第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1

平面內(nèi)容要求

1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.2.了解平面的基本性質(zhì)，即公理1，2，3.3.會(huì)進(jìn)行“文字語言”“符號(hào)語言”“圖形語言”之間的轉(zhuǎn)化.4.掌握空間中點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面位置關(guān)系的分類與表示.無限延展自

主

預(yù)

習(xí)1.平面的概念 (1)幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是___________的.(2)平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個(gè)______________，它的銳角通常畫成_______，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的_______，如圖①.②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用_______畫出來.如圖②.(3)平面的表示法圖①的平面可表示為_______，平面ABCD，_________或平面BD.平行四邊形45°2倍虛線平面α平面AC2.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)的概念：如果直線l上的_______都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l.(2)一些文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：文字語言表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)表示文字語言表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)表示點(diǎn)A在直線l上_______點(diǎn)A在直線l外_______點(diǎn)A在平面α內(nèi)_______點(diǎn)A在平面α外_______直線l在平面α內(nèi)_______直線l在平面α外_______直線l，m相交于點(diǎn)Al∩m＝A平面α，β相交于直線lα∩β＝l所有點(diǎn)A∈lA?lA∈αA?αl?αl?α3.平面的基本性質(zhì)及作用公理內(nèi)容圖形符號(hào)作用公理1如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?_______既可判定直線和點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又能說明平面是無限延展的公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，_________一個(gè)平面

A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線共面問題；三是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)兩點(diǎn)l?α有且只有公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條________________

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l一是判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)；二是證明點(diǎn)共線問題的依據(jù)；三是證明線共點(diǎn)問題的依據(jù)過該點(diǎn)的公共直線即

時(shí)

自

測(cè)1.判斷題(1)A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合.()(2)梯形一定是平面圖形.()(3)如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面.()(4)空間中有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上，那么過其中三個(gè)點(diǎn)的平面有四個(gè).()提示(4)當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)共面時(shí)，只有一個(gè)平面；當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)不共面時(shí)，有四個(gè)平面.√√√×2.下列圖形中，不一定是平面圖形的是(

) A.三角形

B.菱形 C.梯形

D.四條邊相等的四邊形解析三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為不共線的三點(diǎn)，因此一定是平面圖形；菱形、梯形分別有兩組、一組對(duì)邊平行，故為平面圖形；四邊相等的四邊形可能為空間四邊形.答案D3.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，直線l在平面α外”，正確的表示是(

) A.A∈l，l?α

B.A∈l，l?α C.A?l，l?α

D.A?l，l?α解析點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面之間的關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系，直線與平面之間的關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系，故選B.答案B4.兩兩平行的三條直線最多可以確定________個(gè)平面.解析如圖此時(shí)確定的平面?zhèn)€數(shù)最多.答案3題型一三種語言的轉(zhuǎn)換【例1】

用符號(hào)語言表示下列語句，并畫出圖形. (1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC； (2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.解(1)符號(hào)語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示如圖①.(2)符號(hào)語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示如圖②.規(guī)律方法(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示.(2)根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.【訓(xùn)練1】

根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.解(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②.(3)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖③.題型二點(diǎn)線共面問題

互動(dòng)探究【例2】

證明：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).[思路探究]探究點(diǎn)一確定平面的基本條件有哪些？提示確定平面的基本條件有4個(gè)：不在同一直線上的三點(diǎn)、兩條相交直線、兩條平行直線、直線及直線外一點(diǎn).探究點(diǎn)二納入法證明點(diǎn)、線共面的思路是什么？提示先由公理2確定一個(gè)平面，再由公理1證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).解已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，且A，B，C三點(diǎn)不共線.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).證明法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).規(guī)律方法在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法：即先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個(gè)平面內(nèi)，然后證明這兩個(gè)平面重合，即證得所有元素在同一個(gè)平面內(nèi).【訓(xùn)練2】

已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個(gè)平面.證明如圖所示.由已知a∥b，所以過a，b有且只有一個(gè)平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過a，b，l有且只有一個(gè)平面.題型三點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問題【例3】

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求證：D，A，Q三點(diǎn)共線.證明∵M(jìn)N∩EF＝Q，∴Q∈直線MN，Q∈直線EF，又∵M(jìn)∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.∴M，N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直線AD，即D，A，Q三點(diǎn)共線.規(guī)律方法點(diǎn)共線與線共點(diǎn)的證明方法：(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).∴四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交，設(shè)兩腰EG，F(xiàn)H的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)P，∵EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，故直線EG，