)＝eq\f(\f(1,6)×\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,15)),\i\su(i＝1,5,)\f(1,6)×\f(C\o\al(i,5),C\o\al(i,15)))＝eq\f(22,455).三、解答題9．某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件廢品．但選購員不知有幾件廢品，為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，假如在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品，那么他拒絕購置這一批產(chǎn)品．求選購員拒絕購置這批產(chǎn)品的概率．解：設(shè)Ai＝{被抽查的第i件產(chǎn)品是廢品}，i＝1,2,3,4,5.設(shè)A＝{選購員拒絕購置}，那么A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，從而eq\x\to(A)＝eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4eq\x\to(A)5，由題意，得P(eq\x\to(A)1)＝eq\f(95,100)，P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)＝eq\f(94,99)，P(eq\x\to(A)3|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＝eq\f(93,98)，P(eq\x\to(A)4|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＝eq\f(92,97)，P(eq\x\to(A)5|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4)＝eq\f(91,96).∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4eq\x\to(A)5)＝P(eq\x\to(A)5|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4)P(eq\x\to(A)4|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2e