線性方程組直接法詳解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)（優(yōu)選）線性方程組直接法當(dāng)前第2頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)解線性方程組是科學(xué)研究和工程計(jì)算中最常遇到的問題，實(shí)際中的很多問題都是將其最終化為線性方程組來求解，如偏微分方程的近似解法。因此討論線性方程組的解法在數(shù)值計(jì)算中占有重要的作用。線性方程組的兩類解法：1、直接法——在沒有舍入誤差下經(jīng)過有限次四則運(yùn)算而得到精確解的方法2、迭代法——通過逐次逼近來得到近似解在實(shí)際中要針對(duì)不同的線性方程組選擇適合的方法來求解當(dāng)前第3頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)一、常見矩陣對(duì)角矩陣—除主對(duì)角線上元素以外，其余元素都為0的方陣

,diag(ai)上（下）三角矩陣—主對(duì)角線一側(cè)元素全為0的方陣三對(duì)角矩陣——除三條平行于（含）主對(duì)角線上元素以外，其余元素都為0的方陣

對(duì)稱矩陣—關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱元素相等的方陣

對(duì)稱正定矩陣—特征值全為正的對(duì)稱陣非奇異矩陣—可逆陣?det(A)不為0正交矩陣—ATA=E埃爾米特矩陣—A=AH(A的共軛轉(zhuǎn)置）當(dāng)前第4頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)二、向量和矩陣的范數(shù)定義1(向量范數(shù))x和y是Rn中的任意向量,向量范數(shù)‖?‖是定義在Rn上的實(shí)值函數(shù),它滿足:(1)‖

x

‖≥0,并且當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),‖

x

‖=0;(2)‖k

x

‖=|k|‖

x

‖,k是一個(gè)實(shí)數(shù);(3)‖

x+y

‖≤‖

x

‖+‖

y

‖常使用的向量范數(shù)有三種,設(shè)x=(x1,x2,…,xn)T

當(dāng)前第5頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)常用的矩陣范數(shù)當(dāng)前第6頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)5.2高斯消去法思想：對(duì)線性方程組AX=b的增廣矩陣通過行變換成對(duì)應(yīng)等價(jià)的上三角矩陣的同解方程組。上述方法也叫順序高斯消去法，即按照方程及未知數(shù)給定排列順序依次消元計(jì)算。當(dāng)前第7頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)（1）消元過程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到第二步：若用…….……當(dāng)前第8頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到其中當(dāng)前第9頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)第n-1步：……（2）回代過程若則高斯消去法解n階線性方程組約含n3/3次乘除運(yùn)算，與克萊姆法則相比計(jì)算量相當(dāng)小。當(dāng)前第10頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)說明：1）可以通過高斯消去法求解.2)系數(shù)矩陣非奇異，總可以通過帶行交換的高斯消去法進(jìn)行求解。當(dāng)前第11頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第12頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)5.3高斯主元消去法——為減少舍入誤差對(duì)解的影響，每次消元前，選擇絕對(duì)值盡可能大的作為約化主元素的消元法。由于選取約化主元素的方法不同，分為完全主元消元法、行主元消元法、列主元消元法（每次選取主對(duì)角線下方列中絕對(duì)值最大的元素作為約化主元，是使用最廣的消元法）當(dāng)前第13頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第14頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)基本思想：通過將系數(shù)陣A分解為下三角陣L與上三角陣U之積，AX=b的求解歸結(jié)為LY=b與UX=Y的求解:先求Y再求X。5.4矩陣三角分解法針對(duì)不同類型的系數(shù)矩陣A，有不同分解法，主要有：1）A為一般稠密矩陣（零元素占很小比例）的杜利特爾LU(Doolittle)分解法；2）A為三對(duì)角陣的追趕法；3）A為對(duì)稱正定陣的平方根法當(dāng)前第15頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)一、矩陣的杜利特爾LU分解法當(dāng)前第16頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)1.矩陣的LU分解步驟和計(jì)算公式前求出的L的k行與U的j列對(duì)應(yīng)乘積之和當(dāng)前第17頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)-4-171-4當(dāng)前第18頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)2.解LY=b的計(jì)算公式L的k行與前求出的y對(duì)應(yīng)乘積之和3.解UX=Y的計(jì)算公式U的k行與前求出的x對(duì)應(yīng)乘積之和LU分解法與高斯消去法計(jì)算量相當(dāng)，也約含n3/3次乘除運(yùn)算，其優(yōu)點(diǎn)在于解相同系數(shù)的方程組方便。當(dāng)前第19頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)-10=18-2*14;-72=20-[3*14-5*(-10)]3=-72/-24;2=[-10+4*3]/1;1=[14-(2*2+3*3)]/1]當(dāng)前第20頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)練習(xí)利用LU分解法求解方程組當(dāng)前第21頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)二、解三對(duì)角方程組的追趕法在數(shù)值求解常微分方程邊值問題、熱傳導(dǎo)方程和建立三次樣條函數(shù)時(shí)，都會(huì)要解三對(duì)角方程組：AX=b并且滿足條件(i)保證方程組不能降階，條件(ii)保證三角分解可做到底。當(dāng)前第22頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)下面討論三角分解比較兩邊得到當(dāng)前第23頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)解三對(duì)角方程組的追趕法當(dāng)前第24頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)說明:

追趕法的運(yùn)算量含5n-4次乘除法，且計(jì)算過程穩(wěn)定，便于存貯.當(dāng)前第25頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-5用追趕法求解三對(duì)角線性方程組AX=b，其中正定對(duì)稱陣的平方根法不作介紹。以上的直接法一般較多的用于求解階數(shù)較低的線性方程組。而對(duì)于大型稀疏矩陣方程組，由于直接法受到計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量的限制常較多地選用迭代法。當(dāng)前第26頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)附：三、正定對(duì)稱陣的平方根法應(yīng)用有限元法解結(jié)構(gòu)力學(xué)問題時(shí)，最后歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組，系數(shù)矩陣往往對(duì)稱正定。平方根法是一種對(duì)稱正定矩陣的三角分解法，廣泛用于求解系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定的線性代數(shù)方程組。設(shè)A為對(duì)稱矩陣,且順序主子式不為零，則當(dāng)前第27頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)若A為對(duì)稱正定矩陣,則當(dāng)前第28頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第29頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)解AX=b的平方根法:…當(dāng)前第30頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)5.5線性方程組誤差分析一、矩陣的條件數(shù)考慮線性方程組AX=b系數(shù)矩陣A和右端b的小擾動(dòng)所產(chǎn)生的相對(duì)誤差.例如

方程組準(zhǔn)確解為常數(shù)項(xiàng)微小變化后準(zhǔn)確解線性方程組除考慮其解的精確程度、穩(wěn)定性、計(jì)算量等之外，還要考慮方程組本身的狀態(tài)（方程組的好壞）以判斷解的可靠性。當(dāng)前第31頁\共有35頁\編于星期二\13點(diǎn)定義

如果矩陣A或常數(shù)項(xiàng)b的微小變化,引起線性方程組AX=b的解的巨大變化,則稱此方程組為病態(tài)方程組，矩陣A稱為病態(tài)矩陣,否則稱方程組為良態(tài)方程組,矩陣A為良態(tài)矩陣.（1）.方程組常數(shù)項(xiàng)b有微小擾動(dòng)時(shí)（2）.方程組系數(shù)陣A有微小擾動(dòng)時(shí)當(dāng)前第32頁\共有35