第二章1第二 對yf(x自變量變化過程的六種形式xfixfi

xfixfix0+0xfix02觀察函數(shù)sinx當xfi￥時的變化趨勢x3x當x無限增大時，f(x)=sin 無限接近于x定義1f(x)當|x|充分大時有定義A為常數(shù)，e0,$X0當|x|X時，

f(x)-A<則稱A為函數(shù)f(x)當xfi￥時的極限 limf(x)= f(x)fiA(xfi￥xfieXlimfx) e0,$X0,當|x|XfxAxfi4注 1°“e-X”定義limfx) e0,$X0,當|x|XfxAxfilimf(x)= "e>0,$X>0,當x>X時 f(x)-A<xfilimfx) e0,$X0,x-X時，fxAlimlimf(x)=xfilimf(x)=limf(x)=xfi2°幾何解釋 AA

y=fA- yAyf(x的水平漸近線5例1.

lim1=xfi￥證

1-0x

x由x

解得x

1 e

取X1當|x|Xe

1-0<x因此lim1xfi￥

y=x注 y=0為y=x

的水平漸近線6例2.

limsinx=xxfix證 對"e>0, 欲

sinx-

e，xxsinx-xx

￡ <

x>xx取X1,xX時，xxx因此limsinxxxfi

sinx-0<7例3.證明a>1時，limax =證 對"e>0,(e<1)欲

ax-

axexlna<

x<lnln

(要求小于取X

xX時，

limax=8定義2f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義A為常數(shù)，若對e0,$d0,當0<|x-x0|<δ時，有fxA則稱A為f(x)xfix0時的極限 limf(x)= f(x)fiA(xfix0xfilimfx) 當0|x-x0|<δxfi f(x)-A<注 1°f(x)在x0點有無極限與f(x)在x0點有無定義無關(guān)92°ε的任意性，δ3°δ的表達式中含ε，但不能含有x4°幾何解釋limfx) 當0|x-x0|<δxfiA+eAA-

y=f

f(x)-A< d

x0+d例4.

limaxbax0b a0b為常數(shù))xfi證 f(x)-

=(ax+b)-(ax0+

=ax-e0,

f(x)-

e,

x-

a取dea

0

x-

<d時 必f(x)-A lim(ax+xfi

(ax+b)-(ax0+b)<=ax0+注 1°a=1,b=0時，limx=xfi2a=0limbxfi例5.

xfi

x2-=x-證 f(x)-

x2--x-

=x+1- =x-故e0,

取δ=ε 當0<|x-1|<δ時yyx2-yyx2-x-1ox x-1-2<x2-因 =xfi

x-f(x)在x0點有無極限與f(x)在x0例6證明當x00時,

xfi

x證 "e>0,要x

f(x)-

e,

x-x

x-xxx0

￡ x-0故取d0

x0e,x0,(|x-x0|x0可保證x0)x當0|xx0|<δ時，x

<P33例3P34例注

limsinx=sinx0xfilimlogaxlogax0其中x0a0,axfi對某些函數(shù)??，極限值函數(shù)值x0x0例7.證明 limx-2=1xfi2x2- 證 "e>0,要

f(x)-

e,x-x2-x-x2-

x-x+

< x- <(不妨設0|x2|1，即1x3xe, 當0<|x-2|<δ時 x-2-1

<x2- 注：為適當放大找到δ可先假設0|xx0|k 左極限 f(x-)=f( -0)

limf(x)=0xfi0e0$d x?x0-dx0時,有

f(x)-A<右極限 f(x+)=f( +0)

limf(x)=0xfi0e0$d0,x?x0x0d時,有

f(x)-A<x0-

x0+dlimfx) 當0|x-x0|<δxfi f(x)-A<eNlimxn e0$N?`,當nN時有xnanfieXlimfx e0$X0,當xX時有fxAxfilimfx e0$X 當x-X時有fxAlimfx e0$X0當xX有fxAe-dlimf(x)= "e>0,$d>0,當0<x- <d時,有f(x)-A<xfilimfx e0$d0,當x0-dxx0時有fxA0xfi0limfx e0$d0,當x0xx0d時有fxA0xfi0定理.limf(x)= limf(x)=limf(x)= xfi xfi xfi limf(x)= limf(x)=limf(x)=xfi xfi xfi-注：如：設fx)a

x￡1,且limf( 2x+ x> xfia= .解:因為limfx)limaxa，limfxlim2x1)xfi

xfi

xfi

xfilimf(x)=limf(x)=limf(x)=xfi xfi xfi所以a例8x- x<

y=x1f(x)= x+1,

x=x>

y=x-

o- 討論x→0f(x)解:因為limfx)limx1)xfi xfilimf(x)=lim(x+ =xfi xfi f(0-)?f(0+)

所以lim