中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示參賽作品課題名稱：《距離的計(jì)算》教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)者姓名：欒功設(shè)計(jì)者單位：廣西自治區(qū)南寧市第三中學(xué)聯(lián)系電話箱：115472875@《距離的計(jì)算》教學(xué)設(shè)計(jì)欒功（廣西自治區(qū)南寧市第三中學(xué)）一．教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修2-1）》（北師大版）第2章“空間向量與立體幾何”第6節(jié)“距離的計(jì)算”.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)空間向量運(yùn)算的幾何表示空間向量運(yùn)算的幾何表示（如平行四邊形法則）空間向量的定義及其運(yùn)算空間向量的定義及其運(yùn)算用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面等元素建立空間圖形與空間向量的聯(lián)系利用空間向量的運(yùn)算解決立體幾何中的問題空間向量的定義及其運(yùn)算用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面等元素建立空間圖形與空間向量的聯(lián)系利用空間向量的運(yùn)算解決立體幾何中的問題空間向量的定義及其運(yùn)空間向量的定義及其運(yùn)算用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面等元素建立空間圖形與空間向量的聯(lián)系利用空間向量的運(yùn)算解決立體幾何中的問題空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（加減法、數(shù)乘、數(shù)量積）向量是既有大小又有方向的量，既能像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算本身又是一個(gè)“圖形”，所以它可以作為溝通代數(shù)和幾何的橋梁在很多數(shù)學(xué)問題的解決中有著重要的應(yīng)用.本章要學(xué)習(xí)的空間向量將為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供一個(gè)十分有效的工具.本小節(jié)的主要內(nèi)容可分為兩部分，一是點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線間的距離；二是點(diǎn)到平面的距離與兩個(gè)平行平面之間的距離.空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角，本課作為章節(jié)的結(jié)束課，是學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量的運(yùn)算和空間向量基本定理，經(jīng)歷了用向量討論平行和垂直，學(xué)習(xí)了用向量解決立體幾何中的夾角問題后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用空間向量解決距離問題，教學(xué)過程中應(yīng)充分讓學(xué)生自主探索，得出相應(yīng)的結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的解題思想，使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).教學(xué)目標(biāo)設(shè)置根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》總體設(shè)計(jì)思路，結(jié)合本章內(nèi)容的教學(xué)構(gòu)思和學(xué)情，制定教學(xué)目標(biāo)如下：通過小組合作、自主探究、交流分享，歸納得出：空間中點(diǎn)到直線的距離、直線到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、平行平面之間的距離的向量表示，與傳統(tǒng)的幾何法求距離時(shí)的一題一解相比較，體會(huì)距離問題的通性通法.經(jīng)歷例1、2的分析、求解過程，學(xué)生能初步體驗(yàn)空間向量在解決立體幾何距離問題中的重要價(jià)值，能基本掌握用向量運(yùn)算處理空間中距離問題的一般程序.3.在解決具體問題的過程中，學(xué)生能強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等）的魅力，進(jìn)而培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).三.學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在平面向量的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到平面向量的數(shù)量積在判定位置關(guān)系（垂直）、角與距離的計(jì)算中的應(yīng)用價(jià)值，這為研究空間位置關(guān)系及相關(guān)度量提供了類比前提.即在平面向量的夾角和向量長(zhǎng)度概念的基礎(chǔ)上，類比引入空間向量的夾角、長(zhǎng)度的概念和表示方法，類比平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到空間兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算、運(yùn)算律及其應(yīng)用價(jià)值.空間向量的投影以及數(shù)量積的分配律，代數(shù)形式上與平面向量中完全一樣，但是在幾何直觀上又有些許不同.這是學(xué)生在類比歸納中的一個(gè)難點(diǎn)，需要適時(shí)鋪墊引導(dǎo)，逐個(gè)突破.空間向量的主要應(yīng)用是求各種距離，這些距離問題都可歸結(jié)為通過向量數(shù)量積求一個(gè)向量在法向量上投影的長(zhǎng)度，在解決立體幾何中距離問題的過程中，學(xué)生對(duì)幾何元素與空間向量之間的對(duì)應(yīng)及如何用空間向量表示所涉及的幾何元素困難較大，這是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題的關(guān)鍵.基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析，本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)確定如下：重點(diǎn)：通過自主探究得出空間中距離的算法，在運(yùn)用數(shù)量積和投影運(yùn)算解決空間距離問題的過程中感悟數(shù)量積運(yùn)算及運(yùn)算律的重要價(jià)值，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.難點(diǎn)：理解空間向量的投影的幾何意義；用空間向量表示幾何元素并建立幾何與向量的聯(lián)系，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量計(jì)算問題；深刻體會(huì)幾何問題用向量運(yùn)算轉(zhuǎn)為為代數(shù)運(yùn)算的思想和便捷.四．教學(xué)策略分析本節(jié)課采用黃河清校長(zhǎng)“問題導(dǎo)學(xué)教學(xué)法”，循序漸進(jìn)，用問題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生探究、合作、交流、展示，盡可能多的質(zhì)疑、探究、討論，多參與課堂知識(shí)的生成和發(fā)現(xiàn)的過程，形成思維，提升素養(yǎng).教學(xué)過程教學(xué)流程：點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算實(shí)例生生，師生展示、思辨、形成智慧點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算實(shí)例生生，師生展示、思辨、形成智慧點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算一般程序小結(jié)點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算一般程序小結(jié)作業(yè)小組活動(dòng)小組活動(dòng)類比比較一般程序內(nèi)涵，外延典例研究實(shí)踐提升一般程序內(nèi)涵，外延典例研究實(shí)踐提升教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)評(píng)價(jià)任務(wù)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）實(shí)例引入激發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)生感知生活中的點(diǎn)到直線的距離,初步感知幾何法的困難，激發(fā)解決問題的興趣.引入：數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)，同學(xué)們觀察石油庫(kù)的建造圖，有哪些我們熟悉的距離？（老師追問）我們能不能用向量研究距離問題呢？引例1：引導(dǎo)學(xué)生從生活中提煉數(shù)學(xué)模型，引出問題.在新問題產(chǎn)生時(shí)，學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)不方便，這時(shí)急需新知的時(shí)候，恰如其分的勾起了學(xué)生的求知欲.（二）概念形成評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)幾何問題向量化的方法和對(duì)新問題的探究欲望.探究一：點(diǎn)到直線的距離引導(dǎo)學(xué)生用向量的運(yùn)算求點(diǎn)A到直線的距離,感悟?yàn)槭裁匆孟蛄坑?jì)算距離.怎樣賦予幾何問題向量的意義；建立幾何條件與向量運(yùn)算之間的聯(lián)系.初步體驗(yàn)向量法的合理性與優(yōu)越性.（二）概念形成評(píng)價(jià)學(xué)生利用數(shù)量積運(yùn)算解決點(diǎn)面距離的一般程序.探究二：點(diǎn)到平面的距離從已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，類比點(diǎn)到直線的距離的探究，學(xué)生探究、體會(huì)用向量運(yùn)算求點(diǎn)到平面距離的一般程序.學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)評(píng)價(jià)任務(wù)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（三）概念深化評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)向量法本質(zhì)的理解和解決距離問題的一般程序的掌握程度.評(píng)價(jià)展示過程，觀察學(xué)生的感知情況，距離方法的選擇情況.活動(dòng)1：請(qǐng)同學(xué)們交流分享向量法求解點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離時(shí)主要有哪幾個(gè)要素.活動(dòng)2：請(qǐng)同學(xué)們分別交流并分享點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離的向量法求解的一般程序，可以畫出程序框圖.活動(dòng)3：請(qǐng)同學(xué)們觀察下列圖形，從不同角度考慮距離問題，體會(huì)向量法的優(yōu)越性.讓學(xué)生進(jìn)一步的挖掘向量法的本質(zhì)和內(nèi)涵.通過各種不同圖形，既展示向量法的外延，又與幾何法比較，進(jìn)一步感知向量法的必要性.學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)評(píng)價(jià)任務(wù)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（四）概念應(yīng)用評(píng)價(jià)學(xué)生基本計(jì)算過程的展示和向量法解決問題的程序.評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)化歸思想的應(yīng)用及用向量求距離的一般程序，運(yùn)算能力.評(píng)價(jià)學(xué)生運(yùn)用向量法解決距離問題的能力.例1.如圖,四棱柱的底面是正方形，為底面中心,⊥平面，.（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求點(diǎn)到平面的距離.例2.正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是的中點(diǎn).(1)求直線到平面的距離;(2)若是的中點(diǎn)，求平面與平面的距離.作業(yè)1.在直三棱柱中，,,,,是的中點(diǎn)，問上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為?經(jīng)過概念的深化環(huán)節(jié)給兩個(gè)具體的問題，讓學(xué)生體驗(yàn)用向量法求距離的一般程序和方便.在學(xué)生深入學(xué)習(xí)了點(diǎn)線、點(diǎn)面距離后，以例題的形式給出了線線、線面、面面距離，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和化歸轉(zhuǎn)化的能力.作業(yè)1進(jìn)一步開放條件，讓學(xué)生充分自主探索，體會(huì)向量法的作用.學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)評(píng)價(jià)任務(wù)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（五）總結(jié)升華提升素養(yǎng)評(píng)價(jià)學(xué)生的分享內(nèi)容，把握學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解程度.提問學(xué)生，總結(jié)分享收獲：通過學(xué)生的總結(jié)，突出本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)和技能，提煉學(xué)習(xí)過程中滲透的數(shù)學(xué)思想方法，感受學(xué)習(xí)成功的喜悅.有助于加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)核心知識(shí)