2022-2023學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，進(jìn)而運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，所以.故選：B.2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集結(jié)果分析運(yùn)算.【詳解】若，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.3．若，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，可得，整理得，所?故選：C.4．在底面為平行四邊形的四棱臺(tái)的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四點(diǎn)，則這四點(diǎn)不共面的取法有（

）A．62種 B．64種 C．60種 D．58種【答案】D【分析】根據(jù)題意，先得到八個(gè)頂點(diǎn)任取四個(gè)頂點(diǎn)的總情況數(shù)，然后得到四個(gè)頂點(diǎn)共面的情況數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，從四棱臺(tái)的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四點(diǎn)，總情況為，若四點(diǎn)共面，分兩類：四棱臺(tái)的表面，共6個(gè)；四棱臺(tái)的對(duì)角面，如，共6個(gè)；故四棱臺(tái)的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四點(diǎn)，則四點(diǎn)不共面的取法有.故選：D5．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線夾角的余弦值即可.【詳解】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，且，則，，所以，當(dāng)，夾角余弦值最小為，當(dāng)，夾角余弦值最大為，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故選：C6．已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線方程代入拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后由焦半徑公式結(jié)合基本不等式可得.【詳解】由題可知,所以有，帶入得，整理得，判別式恒成立，設(shè)，則易知，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為.故選：B7．如圖，在三棱柱中，，是棱AB上一點(diǎn)，若平面把三棱柱分成體積比為的兩部分，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先畫出平面與三棱錐的截面，分析清楚兩部分是什么幾何體，由等體積求解即可.【詳解】如圖：延長(zhǎng)與交于，連接交于，則平面與三棱錐的截面是，將三棱錐分成兩部分，三棱臺(tái)，多面體，設(shè)，，，，，設(shè)，則，，則，，解得：，由于所以故選：D.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用，判斷函數(shù)值的大小，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，，，設(shè)，且，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，?故選：B二、多選題9．隨著生活節(jié)奏的加快，人們?cè)絹?lái)越注意養(yǎng)生和鍛煉身體.其中走路是一種簡(jiǎn)單的鍛煉方式，它不僅可以減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能等，甲、乙兩人通過(guò)某軟件記錄了各自在同一周內(nèi)的日步數(shù)（單位：千步），統(tǒng)計(jì)如下表所示：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天甲189.914.54.318.811.114.4乙16149157.313.612.1根據(jù)上述表格，在這一周內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲的日步數(shù)的中位數(shù)大于乙的日步數(shù)的中位數(shù)B．甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C．甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差D．甲的日步數(shù)比乙的日步數(shù)更穩(wěn)定【答案】ABC【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，極差，方差分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】甲的日步數(shù)的中位數(shù)為14.4，乙的日步數(shù)的中位數(shù)13.6,甲的日步數(shù)的中位數(shù)大于乙的日步數(shù)的中位數(shù),A選項(xiàng)正確；甲的日步數(shù)的平均數(shù)為：,乙的日步數(shù)的平均數(shù)為：,甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù),B選項(xiàng)正確；甲的日步數(shù)的極差為14.5，乙的日步數(shù)的極差為8.7，甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差，C選項(xiàng)正確；乙的日步數(shù)比甲的日步數(shù)更穩(wěn)定，甲的日步數(shù)兩極分化嚴(yán)重極差大，在平均數(shù)附近數(shù)據(jù)少，甲的方差比乙的方差大，故D選項(xiàng)錯(cuò)；;故選：ABC.10．函數(shù)在上的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】解方程，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷A；分，，討論，利用二次導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)即可判斷BCD.【詳解】，令，得或，函數(shù)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，顯然為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞增，單調(diào)性結(jié)合奇偶性可知，B選項(xiàng)正確；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)或，記，則因?yàn)榍遥?，所以，單調(diào)遞增又，，所以存在使得當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，可知圖象如選項(xiàng)C，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，可得的圖象如D選項(xiàng)，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD11．已知圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．弦AB的最小值為B．的面積的最大值為C．圓上一定存在3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D．A，B兩點(diǎn)處圓的切線一定相交【答案】BC【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】對(duì)A，由題可知，圓的圓心為,半徑，直線恒過(guò)定點(diǎn),設(shè)圓心到直線的距離為，所以,且當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心，即時(shí)，，所以，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，弦AB最小為，A錯(cuò)誤；對(duì)B，，令，(當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線，不能構(gòu)造三角形)，所以，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大值為，B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋藭r(shí)，圓上恰好存在3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，即直線經(jīng)過(guò)與垂直的半徑的中點(diǎn)時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離為，當(dāng)與不垂直時(shí)，，又因?yàn)?，則將直線垂直于的方向平移個(gè)單位，所得的兩條直線與圓都相交，

則圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，所以圓上一定存在3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，C正確；對(duì)D，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心，即時(shí)，為圓的直徑，A，B兩點(diǎn)處圓的切線平行，D錯(cuò)誤，故選:BC.12．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都存在，，且，滿足，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由題設(shè)得到，已知方程改寫為，求出左側(cè)值域，結(jié)合及在上存在對(duì)應(yīng)兩個(gè)自變量的值域，進(jìn)而判斷（）是否在值域上即可.【詳解】由，，令，則，可得，，令，則，可得，，所以，.由上易知，則，令，而在上遞增，則；由及上述解析式，可知在遞減，對(duì)應(yīng)值域?yàn)?；在遞增，對(duì)應(yīng)值域?yàn)?；要使?duì)任意，都存在，且，滿足，顯然，則即可，當(dāng)，則是的子集，A符合；當(dāng)，則不是的子集，B不符合；當(dāng)，則是的子集，C符合；當(dāng)，則不是的子集，D不符合；故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的取值，恒能保證為關(guān)鍵.三、填空題13．已知平面向量滿足，，.若與，與，與的夾角分別為，，，則________.【答案】【分析】根據(jù)題意可求數(shù)量積，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng).【詳解】由題意可得：，則.故答案為：.14．若數(shù)列滿足對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列.如數(shù)列是，則數(shù)列是.已知對(duì)任意的，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列新定義列舉出對(duì)應(yīng)的元素，加總前8項(xiàng)即可得答案.【詳解】由題設(shè)，前8項(xiàng)依次為，所以，，，所以數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故答案為：15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線左支上一點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作PM的垂線，垂足為點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件易得為角平分線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的垂直平分線，進(jìn)而有為中點(diǎn)，，為中位線即，結(jié)合雙曲線定義即可得結(jié)果.【詳解】由，則，所以，在△中，即為角平分線，由，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，故為的垂直平分線，則，即為中點(diǎn)，且，又為中點(diǎn)，故△中為中位線，故，而，故.故答案為：四、雙空題16．已知曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，，則__________，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是________.【答案】【分析】空1：對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)垂直關(guān)系知，可得，進(jìn)而求的值；空2：寫出切線方程確定縱坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性研究情況范圍即可.【詳解】空1：由，，則，，又，即，故，所以，空2：令，則，，所以，，令得：，，由上結(jié)論及函數(shù)圖象知，在與上兩曲線所成圖形有軸對(duì)稱關(guān)系，只需研究，此時(shí)的范圍即可，令，則，即在上遞增，所以，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由導(dǎo)數(shù)幾何意義知求得為關(guān)鍵，利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性研究情況范圍.五、解答題17．已知數(shù)列，滿足，且，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列定義得，即，再由且求的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證的情況；（2）令，應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，又是公差為1的等差數(shù)列，所以，故，又且，則，故，顯然也滿足，綜上，.（2）令，則，所以，所以.18．在①，②，③中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線中，并解答.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________.(1)求A；(2)若內(nèi)角A的角平分線交BC于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①：根據(jù)余弦定理分析運(yùn)算；對(duì)于②③：根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；（2）根據(jù)面積公式可得，再利用基本不等式可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，整理得，由余弦定理可得，因?yàn)椋?；若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得，則，因?yàn)椋瑒t，則，可得，所以；若選③：因?yàn)?，由正弦定理可得，則，因?yàn)?，則，則可得，所以.（2）由題意可得：，且，則，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以，故的面積的最小值為.19．如圖，在圓柱中，，為圓上一定點(diǎn)，為圓上異于點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn).(1)若，求證：.(2)若為等邊三角形，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線面垂直證線線垂直即可；（2）由二面角的定義，找到二面角的平面角，在三角形中求二面角的余弦值大小即可.【詳解】（1）證明：由圓柱的性質(zhì)得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?（2）過(guò)點(diǎn)作垂足為，過(guò)作于，連接，由已知，所以，，所以，，所以，所以，所以為二面角的平面角，又因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以，在直角三角形中，，，所以，所以，在直角三角形中，，所?20．2023年4月15日是第八個(gè)全民國(guó)家安全教育日.某校為增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家安全意識(shí)，舉行了國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽.比賽規(guī)則如下：①比賽分為五輪，每輪比賽設(shè)有五道題；②每輪答題前需要讀一段安全知識(shí)；③如果答題時(shí)有n道題回答錯(cuò)誤，那么需要被罰分鐘的時(shí)間；④最終用時(shí)為答題時(shí)間、讀安全知識(shí)的時(shí)間和被罰時(shí)間之和，最終用時(shí)最少者獲勝.已知甲、乙兩人參加比賽，甲每輪讀安全知識(shí)的時(shí)間比乙少12秒，甲、乙兩人每道題答對(duì)的概率分別為和，假設(shè)甲、乙兩人的答題用時(shí)相同，且每道題是否答對(duì)互不影響.(1)若在前四輪答題中，甲、乙兩人被罰的時(shí)間相同，求乙勝甲的概率(2)若僅從最終用時(shí)考慮，試問(wèn)甲、乙兩人哪位的水平更高？并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)乙水平更高，理由見解析【分析】（1）由題意，乙勝甲的基本事件有：{甲對(duì)2題，乙全對(duì)}、{甲對(duì)1題，乙最少對(duì)4題}、{甲對(duì)0題，乙最少對(duì)3題}，利用二項(xiàng)分布的概率公式求出對(duì)應(yīng)事件的概率，加總即可得結(jié)果；（2）利用二項(xiàng)分布期望公式分別求出甲乙答錯(cuò)題數(shù)的期望值，進(jìn)而比較甲乙最終用時(shí)的期望大小，即得結(jié)論.【詳解】（1）前四輪答題中甲、乙兩人被罰的時(shí)間相同，而第5輪結(jié)束，甲讀安全知識(shí)的時(shí)間比乙少1分鐘，所以，要使乙勝甲，則第5輪過(guò)程中乙被罰時(shí)間小于甲被罰時(shí)間加1分鐘，則基本事件有：{甲對(duì)2題，乙全對(duì)}、{甲對(duì)1題，乙最少對(duì)4題}、{甲對(duì)0題，乙最少對(duì)3題}，所以，，，，所以乙勝甲的概率為.（2）由題意，甲答錯(cuò)題，則，乙答錯(cuò)題，則，所以，，故甲、乙被罰期望時(shí)間分別為分鐘、分鐘，顯然，故乙最終用時(shí)的期望值小于甲，則乙水平更高.21．已知函數(shù)，.(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）構(gòu)建，分類討論，利用單調(diào)判斷原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析運(yùn)算；（2）由（1）分析可得：，進(jìn)而可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)證明，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）構(gòu)建，原題意等價(jià)于恒成立，可得的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，且，則，可得恒成立，則在上單調(diào)遞減，且，不合題意；當(dāng)時(shí)，且，則有：令，解得；令，解得；可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由（1）取可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，則，可得，即，且，所以，即時(shí)，；構(gòu)建，則，因?yàn)?，則，可得恒成立，則在上單調(diào)遞減，可得，即；所以當(dāng)時(shí)，.22．如圖，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的