集合的概念及其表示知識點(diǎn)1:集合中元素的特征知識點(diǎn)歸納集合中的元素具有確定性、互異性、無序性的三大特征：確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對象都能說明它是或不是某個(gè)集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會模棱兩可.例如“著名的科學(xué)家”、“與/接近的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合.互異性：對于一個(gè)給定的集合中的元素是互不相等的，即同一個(gè)元素在同一個(gè)集合中，不能重復(fù)出現(xiàn)，例如：集合是由1、2、2、3、3這五個(gè)數(shù)組成，是錯誤說法.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.無序性：在一個(gè)集合中，元素之間都是平等的，它們都是集合中的一員，無先后次序之說.例如，由1、2、3構(gòu)成的集合與3、2、1構(gòu)成的集合是相同的集合.典例剖析【例1】下列研究的對象能否構(gòu)成集合：美麗的小鳥；方程以-4=0在實(shí)數(shù)范圍中的解；第一章中的所有難題；充分接近于0的全體實(shí)數(shù)；所有的平行四邊形；高一(2)班所有高于1.70米的同學(xué).【變式1】在下列研究的對象能構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)為()世界上最高的山峰高一數(shù)學(xué)課本中的難題中國國旗的顏色充分小的負(fù)數(shù)的全體book中的字母立方等于本身的實(shí)數(shù)不等式2x-8<13的正整數(shù)解A.3 B.4 C.5 D.6知識點(diǎn)2：集合與元素的關(guān)系知識點(diǎn)歸納我們常用大寫拉丁字母A、B、C等表示集合，用小寫字母"、b、C等表示集合的元素.元素與集合之間有兩種關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作aeA；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a任A.典例剖析【例2】已知集合A={+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1eA,求a的值.【變式2】由實(shí)數(shù)x2,1,0,x來構(gòu)成三元素集合，求實(shí)數(shù)x的值.知識點(diǎn)3：常用數(shù)集及記法知識點(diǎn)歸納對一些常用的數(shù)集用特定的字母表示，如下表:常用數(shù)集簡稱記法全體非負(fù)整數(shù)的集合非負(fù)整數(shù)集合(或自然數(shù)集)N所有正整數(shù)的集合正整數(shù)集N*或N+全體整數(shù)的集合整數(shù)集Z全體有理數(shù)的集合有理數(shù)集Q全體實(shí)數(shù)的集合實(shí)數(shù)集R典例剖析【例3】用符號“G”或“W”填空.0N+； (-1)0N+； <3M；若集合A是由小于'?ii的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則2旗A；若集合A是由滿足式子n2+1,neN*的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則5A；【變式3】已知，若XeM，則xeN且一里eZ，求集合M中元素.x+1知識點(diǎn)4：集合的表示----列舉法知識點(diǎn)歸納把的元素一一列舉出來，并用“{}”表示集合的方法叫列舉法.例如：“小于10的所有的自然數(shù)組成的集合”表示為{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}.一般情況下，對有限集，在元素不太多的情況下，宜采用列舉法，它具有直觀明了的特點(diǎn).用列舉法表示集合時(shí)，應(yīng)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開；②集合的元素必須滿足三個(gè)特征；③若元素個(gè)數(shù)較多或無限個(gè)且構(gòu)成集合的這些元素明顯規(guī)律，也可用列舉法，但必須把元素規(guī)律顯示后才能用省略號.如不超過100的正整數(shù)構(gòu)成的集合可表示為{1，2，3...，100}.典例剖析【例4】已知集合A=匕Ix是小于6的正整數(shù)}，B=匕Ix是小于10的質(zhì)數(shù)}，C={xIx是24和36的公約數(shù)}，用列舉法表示下列集合:(1)M={xIxeA，且xec}；

(2)N={xIxgA，且x冬。}；【變式4】設(shè)a,b都是非零實(shí)數(shù)，y=土+b+也可能取值組成的集合是( )IaIIbIIabIA.{3} B.{3,2,1}C.{3,1,-1} D.{3,-1}知識點(diǎn)5：集合的表示----描述法知識點(diǎn)歸納用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在打括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.描述法的語言形式有三種：文字語言、符號語言、圖形語言.對無限集，一般情況用描述法表示.它的優(yōu)點(diǎn)是形式簡潔，能充分體現(xiàn)集合中元素的特征.用描述法表示集合時(shí)，應(yīng)注意：寫清楚集合中元素的代號；說明該集合中元素的性質(zhì)；不能出現(xiàn)未被說明的字母；多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”、“或”；所有描述的內(nèi)容都要寫在括號內(nèi)；用于描述的語句力求簡明，準(zhǔn)確.典例剖析【例5】用描述法表示下列集合：(1)((1)(2)(3)(4){3,9,27,81,...}；'1357'< ...>!_,,,一,一, '[2468J被5除余2的所有整數(shù)的全體構(gòu)成的集合.【變式5】用列舉法表示下列集合:4(2)M={ eZlxeN}.1+x(1)M=((￥,y)lx+y=4(2)M={ eZlxeN}.1+x知識點(diǎn)6：數(shù)集和點(diǎn)集知識點(diǎn)歸納作為高中數(shù)學(xué)來說，我們常見的集合有兩種：數(shù)集：表示形式為{xl滿足條件p}；點(diǎn)集：表示形式為b,y)x滿足條件P,y滿足條件Q}典例剖析【例6】下面三個(gè)集合：(D{xly=x2+1};(2){yly=x2+1};(3){(x,y)ly=x2+1}它們是不是相同的集合？它們各自的含義是什么？Ix+y=3【變式6】可以表示方程組{ 1的解集的是 .Ix-y=t(1){1,2}； (2)W,2)}； (3){(x,y)lx=1或y=2}；,、 一 ，、 x=1 ,、(4){(x,y)lx=1且》=2}； (5){(x,y)l< } (6){(x,y)l(x-1)2+(y一2)2=0}.|y=2【沖擊高考】1.設(shè)集合A={,2,3}，則集合B={x-yIxeA,ye帛中元素的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.3 C.5 D.92.設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對任意a,beP，都有a+b,a-b,ab,"eP（除b數(shù)b。0），則稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集F={+b^\a,beQ}也是數(shù)域.有下列命題：①整數(shù)集是數(shù)域；②數(shù)域必為無限集；③存在無窮多個(gè)數(shù)域.其中正確的命題的序號.（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）【反饋練習(xí)】下列各組對象能確定一個(gè)集合嗎？所有很大的實(shí)數(shù)；好心的人；1,2,2,3,4,5.設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，那么三+-L可能取的值組成集合的元素.IaIIbI由實(shí)數(shù)x,7,|XI,iEt?3所組成的集合，最多含( ),A.2個(gè)元素 B.3個(gè)元素 C.4個(gè)元素 D.5個(gè)元素下列結(jié)論不正確的是()A.0eN B.切冬Q C.0wQ D.-1gZ下列結(jié)論中，不正確的是()A.若aeN，則—awN B.若aeZ，則a2eZC.若aeQ,則IaIeQ D.若aeR，則3aeR用列舉法把下列集合表示出來：9A={xeNI eN};9一x9B={ eNIxeN};9一xC={jIj=—x2+6,xeN,jeN}；D={(x,j)Ij=—x2+6,xeN,jeN}E=(xI—=x,p+q=5,peN,qeN*}.q第二講集合間的基本關(guān)系知識點(diǎn)1:子集和空集知識點(diǎn)歸納子集的概念一般地，對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說集合A包含于集合B，或說集合B包含集合A，記作：A匚B(或BoA).(1)子集的定義用數(shù)學(xué)符號表述為：若xeA,有xeB則A(B.(2)用Venn圖表示AcB.(3)我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作：4. ■- '規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對任何一個(gè)集合A，都有4cA. ......子集的性質(zhì)反身性：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記作AcA.傳遞性：對于集合A、B、C，如果AcB,BcA，那么AcC.說明：(。)我們可類比數(shù)的大小關(guān)系來理解子集的性質(zhì).(b)若AcB，不能理解為子集A是B中的“部分元素”所組成的集合.若A=4，則A中不含任何元素；若A就是B，則A中含有B中的所有元素，但此時(shí)都說集合A是集合B的子集.典例剖析【例1.1】已知集合A=b，y)lx+y=2，x，yeN｝，試寫出A的所有子集.【例1.2】(1)寫出集合b，b｝的所有子集，并指出子集的個(gè)數(shù)；(2)寫出集合打b，c｝的所有子集，并指出子集的個(gè)數(shù).【思考】含有n個(gè)不同元素的集合有個(gè)子集.【變式1】已知集合M滿足S,2｝cMc小2,3,4,5｝求所有滿足條件的集合M.

知識點(diǎn)2：集合相等知識點(diǎn)歸納如果集合A的任何一個(gè)元素，都是集合B的元素.同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B.特別提示：若AcB，同時(shí)A盡B，則A=B.因?yàn)锳cB，所以A的元素都是B的元素；又因?yàn)锽cA，所以B的元素都是A的元素，這就是說，集合A與集合B的元素完全相同，因此A=B.要證明A=B，只需要證明AcB且BcA成立即可.即可設(shè)任意％gA，證明％gB從而得出AcB.又設(shè)任意*gB，證明*gA從而得到BcA，進(jìn)而得到A=B.判斷兩集合是否相等可用列舉法.典例剖析【例2.1】設(shè)集合A=4,a,b},B={,a2,a^，且A=B，求a2014+b2015.【變式2.1】已知集合A=匕,xy,x-y}，B={),!xI,y}，且A=B，求x與y的值.【例2.2】已知集合A=JxIx=a+—,agZ>,B=JxIx="—',bgZ>,C=JxIx=。+',cgZ>1 6JI23JI26J則集合A，B，C滿足的關(guān)系是 .

【變式2.2】設(shè)集合Af =+ z|,TV=〈工Ijt=§+ez；,貝。（ ）A.M=N B.MjN C.MnN D.M與N的關(guān)系不確知識點(diǎn)3：真子集知識點(diǎn)歸納如果集合,但存在元素］G8,且］金A,我們稱集合A是集合3的真子集，記作A^B特別提示：空集是任何非空集合的真子集.子集包含真子集和等集兩種情況.典例剖析【例3.1】已知：A={xI^2—2x—3=0},8={ilox—1=。},若B孚A,試求。的值【例3.2】已知：A={x\l<x<4},B={x\x<a},若A^B求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【變式3］已矢口集合A={x\-l<x<5},B={x\a-\-l<x<2a-l},若BoA,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；是否存在實(shí)數(shù)1使得A^B成立？若存在，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；不存在，說明理由？知識點(diǎn)4：全集與補(bǔ)集知識點(diǎn)歸納(1)全集的概念：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.(2)補(bǔ)集定義的三種語言:文字語言對于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集符號語言—— z~ C/=X|xeU,且x冬A圖形語言?全集與補(bǔ)集概念的理解補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時(shí)也是集合之間的一種運(yùn)算.求集合A的補(bǔ)集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個(gè)概念.若xeU，，則xeA和xeC/二者必居其一，不僅如此，結(jié)合Venn圖及全集與補(bǔ)集的概念，不難得到如下性質(zhì)：Ao(CA)=U,Ac(CA)=4,C(CA)=A.U U UU典例剖析【例4.1】若全集U=｛2,3,a2+2a-3｝，A=也2｝，C°A=｛5｝，求實(shí)數(shù)a和b的值.

【例4.2】設(shè)U=RA={xI-1<x<6},B={乂a衣<x<2a ,若BcC^A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【變式4】已知：A={I2a-1I,2},U={2,3,a2+2a-3}，且C/={5}求實(shí)數(shù)a的值.【沖擊高考