22第一講隨機(jī)事件與概率【考試要求】了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運(yùn)算.理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式.理解事件獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法.考點(diǎn)：樣本空間與隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)若試驗(yàn)滿足：（1） 可以在相同的條件下垂復(fù)進(jìn)行：（2） 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3） 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前，不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，則稱該試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，常用字母E或片,心，???表示.樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能發(fā)生的基本結(jié)果組成的集合稱為樣本空間，記為Q.樣本點(diǎn)樣本空間的元素，即E的每一個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，記為刃.隨機(jī)事件樣本空間。的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件，用A.B.C等表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生.特別地，由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件.樣本空間。是自身的子集，在每次試驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生，稱其為必然事件.。是樣本空間。的子集，在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，稱其為不可能事件.考點(diǎn)：事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的運(yùn)算（1）和事件：4B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為A與8的和事件，記為（或A+8）.類似地，稱為〃個(gè)事件■，&,???,&的和事件；稱卩人為可列個(gè)事件1心…的和事件.（2）積事件：A,g同時(shí)發(fā)生的事件稱為A與B的積事件，記為APIB（或AB）.類似地，稱.為〃個(gè)事件A，A，…，凡的積事件；稱為可列個(gè)事件4，&,一的積事件.（3）差事件：A發(fā)生而8不發(fā)生的事件稱為A與B的差事件，記為A—B.事件的關(guān)系（1） 包含：若A發(fā)生必導(dǎo)致8發(fā)生，則稱事件B包含事件A,記為AuB.（2） 相等：若AuB且BuA,則稱A與8相等，記為A=B.（3） 互斥：若48不能同時(shí)發(fā)生，即AB=0,則稱48互斥（或互不相容）.（4） 對(duì)立：若中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A+8=。且AB=0,則稱事件A與B互為逆事件［或?qū)α⑹录?（5）完備事件組：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為。，A，4，??，&為E的一組事件，若滿足APIAj=0（"丿;'丿=L2,???,〃），且UA=Q，則稱A，心…，人為1=1樣本空間。的-個(gè)劃分’或稱為一個(gè)完備事件組.事件的運(yùn)算律（1） 交換律：AU8=BUA,Ar\B=B（｝A.（2） 結(jié)合律：（AJ8）UC=AU（8L）C），（AB）C=A（BC）.（3） 分配律：（AjB）nc=（Anc）u（Bnc）,（A3B）UC=（AUC）n（BUC）.（4） 吸收律：A（^B^AB=A,A\JB=B.（5） 對(duì)偶律（DeMorgan律）：=AQ萬(wàn).

【注】常用事件運(yùn)算的結(jié)論,(1)ABu(1)ABu:u(AJ8)：AuBoA*=A= =AB=0=8uA：A-B=AB=A-ABiA=(A-B)+AB=AB+AB；A+B=(A-B)+B=(B-A)+A.AJBUC=A+AB+AJBC.【例1】設(shè)A,B,C表示三個(gè)事件，用A,8,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件.（1）三個(gè)事件都發(fā)生； （2）三個(gè)事件不都發(fā)生（不同時(shí)發(fā)生）；（3）三個(gè)事件不多于一個(gè)發(fā)生；（4）三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.【例2】設(shè)48為隨機(jī)事件且滿足AB=AB，則（ ）（A）ALJB=0 （B）A\JB=Q.（C）AJB=A （D）A\JB=B#考點(diǎn)：事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件相互獨(dú)立：若事件A和8滿足P（AB）=P（A）P（B）,則稱事件AB相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立.三個(gè)事件相互獨(dú)立：設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，若満足P（A8）=P（A）P（B）則稱事件A.B.C相互獨(dú)立.P（BC）=P（B）P（則稱事件A.B.C相互獨(dú)立.P（AC）=P（A）P（C）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）【注】（了解）〃個(gè)事件的相互獨(dú)立：設(shè)?,、是〃個(gè)事件，如果對(duì)任意的1 V，2V..?<4匕〃，（1<</?）具有等式P（AM???q）=P&）P0）…P（4），則稱n個(gè)事件人|,A,相互獨(dú)立.3.獨(dú)立的性質(zhì)（1）A和B獨(dú)立<=>/和B獨(dú)立<=>A和百獨(dú)立<=>了和百獨(dú)立.（2） 若P（A）=O或P（A）=1,則A與任何事件8相互獨(dú)立.（3） 若事件&4，???，4，％反，…思相互獨(dú)立，則心,心…,4）與…,如相互獨(dú)立.（4） A,B“互斥”與“相互獨(dú)立”沒(méi)有任何蘊(yùn)含關(guān)系.但是當(dāng)P（A）>0,P（B）>0,則“人,3互斥”與相互獨(dú)立”不能同時(shí)發(fā)生.【例1】設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為?，A發(fā)生8不發(fā)生的概率與A不發(fā)生8發(fā)生的概率相等，則P（A）= .【例2】設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，且A與C相互獨(dú)立，B與C相互獨(dú)立，則AUB與C相互獨(dú)立的充分必要條件是（ ）（A）A與B相互獨(dú)立 （B）A與8互不相容（C）AB與C相互獨(dú)立 （D）A5與C互不相容【例3】一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)設(shè)事件A,B,C分別表示投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下，問(wèn)事件是否相互獨(dú)立？考點(diǎn)：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果A和云，且P(A)=p(O<pV1),則稱這一試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn).〃重伯努利試驗(yàn)杳隨機(jī)試驗(yàn)滿足：①每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；②〃次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即每次A發(fā)生的概率P(A)=p(O<p<l)均相同：③每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：A和云，則稱這一試驗(yàn)為〃重伯努利試驗(yàn).【注】在〃?重伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生婦次的概率為C：p*(l-p)i,k=