高階線性微分方程常用解法簡介摘要：本文主要介紹高階線性微分方程求解方法，主要的內(nèi)容有高階線性微分方程求解的常用方法如。關(guān)鍵詞：高階線性微分方程求解方法在微分方程的理論中，線性微分方程是非常值得重視的一部分內(nèi)容，這不僅因為線性微分方程的一般理論已被研究的十分清楚，而且線性微分方程是研究非線性微分方程的基礎(chǔ)，它在物理、力學(xué)和工程技術(shù)、自然科學(xué)中也有著廣泛應(yīng)用。下面對高階線性微分方程解法做一些簡單介紹.討論如下n階線性微分方程：^竺+a（t）d1x+?..+a（t）女+a（t）x=f（t）dtn 1dtn-1 n-1dt〃 （1），其中a,（t）（i=1,2,3，…，n）及f（t）都是區(qū)間a<t<b上的連續(xù)函數(shù)，如果f（t）=0，則方程（1）變?yōu)閊-L+a（tJ，〃'x+ +a（t）尖+a（t）x-0 （2），dtn17dtn-1 n-1'，dt 〃'，稱為n階齊次線性微分方程，而稱一般方程（1）為n階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性微分方程，并且把方程（2）叫做對應(yīng)于方程（1）的齊次線性微分方程.歐拉待定指數(shù)函數(shù)法此方法又叫特征根法，用于求常系數(shù)齊次線性微分方程的基本解組。形如L[x]=^nx+a'〃1x+ +a—+ax=0,(3)其中合，a..?&為常數(shù)，稱為ndtn 1dtn-1 n—1dtn 12n階常系數(shù)齊次線性微分方程。dneXt dn-1eXt deXtL[eXt]三——+a— H+a +aeXtF(人)=(Xn+aXn-1+ +aXn-1+a)eXt=F(XF(人)其中F(X)三Xn+aX：L^-+^Xn-1+a=0(4)是人的n次多項式.為特征方程，它的根為特征根.n1.1特征根是單根的情形設(shè)人，人，…,人是特征方程F（X）三冗n+a冗n-1+..?+aX+a=0的n個彼此不1 2 n 1 n-1 n相等的根，則應(yīng)相應(yīng)地方程（3）有如下n個解：eX1t,eX，…,eq.（5）我們指出這n個解在區(qū)間a<t<b上線性無關(guān)，從而組成方程的基本解組.如果%（，=1,2,...,n）均為實數(shù)，則（5）是方程（3）的n個線性無關(guān)的實值解，而方程（3）的通解可表示為x=ceX1t+ceXj+...+ce^,其中c,c，…,c1 2 n 1 2n為任意常數(shù).如果特征方程有復(fù)根，則因方程的系數(shù)是實常數(shù)，復(fù)根將稱對共軛的出現(xiàn).設(shè)%=a+iP是一特征根，則氣=a-iP也是特征根，因而于這對共軛復(fù)根對應(yīng)的，方程（3）有兩個復(fù)值解e（a+琳）t=即t（cosPt+isinPt）,e（a-ip）t=eat（cosPt一isinPt）.對應(yīng)于特征方程的一對共軛復(fù)根人=a±iP，我們可求得方程（3）的兩個實值解eatcosPt,eatsinPt.1.2特征根有重根的情形設(shè)特征方程有k重根人=%,則易知知F（冗）=F'（X）=...=F（k-1）（X）=0,F（k）（X）豐0.i i i 11.2.1先設(shè)X=0,即特征方程有因子Xk，于是a-a廣…二。人廣0,也就是特征根方程的形狀為Xn+aXn-1+???+akXk=0.而對應(yīng)的方程（3）變?yōu)榱?a1必+...+an檻=0,易見它有k個解1,t,12,...tk-1,且線性無關(guān).特征方程的k重零根就對應(yīng)于方程（3）的k個線性無關(guān)解1,t,12,...tk-1.1.2.2當(dāng)k1重根%主0,對應(yīng)于特征方程（4）的匕重根X1，方程（3）有七個解eX1t,teX1t/2-妃，…，tk?.同樣假設(shè)特征方程（4）的其他根XX，…，X的2 3 m重數(shù)依次為kk；k>1，且kk+??+k=n,X=X（當(dāng)i豐j），對應(yīng)23mi 1+2 m ji方程（3）的解有eX2t,teX2t,t2e婦，…,ty-ie婦 ey,tey,t2ey,.."、*”。上述解夠成（3）的基本解組.1.2.3特征方程有復(fù)根X=a+iP，且為k重特征根。則（3）有2k個實解eatcosPt,teatcosPt,12eatcosPt<??,tk-1eatcosPt,eatsinPt,teatsinPt,12eatsinPt，…，tk-etsinPt.要點是把微分方程的求解問題化為代數(shù)方程的求根問題。下面介紹兩個例子.例1.求方程 y”-3y”+9y+13y=0的通解.解：特征方程為人3-3人2+9人+13=0或(人+1)(人2-4人+13)=0由此得人=_1,=2+3i,人=2_3i因此，基本解組為 e-x,e2xcos3x,e2xsin3x通解為y=qe-x+e2x(Ccos3x+Csin3x).例2.求方程 y(4)-4y"+5y"-4y+4y=0 的通解.解：特征方程為M4-4人3+5人2-4人+4=0由于M4—4M3+5M2—4M+4=(M-2)2(M2+1)故特征根是 '12=2,M3=i，M4=-i它們對應(yīng)的實解為：e2x,xe2x,cosx,sinx.所求通解為y=e2x(C+Cx)+Ccosx+Csinx.比較系數(shù)法用于求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.2.1類型1設(shè)f(t)=(btm+btm-1+—+bt+b)eM，其中M及b(i=0,1,…,m)0 1 m-1 m i為實常數(shù)，那么常系數(shù)非齊次線性微分方程有形如~=tk(B0tm+Btm-1+—+B1)eMt的特解，其中k為特征方程F(M)=0的根M的重數(shù)(單根相當(dāng)于k=1；不是特征根時，取k=0)，而B0,B1,—,Bm是待定常數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定.2.1.1如果M=0，則此時f(t)=b0tm+btm-1+—+bt+b?，F(xiàn)在分為兩種情況討論.M=0不是特征根的情形，以~=Btm+Btm-1+ +B代入方程，并比較t的同次幕的系數(shù)，可以唯一的逐個確定B0,B『一,B..M=0是k重特征根的情形，以~=tk(ytm+ytm-1+ y)為特解2.1.2如果人。0，同樣分為兩種情況討論：人不是特征方程的根的情形，有~=(B0tm+Btm-1+...+B)e舄特解；人是特征方程的k重根的情形，有~=tk(B0tm+Btm-1+…+B)e招寺解.例1求方程y〃-y=1ex 的通解.2解易見，對應(yīng)齊次方程的特征方程為人2—1=0特征根是人=±1，對應(yīng)齊次方程的通解為y="+C2e-x由于a=1是特征方程的根，故已知方程有形如y=Axex1的特解.將它代入原方程，得2Aex+Axex—Axex=—ex2從而A=4，故y1=4xex，由此得通解y=Cex+Ce—x+4xex例2求方程y"-5y'=—5x2+2x的通解.解對應(yīng)齊次方程的特征方程為人2-5X=0,人(人一5)=0特征根為人=0,人=5,齊次方程的通解為1 2y=￡+C2e5x由于a=0是單特征根，故已知非齊次方程有形如y=x(Ax2+Bx+C)的特解.將它代入已知方程,并比較x的同次幕系數(shù)，得A=—,B=0,C=03故y1=3x3,最后可得所求通解y=3x3+C+Ce5x2.1類型2設(shè)f(t)=[A(t)cos位+B(t)sinPt]eat其中a,P是常數(shù)A(t),B(t)是帶實系數(shù)的多項式，一個次數(shù)為m,另一個不超過皿則非齊次線性微分方程有形如~=tk[P(t)cosPt+Q(t)sinPt]eat的特解，這里k為特征方程的根a+iP的重數(shù)。而P(t),Q(t)均為待定的帶實系數(shù)的次數(shù)不高于m的t的多項式，可以通過比較系數(shù)的方法來確定.例求方程y"+y'-2y=ex(cosx-7sinx)的通解.解先求解對應(yīng)的齊次方程：y〃-y'-2y=0我們有 人2+人—2=0,人=1,人=—21 2y=Cex+Ce—2x因為數(shù)a±iP=1±i不是特征根，故原方程具有形y=ex(Acosx+Bsinx)的特解.將上式代入原方程，由于y=ex(Acosx+Bsinx)y'=ex[(A+B)cosx+(B—A)sinx]1y'=ex(2Bcosx—2Asinx)2故y"+y'—2y=ex(2Bcosx—2Asinx)+ex[(A+B)cosx+(B-A)sinx=cosx-7sinx=ex(cosx-7sinx)或(3B-A)cosx-(B+3A)sinx=cosx-7sinx比較上述等式兩端的cosx,sinx的系數(shù)，可得-A+3B=1,-3A-B=-7因此，A=2,B=1.故y=ex(2cosx+sinx).所求通解為1y=ex(2cosx+sinx)+Cex+Ce—2x.常數(shù)變易法只要知道對應(yīng)的齊次線性微分方程的基本解組就可以利用常數(shù)變易法求得非齊次線性微分方程的基本解組.例：求非齊次方程y”+y=—-一的通解.已知y1=cosx,七=sinx是對應(yīng)齊次方程的線性無關(guān)解.解：則它的通解為y=Ccosx+Csinx現(xiàn)在求已知方程形如y1=C1(x)cosx+C2(x)sinx的一個特解.由關(guān)系式，C^(x),C^(x)滿足方程組*xmJ〕Ci,)i=_-sinxcosxJ|_C‘(x)J〕0-1或?qū)懗杉兞糠匠探M_cosxJC'(x)cosx+C'(x)sinx=0-C'(x)sinx+C'(x)cosx=——C'(x)=-M,C'(x)=1積分得1 cosx2C(x)=Incosx,C(x)=x故已知方程的通解為y=Ccosx+Csinx+cosxIncosx+xsin