湖北省咸寧市通城縣第一高級中學2021年高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于（） A． B． 1 C． D． 參考答案：A考點： 簡單空間圖形的三視圖．專題： 計算題；空間位置關系與距離．分析： 根據題意，畫出圖形，結合圖形，求出該正方體的正視圖面積是多少．解答： 根據題意，畫出圖形，如圖所示；該正方體的俯視圖是正方形ABCD，其面積為1，側視圖是矩形BDD1B1，其面積為；∴正視圖是矩形ACC1A1，其面積為S=AA1?AC=1×=．故選：A．點評： 本題考查了空間幾何體的三視圖的應用問題，是基礎題目．2.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，則∠PQR等于（） A．30° B．300或1500 C．1500 D．以上都不對參考答案：B【考點】平行公理． 【專題】規(guī)律型；空間位置關系與距離． 【分析】由題意AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°，由平行公理知，∠PQR與∠ABC相等或互補，答案易得． 【解答】解：由題意知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=30°， 根據空間平行公理知，一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補 所以∠PQR等于30°或150° 故選：B． 【點評】本題考查空間圖形的公理，記憶“在空間中一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補”這一結論，是解題的關鍵，本題是基本概念題，規(guī)律型．3.已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，則A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，0} D．{0，1}參考答案：A【考點】交集及其運算．【專題】集合思想；綜合法；集合．【分析】根據交集的定義求出結果即可．【解答】已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，則A∩B={﹣1，0，1}．故選：A．【點評】本題考查求兩個集合的交集的方法，是一道基礎題．4.下列四組中的函數，表示同一個函數的是（

）A.， B.,C.， D.，參考答案：A【分析】分別判斷兩個函數的定義域和對應法則是否相同即可．【詳解】．的定義域為，，兩個函數的定義域相同，對應法則相同，所以，表示同一個函數．．的定義域為，，兩個函數的定義域相同，對應法則不相同，所以，不能表示同一個函數．．的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不相同，所以，不能表示同一個函數．．的定義域為，的定義域，兩個函數的定義域不相同，對應法則相同，所以，不能表示同一個函數．故選：．【點睛】本題主要考查判斷兩個函數是否為同一函數，判斷的依據主要是判斷兩個函數的定義域和對應法則是否相同即可．5.

若全集，則集合的真子集共有（

）A

個

B

個

C

個

D

個參考答案：C6.若函數，則等于

A．

B．

C．

D．

參考答案：B7.（10分）化簡：參考答案：0

略8.下列函數與y=x有相同圖象的一個函數是（）A．y= B．y=logaax（a＞0且a≠1）C．y=a（a＞0且a≠1） D．y=參考答案：B【考點】判斷兩個函數是否為同一函數．【分析】分別判斷函數的定義域和對應法則是否和y=x相同即可．【解答】解：A．y==|x|，與y=x的對應法則不相同，不是同一函數．B．y=logaax=x，函數的定義域和對應法則與y=x相同，是同一函數，滿足條件．C．y=a=ax與y=x的對應法則不相同，不是同一函數．D．y==x，（x≠0），函數的定義域與y=x不相同，不是同一函數，故選：B【點評】本題主要考查判斷兩個函數是否為同一函數，判斷的依據主要是判斷兩個函數的定義域和對應法則是否一致即可．9.tan600°的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】運用誘導公式化簡求值．【分析】根據正切函數的周期性，把要求的式子化為tan60°，從而得到結果．【解答】解：tan600°=tan（3×180°+60°）=tan60°=，故選B．10.為了求函數的一個零點，某同學利用計算器得到自變量和函數的部分對應值（精確度0.1）如下表所示[KS5UKS5U.KS5U1.251.31251.3751.43751.51.5625－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115則方程的近似解（精確到0.1）可取為（

）

A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3參考答案：C考點：函數零點【名師點睛】(1)確定函數零點所在區(qū)間，可利用零點存在性定理或數形結合法．(2)判斷函數零點個數的方法：①解方程法；②零點存在性定理、結合函數的性質；③數形結合法：轉化為兩個函數圖象的交點個數．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11..設方程的根為，方程的根為，則參考答案：4略12.已知冪函數y=f(x)的圖象過點，則f(9)=

。參考答案：13.我們把解析式相同，值域相同但定義域不同的函數稱為“友好函數”，那么解析式為，值域為的“友好函數”共有_

▲

__個.參考答案：9略14.下列命題中：

①若集合中只有一個元素，則；②已知函數的定義域為，則函數的定義域為；③函數在上是增函數；④方程的實根的個數是2.所有正確命題的序號是

（請將所有正確命題的序號都填上）參考答案：③④.對于①，也符合題意；對于②，的定義域應該是；對于③，畫出的圖象，或利用定義可判定在上是增函數；對于④在同一坐標系中做出的圖象，由圖可知有兩個交點.故方程的實根的個數為2.15.函數y=的單調增區(qū)間為

參考答案：16.已知集合，，則M∩N=

．參考答案：因為集合，，所以，故答案為.

17.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，在三棱柱中，側棱底面,為的中點,.(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.參考答案：（1）連接,設與相交于點,連接.

…………1分∵四邊形是平行四邊形,∴點為的中點.

∵為的中點，∴為△的中位線,∴.

…………4分∵平面,平面,∴平面.

…………6分（2）∵三棱柱，∴側棱，又∵底面，∴側棱，故為三棱錐的高，，

…………8分

…………10分

…………12分19.已知函數，其中e為自然對數的底數．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）寫出函數的單調遞減區(qū)間(無需證明)；（III）若實數滿足，則稱為的二階不動點，求函數的二階不動點的個數．參考答案：（Ⅰ）因為，所以，所以．[（Ⅱ）遞減區(qū)間為，．（III）．當時，由，記，則在上單調遞減，且，，故在上有唯一零點，即函數在上有唯一的二階不動點．當時，由，得到方程的根為，即函數在上有唯一的二階不動點．當時，由，記，則在上單調遞減，且，，故在上有唯一零點，即函數在上有唯一的二階不動點．綜上所述，函數的二階不動點有3個．20.(I)閱讀理解：①

對于任意正實數，只有當時，等號成立．②

結論：在（均為正實數）中，若為定值，則，只有當時，有最小值．(II)結論運用：根據上述內容，回答下列問題：（提示：在答題卡上作答）①

若，只有當__________時，有最小值__________．②

若，只有當__________時，有最小值__________．(III)探索應用：學校要建一個面積為392m2的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路（如圖所示）。問游泳池的長和寬分別為多少米時，共占地面積最??？并求出占地面積的最小值。參考答案：解(II)（1）

1

，2

（2）3，10 (III)設游泳池的長為xm，則游泳池的寬為m,又設占地面積為ym2，依題意，得

整理y=424＋4(x＋)≥424＋224=648

當且僅當x=即x=28時取“=”.此時=14所以游泳池的長為28m，寬14m時，占地面積最小，占地面積的最小值是648m2。略21.數列{an}的前n項和為Sn，，且成等差數列．(1)求的值；(2)證明為等比數列，并求數列{an}的通項公式；(3)設，若對任意的，不等式恒成立，試求實數的取值范圍．參考答案：(1);(2)見解析;(3)[1,+∞).【分析】，，又成等差數列，解得，當時，得到，代入化簡，即可證得結果由得，代入化簡得，討論的取值并求出結果【詳解】（1）在中令，得即，①

又

②則由①②解得.

（2）當時，由，得到則

又，則是以為首項，為公比的等比數列，，即.（3）當恒成立時，即（）恒成立設（），當時，恒成立，則滿足條件；當時，由二次函數性質知不恒成立；當時，由于對稱軸

，則在上單調遞減，恒成立，則滿足條件，綜上所述，實數λ的取值范圍是.【點睛】本題考查了數列的綜合題目，在求通項時可以采用的方法來求解，在求數列不等式時將其轉化為含有參量的一元二次不等式問題，然后進行分類討論求出結果。22.如圖，菱形的邊長為6，，，將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，． （1）求證：．（2）求證：．（3）求三棱錐的體積．參考答案：（）證明見解析;（）證明見解析;（）．分析：（1）由題