數(shù)學(xué)中的整體思想第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三整體思想概述：

整體思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理來解決問題的方法.從整體出發(fā)的處理方法，體現(xiàn)了一種著眼全局、通盤考慮的整體觀念.中學(xué)數(shù)學(xué)中，整體思想的應(yīng)用廣泛.運用整體思想方法的三部曲：（１）從整體出發(fā)，高瞻遠矚地統(tǒng)帥局部；（２）通過對局部的研究，醞釀總體解決的方案；（３）回到整體，實現(xiàn)解決整個問題的總目標.整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、整體運算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運用。第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三知識點中的整體思想第五章數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系第六章整式的加減第九章二元一次方程組第十章整式乘法與因式分解第十一章三角形第十四章分式第十五章軸對稱第十六章勾股定理第十七章實數(shù)第二十二章四邊形第二十五章一次函數(shù)第二十八章一元二次方程第二十九章相似形第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三

整體思想的具體分析第五章數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系1、求含絕對值的式子的值或解含絕對值的方程

例：（１）已知，求的值。分析：應(yīng)把ｘ＋１和ｘ－２分別看做一個整體，由已知條件討論出ｘ＋１和ｘ－２的正負，從而求出原式的值；

（２）解方程｜３ｘ－２｜＝１.

分析：同樣要把３ｘ－２看做一個整體，因為它的絕對值等于１，所以３ｘ－２＝±１，從而可以求出方程的解.

第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三2、求代數(shù)式的值----整體代入法

（1）代數(shù)式+x+3的值為7，則代數(shù)式2+2x－3的值為___________

分析：若用常規(guī)方法求代數(shù)式的值，必須由條件求出x的值，而目前并不能由+x+3=7求出x的值，但可以考慮用整體代入處理，把+x=7－3=4整體代入求值，這樣將十分簡捷。

解：因為+x+3=7，所以+x=4，所以2+2x－3=2（+x）－3=2×4－3=5

第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三（2）若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，則x+y+z=__________

分析：若想由條件求出的值，再代入代數(shù)式計算，則無法求出結(jié)果，若用“整體代入”法嘗試，將會出現(xiàn)柳暗花明又一村的現(xiàn)象。

解：因為x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15所以（x+2y+3z）+（4x+3y+2z）=25所以5x+5y+5z=25所以x+y+z=5第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三（3）如果+x-1=0,那么代數(shù)式+2-7的值。分析：由題可知，若采用一般方法解方程求，目前來說不可能且十分繁瑣，但通過觀察發(fā)現(xiàn)，故可把看作一個整體，由條件式給出的值，爾后整體代入即可．解：由題意，得+x＝１+2-7＝＋＋－７＝ｘ（＋ｘ）＋－7＝ｘ＋－７＝１－７＝－６第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第六章整式的加減

一、整體代入法已知x＝2m＋1,y＝1－2m,計算的值。[思路分析]本題注意到x＋y,x－y的值都很簡單,而原式用(x＋y),(x－y)表示也很容易,用整體代入法.解:∵x＝2m＋1,y＝1－2m.∴x＋y＝2,x－y＝4m.∴原式＝＋(x＋y)(x－y)＝＋2×4m＝16＋8m.

[規(guī)律總結(jié)]把計算式中的某部分看作整體或先作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化,再整體代入,是經(jīng)常使用的一種方法.第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三二、整體轉(zhuǎn)化法計算(3a＋2b－c＋5)(3a－2b＋c＋5)[思路分析]將(3a＋5)看成相同的項,將(2b－c)看成相反的項,問題就轉(zhuǎn)化平方差公式,計算起來就方便了.解:原式＝

[規(guī)律總結(jié)]將整式運算中的相同(或相反)的部分作為整體進行轉(zhuǎn)化,可使問題簡易獲解.第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三三、整體加減法

已知求的值.[思路分析]所給條件式中的兩個未知數(shù),難以求出各自的值后代入求值,因此可通過整體加減的方法求出待求式的值.解:將已知兩式左右兩邊分別相加,兩邊再同乘以2得52.[規(guī)律總結(jié)]對所給條件式難以或無法直接求出各自的值,則可以通過變換條件式,整體求出待求式的值.第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三四、整體合并法

計算4(x＋y)＋3(x＋y)＋2(x－y)－3(x－y).[思路分析]本題按照常規(guī)解法是先去括號,再合并同類項.但這樣做比較麻煩,若把x＋y,x－y各看作一個“整體”先行合并,再去括號,就方便快捷多了.解:原式＝(4＋3)(x＋y)＋(2－3)(x－y)＝7(x＋y)－(x－y)＝7x＋7y－x＋y＝6x＋8y.[規(guī)律總結(jié)]括號內(nèi)所含內(nèi)容相同的多項式運算,可將括號看作一個“整體”先行合并,再去括號,可簡化運算.第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三五、整體去括號

化簡

[思路分析]受一個“－”號影響,應(yīng)變號;受兩個“－”號影響,不變號;[規(guī)律總結(jié)]在含有多重括號的運算式中,括號里的項是否變號,只與該項以及該項所在的各層括號前面的“－”號有關(guān),而與其前面的“＋”號無關(guān).因此只要從外向里逐層確定影響該項的“－”號的個數(shù)就可整體去括號.當(dāng)某項受奇數(shù)個“－”號影響時該項變號,受偶數(shù)個“－”號影響時該項不變號.第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第九章二元一次方程組一、巧用“整體思想”妙解方程組---整體代入或整體加減例1、解方程組：析解：由①得把看成一個整體，代入②得到解得，再代入①得到：從而得到原方程組的解為：第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例2、解方程組：解析：此例若用“正宗”的代入或加減，往往會使解題過程復(fù)雜冗長，運算量大，稍有疏忽便會前功盡棄，若能根據(jù)方程組的具體特點，靈活運用“整體思想”這一方法與技巧，可使問題化繁為簡，迅捷獲解。先把方程②化簡整理得，③注意到方程組的常數(shù)項之間的關(guān)系，將方程①整體代入③，消去常數(shù)2800，得到之間的倍數(shù)關(guān)系，從而很容易求出方程組的解。將方程①整體代入③，消去常數(shù)2800，得到整理代入①消去x得到：=350所以原方程組的解為：=2450=350第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例3、解方程組

解析：此題數(shù)字較大，若按常規(guī)加減，運算量大，費時費功，仔細觀察方程組的未知數(shù)的系數(shù)具有對稱輪換的特征，可采用整體相加減，使系數(shù)絕對值減小，從而可以得到一個同解的簡易方程組，新穎別致，簡捷明快。第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三二、整體思想在應(yīng)用題中的應(yīng)用有甲、乙、丙三種商品，若甲購得3件、乙購得7件、丙購得1件共需315元；若購得甲4件、乙10件、丙1件共需420元，現(xiàn)購得甲、乙、丙各1件，共需多少元？

解：設(shè)購甲、乙、丙1件分別需要x元、y元、z元，由題意得：3x+7y+z=3154x+10y+z=420此題方程個數(shù)少于未知數(shù)，若按常規(guī)思考，則望題興嘆，不可能把x、y、z都出來，但深思慎慮，原來題目要求的只是x+y+z的值，并非要把x、y、z分別求出來，于是對方程組作如下變形①×3-②×2，得到x+y+z=145本例若直接設(shè)未知數(shù)，很難列出等量關(guān)系，故采用間接設(shè)法，它雖改變了解題的角度，但體現(xiàn)了“整體處理”的思想。

第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第十章整式乘法與因式分解一、因式分解要注意整體思想方法的運用分解因式：1、x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)＝x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝(m－x)(m－y)(x－m)＝－(m－y)2、-4(x-y-1).分析:所給的多項式?jīng)]有公因式可提,也不能直接利用公式法分解.觀察其結(jié)構(gòu)特點,可視（x-y)為一個整體，將-4(x-y-1)整理為-4(x-y)+4后能用完全平方公式分解.第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三二、整式乘法中的整體思想已知求的值。

分析：這道題從已知條件出發(fā)都求不出ｘ，ｙ，ｍ的值，但整體利用己知條件就迎刃而解了.由冪的逆運算可知：

第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第十一章三角形1、如圖，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，試說明∠A與∠D之間的關(guān)系.評注：本例應(yīng)用整體思想得到∠A與∠D之間的關(guān)系，主要應(yīng)用三角形的內(nèi)角，三角形內(nèi)角和定理結(jié)合整體思想進行說理.第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三

第十四章分式

整體代入在分式化簡求值中的妙用

1、已知求下列各式的值：

⑴

⑵

第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三2、已知，求

的值．

分析：把看作一個整體，先整理再做。

=第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第十五章軸對稱軸對稱和軸對稱圖形的聯(lián)系體現(xiàn)了整體思想。把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體就是軸對稱圖形。例：觀察下圖中各組圖形，其中成軸對稱的為________（只寫序號）。

第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第十六章勾股定理

利用勾股定理求面積中的整體思想例：如圖，已知Rt△ABC的周長為2+，其中斜邊為2，求這個三角形的面積。

分析：若要直接求出a與b的值，要用二次方程求解較繁。但由聯(lián)想到運用整體思想（將ab視為一個整體），問題便可順利獲解。解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得即又由已知得所以解得所以第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第十七章實數(shù)觀察全局，就是從全局上對已知條件進行觀察分析，綜合考察，從而得出解決問題途徑。例：若實數(shù)滿足則從全局看，式子要有意義，實數(shù)需滿足，解得x=，進一步得到y(tǒng)=2。第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第二十二章四邊形整體思想就是根據(jù)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，把一組圖形視為一個整體去觀察、分析、研究問題的一種方法，運用它往往可以起到化繁為簡的作用。例：如圖，菱形ABCD的面積為8，則陰影部分的面積為。第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第二十五章一次函數(shù)一次函數(shù)中把一些相關(guān)量做為整體來處理的思想。例：已知y與x+1成正比例，如果x=4時，y=2，那么x=3時，y=____．分析：把x+1當(dāng)作整體，設(shè)函數(shù)解析式為y=k(x+1),在代入x、y的值，求k.第