課時(shí)作業(yè)（十七）一元線性回歸模型及其應(yīng)用

一、選擇題

1.（2021?貴州鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣高二月考）已知兩個(gè)變量％,y線性相關(guān)，且

根據(jù)觀測到的數(shù)據(jù)8,%）（，=1,2,…，拉）計(jì)算樣本平均數(shù)得7=4,7

=2.7,則根據(jù)這組觀測數(shù)據(jù)算得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不可能是（）

A,A

A.y=0.5%+0.7B.y=0.8%—0.5

A,A

C.y=0.3%+1.5D.y=x—1.7

答案：D解析：因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程一定經(jīng)過樣本中心（三，?。?，

%=4,y=2.7,

又2.7=0.5X4+0.727=0.8X4—0.527=0.3X4+1.5,2.7W4

-1.7,

所以這組觀測數(shù)據(jù)算得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不可能是￡=%—1.7.

故選D.

2.由變量％與y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)（1,y）,（5,y2）,（7,y3）,（13,

八-

%），（19,券）得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2x+45,則y=（）

A.135B.90

C.67D.63

—1

答案：D解析：％=5義（1+5+7+13+19）=9,

j=2x+45,

.??7=2X9+45=63,故選D.

3.（2021?云南麗江第一高級中學(xué)）對兩個(gè)變量y和％進(jìn)行回歸分

析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（%i，yi）,（%2，＞2），…,（%”，yn）＞則下列說

法中不正確的是（）

A.用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型的

擬合效果越好

B.由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡=和+1必過樣本點(diǎn)的中心

（%，y）

c.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

D.若變量y和％之間的相關(guān)系數(shù)廠=-0.9362,則變量y與％

之間具有線性相關(guān)關(guān)系

答案：A解析：A,用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2的值

越接近1,說明模型的擬合效果越好，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B,由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程楙=源+2必過樣本點(diǎn)的中心

（%,y）,正確.

C,殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確.

D,IH接近1,變量y與％之間具有線性相關(guān)關(guān)系，正確.

所以錯(cuò)誤的為A.

故選A.

4.（2021?黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）某工廠為了對新研發(fā)的

一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到

如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)（x元）456789

銷量。件）908483807568

由表中數(shù)據(jù)，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡=即+106.若在這些樣本點(diǎn)中任

取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為（）

AlB3

C.；D.|

4+5+64-7+8+9

答案：C解析：由已知％=6=6.5,

—90+84+83+80+75+68

y=A=80,

90=2x6.5+106,b=~4,直線方程為Q=-4x+106,

,A

x=4時(shí)，y=90;

,A

%=5時(shí)，y=86;

.A

x=6時(shí)，y=82;

%=7時(shí)，y=78;

.A

x=8時(shí)，y=74;

x=9時(shí)，y=70.

有3個(gè)點(diǎn)在回歸直線右上方，

31

概率為0=1=,

故選C.

5.（2021?內(nèi)蒙古杭錦后旗奮斗中學(xué)高二月考）對具有線性相關(guān)關(guān)

系的變量％,y有一組觀測數(shù)據(jù)（%M）?=1，2,…，8）,其經(jīng)驗(yàn)回歸

方程是￡=￡%+'!，且Xl+%2+%3HH%8=2。1+m+》3H1->8）=6,

則實(shí)數(shù)加勺值是（）

A-3B-4

TDX

c,16口18

答案：A解析：因?yàn)閄I+Q+XSH-----F%8=6,

---Fy8=3,

—3—3

所以％=不y=g,

所以樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為《，I]

代人經(jīng)驗(yàn)回歸方程得

o4o

解得金=;.

故選A.

6.（2021?寧夏海原縣第一中學(xué)高二期末）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出

%與丁銷售額（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表：

X24568

y3040605070

y與％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為$=6.5%+17.5,當(dāng)廣告支出6萬元時(shí)，

隨機(jī)誤差的殘差為（）

A.15B.-5.5

C.16D.—6.5

答案：D解析：由題意結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)測作用可得：

當(dāng)％=6時(shí)，＞=6.5X6+17.5=56.5,

則隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為50-56.5=-6.5.

故選D.

7.（2021?安徽六安一中高二開學(xué)考試）蟋蟀鳴叫可以說是大自然

優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率雙每分鐘鳴叫的次數(shù)）與

氣溫y（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)下

表的觀測數(shù)據(jù)，建立了y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡=0.25%+%,貝IJ當(dāng)蟋

蟀每分鐘鳴叫60次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為（）

雙次數(shù)/分鐘）2030405060

X℃)2527.52932.536

A.33℃B.34℃

C.35℃D.35.5℃

答案：C解析：由題意，得x=40,y=30,

貝IZ:=y-0.257=30-0.25X40=20;

當(dāng)x=60時(shí)，y=35.

故選C.

8.（2021?湖南長沙模擬）（多選題）“雙11”購物節(jié)期間，某產(chǎn)品

在當(dāng)天開啟時(shí)間與成交量統(tǒng)計(jì)后有如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖：

時(shí)間了（小時(shí)）2356

成交量y（百件）78912

y\

12-

10-

8-

6-

4-

2-

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程;=加+1的斜率的最小二乘法公式合=

n一一

E（汨一%）（%-y）

/=1

E（為―x）2

尸1

下列說法正確的有（）

A.開啟時(shí)間與成交量具有正相關(guān)性

B.%—4,y=9.5

C.經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=1.1%+4.2

D.預(yù)測14小時(shí)內(nèi)的成交量為2000件

答案：AD解析：對于A選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖可知，開啟時(shí)間與成

交量具有正相關(guān)性，A對；

2I3I5I6

對于B選項(xiàng)，由表格中的數(shù)據(jù)可知7=------4-------=4,

—7+8+9+12

y=4=9,B錯(cuò);

（一2）2+（-l）2+0+2X3

對于C選項(xiàng)，b=

4+1+1+4

A

a=9-l.lX4=4.6,

所以經(jīng)驗(yàn)方程為9=1.n+4.6,C錯(cuò)；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)％=14時(shí)，￡=1.1X14+4.6=20（百件），D對.

故選AD.

9.（2021?江蘇南通高二開學(xué)考試）（多選題）2020年3月15日，某

市物價(jià)部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5

家商場的售價(jià)％(元)和銷售量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示:

價(jià)格％99.51010.511

銷售量y1110865

按公式計(jì)算，y與％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是Q=-3.2%+1,相關(guān)系數(shù)|r|

=0.986,則下列說法正確的有()

A.變量X,y線性負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)

A

B.Q=40

C.當(dāng)％=8.5時(shí)，y的估計(jì)值為12.8

D.相應(yīng)于點(diǎn)(10.5,6)的殘差約為0.4

答案：ABC解析：對A,由表可知y隨X增大而減少，可認(rèn)為

變量％,y線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)|r|=0.986可知相關(guān)性強(qiáng)，故A

正確.

—1工一1

對B,價(jià)格％=§><(9+9.5+10+10.5+11)=10,銷售量y=g

X(ll+10+8+6+5)=8.

故回歸直線恒過定點(diǎn)(10,8),故8=-3.2X10+［今2=40,故B

正確.

對C,當(dāng)％=8.5時(shí)，5=-3.2X8.5+40=12.8,故C正確.

對D,相應(yīng)于點(diǎn)(10.5,6)的殘差。=6一(-3.2X10.5+40)=—0.4,

故D不正確.

故選ABC.

二'填空題

10.(2021?江西贛州高二期末)下面是兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)：

Xi2345678

yi91625364964

這兩個(gè)變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=-15+小，變量y中缺失

的數(shù)據(jù)是.

答案：4解析：設(shè)變量y中缺失的數(shù)據(jù)為九

則疊="(1+2+3+4+5+6+7+8)=4.5,

—1

y=*(1+^+9+16+25+36+49+64)

=1(m+200),

o

因?yàn)檫@兩個(gè)變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為金=-15+9上

所以］(m+200)=-15+9X4.5,

O

解得m=4.

11.(2021?江蘇南京第二十九中學(xué)高二期中)高二某班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小

組成員最近研究的橢圓的問題數(shù)％與拋物線的問題數(shù)y之間有如下的

對應(yīng)數(shù)據(jù)：

X12345

y2m455

若用最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程是￡=七+品則表中的m是

—1

答案：4解析：％(1+2+3+4+5)=3,

—1....16+加

y=5><(2+m+4+5+5)=-,

回歸直線經(jīng)過樣本中心，

16+1」g

丁仔5-10X3+10,

解得m=4.

故為4.

三'解答題

12.(2021?河南南陽高一期中)下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯

數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：

氣溫x/℃261813104-1

杯數(shù)y/杯202434385064

y杯數(shù)/杯

60-

50-

40-

30-

20-

10--

—.................................氣溫一

-5051525x

(1)將上表中的數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；

(2)試用最小二乘法求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程(精確到0.001)；

(3)如果某天的氣溫是一3℃,請你預(yù)測這天可能會(huì)賣出熱茶多

少杯？

n____

Xxiyi-nXy

參考公式：b=~--------------，a=y-b7.

n一

X2

Z=1

6666

參考數(shù)據(jù)：1＞尸70,?尸230,=1286,力0=1910.

i=\i=\i=\i=l

解：(1)散點(diǎn)圖如圖.

斗杯數(shù)/杯

60-

50-?

40-.

30-*

20-??

10-

氣溫/工

-5O-5~_15~~25x

—7035—230115

(2)%=石=于y=%~二丁，

n___

Xxiyi-nxy35115

,=i1910-6Xv><^

A33

,?b==35~35~

1286-6XTXy

1=1

心一1.648,

2=^^-金義與七57.557.

所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=-1.648尤+57.557.

(3)當(dāng)氣溫為一3℃時(shí)，賣出熱茶的杯數(shù)估計(jì)為

-1.648X(—3)+57.557=62.501=63(杯).

13.(2021?黑龍江齊齊哈爾第八中學(xué)校高二月考)某品牌汽車4s

店對2020年該市前幾個(gè)月的汽車成交量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)-，用y表示2020年

第％月份該店汽車成交量，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：

Xi12345678

1412202022243026

(1)求出y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡=樂+黨，并預(yù)測該店9月份的

成交量.G，餅青確到整數(shù))

(2)該店為增加業(yè)績，決定針對汽車成交客戶開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，若

抽中“一等獎(jiǎng)”獲5千元獎(jiǎng)金；抽中“二等獎(jiǎng)”獲2千元獎(jiǎng)金；抽中

“祝您平安”則沒有獎(jiǎng)金.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得“二等獎(jiǎng)”的概

率為看沒有獲得獎(jiǎng)金的概率為今現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)客戶參與抽獎(jiǎng)活動(dòng),

假設(shè)他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲獎(jiǎng)金總額X(千元)的分布

列及數(shù)學(xué)期望.