反比例函數(shù)與幾何圖形結合1.如圖，已知點A(5,0),B(0,5),把一個直角三角尺DEF放在△OAB內，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動，其中/EFD=45°,ED=2,點G為邊FD的中點.(1)求直線AB的解析式；k(2)如圖，當點D與點A重合時，求經過點G的反比例函數(shù)y=-(k手0)的解析式；⑶在三角尺滑動的過程中，經過點G的反比例函數(shù)的圖象能否同時經過點F?如果能，求出此時反比例函數(shù)的解析式；如果不能，請說明理由.備用圖備用圖解：(1)設直線AB的解析式為y=以+b,[5a+b=0把A、B的坐標分別代入可得L<[b=5fa=一1解得L <,[b=5??直線AB的解析式為y=—x+5；(2)VA(5,0),??OA=5,當D與A重合時，則OE=OD—DE=5-2=3,VZEFD=45°,??EF=DE=2,??F(3,2),D(5,0),G為DF的中點，??G(4,1),k點G在y=k圖象上，k=4x1=4, 4??經過點G的反比例函數(shù)的解析式為y=4；x(3)設F(t,—t+5),則D點橫坐標為t+2,代入直線AB的解析式可得y=—(t+2)+5=t+3,?D(t+2,—t+3),G為DF的中點，?G(t+1,—t+4),若反比例函數(shù)圖象同時過G、F點，則可得t(—t+5)=(t+1)(—t+4),解得t=2,此時F點坐標為(2,3),S設經過F、G的反比例函數(shù)解析式為y=X，則5=2x3=6,??經過點G的反比例函數(shù)的圖象能同時經過點F，其函數(shù)解析式為y_6x?m2.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=亍的圖象相交于點A(—2,1),點B(1,n).(1)求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；m ⑵請直接寫出滿足不等式kx+b―-<0的解集；x第2題圖⑶如圖，在平面直角坐標系的第二象限內邊長為1的正方形EFDGm- 、的邊均平行于坐標軸，若點E(―a,a)，當曲線y=x(x<0)與正方形EFDG的邊有交點時，求a的取值范圍.m解：(1)???點4—2,1)在反比例函數(shù)y=工的圖象上，/.m=-2x1=-2, 2???反比例函數(shù)的解析式為y=—-；x2,.;點B(1,n)在反比例函數(shù)y=—；：的圖象上，x???一2=n，即點B的坐標為(1,—2).將點4—2,1)、B(L—2)分別代入y=&+5中得:—2=k+bl=-2k+b—2=k+bl=-2k+b\k=一1，解得Mt二?一次函數(shù)的解析式為y=-x—1；2(2)2(2).—x—1—(--)<0,A-x-K--,x觀察兩函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當一2<x<0或x〉l時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，IY!：.滿足不等式kx+b—<0的解集為一2<x<0或x〉1；JC(3)過點0、￡作直線如解圖所示.丁點E的坐標為(一q,a),直線0E的解析式為y=-x???四邊形EFDG是邊長為1的正方形，且各邊均平行于坐標軸,點D的坐標為(一a+1,a—1),代入直線丁=一%,得：a—1=—(—a+1),，點。在直線上.2，一將y=—x代入y=--(x<0)得：x2_—x=x，即x2=2,解得x=-\也或x=乎(舍去).2;曲線y=—7(x<0)與正方形EFDG的邊有交點，x，一a0一q2$—a+1,解得\f2sa<^^+1.m故當曲線y=m(x<0)與正方形EFDG的邊有交點時，a的取值范圍為\R<aSR+1.k3.如圖，一次函數(shù)y=-x+b與反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象交于點xA(m,3)和B(3,1).(1)填空：一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為 ,⑵點P是線段AB上一點，過點P作PD±x軸于點D，連接0P,若△POD的面積為S，求S的取值范圍.一 , 3解：(1)y=-x+4,y=-；xk【解法提示】將B(3,1)分別代入y=—x+b與y=kx中，解得b=4,k=3,則一次函數(shù)的解析式為y=-x+4,反比例函 3數(shù)的解析式為y=x.3⑵由⑴得3=m,???m=1,則A點坐標為(1,3).設P點坐標為(〃，一a+4)(13aS3),則S=gOD-PD=2a(—a+4)=一1 ,少(a—2)2+2,???當a=2時，S有最大值，此時S=—)x(2—2)2+2=2；由二次函數(shù)的性質得，當a=1或3時，S有最小值，此時, 3S=—2x(1—2)2+2=2,3??.S的取值范圍是2<S<2.k4.如圖，矩形AOCB的頂點B在反比例函數(shù)y=-(k>0,x>0)的圖象x上，且AB=3,BC=8.若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位長度的速度運動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒2個單位長度的速度運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點隨之停止運動，設運動時間為t秒.(1)求反比例函數(shù)的解析式；⑵當t=1時，在y軸上是否存在點D，使△DEF的周長最?。咳舸嬖?，請求出^DEF的周長最小值；若不存在，請說明理由；⑶在雙曲線上是否存在一點M，使以點B、E、F、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.k.解：(1)由題可知點B的坐標為(3,8),且點B在y=-上，:?k=3x8=24,24???反比例函數(shù)的解析式為y=24；x(2)存在,t=1時，E(1,8),F(3,6),則EF=2、R,如解圖，延長EA使A，E=EA，連接DE\EF，則EF=2^3,C△DEF=DE+DF+EF=2V'2+DE'+DF>2.."2+EF=2、R+2、:5,AC =2、”+2%：5,△DEFmin此時點D為E'F與y軸的交點，

第第4題解圖丁E'(—1,8),F(3,6),設直線￡F的解析式為：y=kx+b,—k+b=83k+b=6k=—2卜15,b=T???直線E，F(xiàn)的解析式為：尸一gx+最???此時D(0,卓)，即：y軸上存在點D(0,#),使4DEF的周長最小，且最小值為2-J2+2\,:5⑶存在，若四邊形BEMF為平行四邊形，則有三種可能，已知E(t,8),F(3,8—21),0<t<3.24①BE//FM，此時M在F右側，M(―^,8—21),8—21...3—t=...3—t=248—21—3,即t2—101+12=0,解得t15—3t2=5+\通(舍去).24②BF/EM，此時M在E正上萬，M(t,—),

.24八「 」於八??~~~—8=21,t2+41—12=0,L解得11=2,12=—6（舍去）.③EFBM，易知點M一定不在反比例函數(shù)上，故綜上，t=2或5—\：T3.5.在平面直角坐標系xOy中，點B在x軸上，四邊形OACB為平行k四邊形，且NAOB=60°，反比例函數(shù)y=-(k>0)在第一象限內過點A，且與BC交于點F.(1)若OA=10,求反比例函數(shù)的解析式;⑵若F⑵若F為BC的中點，長及點C的坐標;⑶在(2)的條件下，在x軸上是否存在一點P,使得PF+PA最??？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.解：(1)如解圖①，過點A作AH±OB于H,CA0HBMx第CA0HBMx第5題解圖①ZAOB=60°,OA=10,??AH=OA-sinZAOB=5、R,OH=OA-cosZAOB=5,??點A的坐標為（5,5串），k將點A（5,5、：13）代入y=-,得一k5、：'3=5,角牛得k=25-j3,??反比例函數(shù)的解析式為y=*；x（2）如解圖①，過點F作FM±x軸于點M，設OA=a（a〉0）,ZAOB=60°,3 1??AH=OA-sinZAOB=勺a,OH=OA-cosZAOB=2a,?s△aoh=2ah,oh=2、ea,2a=噂a2,S△AOF=24p,S。AOBC=2S△AOF=48/F為BC的中點，S△OBF=4S。AOBC=125BF=2BC=2OA=1a,ZFBM=ZAOB=60°,3 1???FM=BF-sinZFBM=勺a,BM=BF-cosZFBM=4a,3,,S△FOM=S△OBF+S△BMF=12\''13+32a2，- --k—」、丁點A,F都在y=-的圖象上，???S =S ,△AOH △FOM，即飛成=12\：3+33a2,解得a=8、②，OA=8,R,OH=4,：2,AH=、3OH=、/3x4F=4\6「SAOBC=OB-AH=480即OB4心=48\；3解得OB=6-,!2,AC=OB=60，：.C（10\24、8）；⑶存在.如解圖②，作點F關于x軸的對稱點廣，連接AF，交x軸于點尸，此時PF+PA最小，第5題解圖②由(2)可知，A(4、:24\/6),FM=卑a=2、6BM=；a=2、2OM=6/+2-,；2=8\吃,??點F的坐標為（&”,2夜）,??點F的坐標為（8\,2—2、/6）,

設直線AF的解析式為y=mx+n,將點A（4%;2%⑹，F(xiàn)<8、粒，一2,聲）代入,4j2m+n=4、J6得^ "L&Rm+n=—2、an==10aJ6?，?y=- x+10\：1p6,令y=0,即一誓x+10v16=0,解得x=苧，???在x軸上存在點P,使得PF+PA最小，點P的坐標為（20箸，0）.m6.如圖，反比例函數(shù)y=亍（x>0）與一次函數(shù)y=kx+6\：’3交于點C（2,4、/3）,一次函數(shù)圖象與兩坐標軸分別交于點A和點&動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點0出發(fā)，沿0A以相同的速度向點A運動，運動時間為t秒（0〈136）,以點P為圓心，PA為半徑的。P與AB交于點M，與0A交于點乂連接MN、MQ.第6題圖（1）求m與k的值；⑵當t為何值時，點Q與點N重合；（3）若4MNQ的面積為S，試求S與t的函數(shù)關系式.m解：（1）將C（2,氣3）代入y=-中得，m=8飛5將（2,3\戶）代入y=kx+6tJ3中得，2k+6..f3=4、:,3,(2)由(1)知，k=—\/3,??直線AB的解析式為y=—-,；3x+6-,-3,??A(6,0),B(0,6例，??AB=12.VAM是直徑，AZANM=90°,AZANM=ZAOB.又VZMAN=ZBAO,???△MANsABAO,.AN_MN_AM?*AO=BO=AB-VOQ=AP=t,AM=2AP=2t,04=6,OB=60