7.5三角形內(nèi)角和定理第七章平行線的證明第2課時三角形的外角八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第1頁。導入新課復習引入1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,則∠C=

.3.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？48°三角形相鄰兩邊組成的角叫作三角形的內(nèi)角，它們的和是180°.2.如圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第2頁。BDCAO●40°70°？●●●問題：發(fā)現(xiàn)懶洋洋獨自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進到C處，然后再折回到B處截住懶洋洋返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶洋洋，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉多少度角才能直達B處？八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第3頁。利用“三角形的內(nèi)角和為180°”來求∠BCD，你會嗎？思考：像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？猜想它的性質(zhì).這節(jié)課讓我們一起來探討吧.BDCAO●40°70°？●●●由三角形內(nèi)角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第4頁。講授新課三角形的外角的概念一定義如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個外角CBAD八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第5頁。問題1

如圖，延長AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？E在三角形每個頂點處都有兩個外角.∠ACD與∠BCE為對頂角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.問題2

如圖，∠ACD與∠BCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第6頁。ABC畫一畫

畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢?每一個三角形都有6個外角．每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第7頁。三角形的外角應具備的條件：①角的頂點是三角形的頂點；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線.∠ACD是△ABC的一個外角CBAD每一個三角形都有6個外角．總結歸納八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第8頁。FABCDE如圖,∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.練一練八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第9頁。三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角三角形的外角的性質(zhì)二問題1

如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關系？∠BCD與∠ACB互補.八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第10頁。問題2

如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關系？三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結論嗎？八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第11頁。D證明：過C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.驗證結論八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第12頁。如圖，試比較∠2、∠1的大小；如圖，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖圖解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.拓展探究八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第13頁。性質(zhì)1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

性質(zhì)2：三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.

ABCD三角形外角的性質(zhì)：∠B+∠C=∠CAD∠CAD>∠B，∠CAD>∠C歸納總結八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第14頁。練一練：說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°,∠2=140°∠1=18°,∠2=130°八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第15頁。例1如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證:AD∥BC.ACDBE典例精析例題是運用了定理“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”得到了證實.證法一:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和),∠B=∠C(已知),∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì)).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分線的定義).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第16頁。證法二:推理可得:∠DAC=∠C(已證),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代換).∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行).這里是運用了定理“同旁內(nèi)角互補,兩直線平行”得到了證實.ACDBE八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第17頁。例2如圖,P是△ABC內(nèi)一點，連接PB，PC.∠B=∠C.求證:∠BPC＞∠A.證明:如圖，延長BP，交AC于點D.∵∠BPC是△PDC的一個外角(外角定義),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角).∵∠PDC是△ABD的一個外角(外角定義),∴∠PDC>∠A(三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角).∴∠BPC>∠A.（不等式的性質(zhì)）ABCPD還有其他證明方法嗎？八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第18頁。1.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定C2.如圖所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,則∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB練一練八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第19頁。例3如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC

的度數(shù).∵∠BEC是△AEC的一個外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB典例精析八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第20頁。例4如圖，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝150°，

∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．E八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第21頁。解：延長BP交AC于點E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第22頁?！咀兪筋}】

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點撥：添加適當?shù)妮o助線將四邊形問題轉化為三角形問題.八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第23頁。ABCD((20°30°解法一：連接AD并延長于點E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因為∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結論？八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第24頁。ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延長BD交AC于點E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:連接延長CD交AB于點F（解題過程同解法二）.)2F

解題的關鍵是正確的構造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來求解.總結八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第25頁。三角形的外角和三例5如圖，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第26頁。解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第27頁。解法三：過A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，結論：三角形的外角和等于360°.思考

你能總結出三角形的外角和的數(shù)量關系嗎？DEF八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第28頁。當堂練習1.判斷下列命題的對錯.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）（3）三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和.（）（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.（）（5）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角.（）（6）三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角.（）八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第29頁。2.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F

等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第30頁。3.（1）如圖，∠BDC是________

的外角,也是

的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,

∠BCE=20°,試求∠AEC的度數(shù).ABCDE△ADE△ADC解：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE.所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE

=45°+20°+36°=101°.八年級數(shù)學上冊PPT課件《三角形的外角》全文共35頁，當前為第31