非線性理論第二章第一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六

第二章分形理論基礎(chǔ)

第二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六本章主要內(nèi)容分形的起源分形的定義維數(shù)與規(guī)則分形容量維數(shù)與信息維數(shù)自然界的分形與計(jì)算機(jī)產(chǎn)生分形的方法產(chǎn)生分形的物理模型第三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六整數(shù)維（拓?fù)渚S或傳統(tǒng)的維數(shù)）點(diǎn)——零維線——一維面——二維

體——三維

整數(shù)維第四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六規(guī)則分形

許多數(shù)學(xué)家從純數(shù)學(xué)興趣出發(fā)，構(gòu)造出一批自相似的幾何圖形：科赫曲線采用分形理論分析，看出這些圖形與正規(guī)幾何圖形之間存在直接聯(lián)系。第五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六柯赫曲線（1）科赫曲線科赫曲線是具有相似結(jié)構(gòu)的彎曲線段。將長(zhǎng)度為1的直線段三等分，保留兩側(cè)，將中間一段改成夾角60度的兩個(gè)等長(zhǎng)直線。再將上次操作的四段邊長(zhǎng)1/3的線段三等分，每段長(zhǎng)度為1/9，也將中間一段改成夾角60度的兩直線。操作進(jìn)行下去，得一條有自相似結(jié)構(gòu)的曲線，稱為三次科赫曲線。第六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六長(zhǎng)度的測(cè)量

Length(n=0)=1Length(n=1)=4/3Length(n=2)=16/9…………Length=lim(Length(n))=lim(4/3)n=∞第七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六面積的測(cè)量

Area(n1)=(1╳√3/6)/2=√3/12

Area(n2)=√3/12╳(4/9)Area(n3)=√3/12╳(4/9)2…………Area(n)=lim(√3/12╳(4/9)n)=0

第八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六Koch曲線在一維歐氏空間中的度量為∞Koch曲線在二維歐氏空間中的面積為0Koch曲線在傳統(tǒng)歐氏空間中不可度量第九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六人類生活的世界是一個(gè)極其復(fù)雜的世界:例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測(cè)的股市變化、蜿蜒曲折的海岸線等等，都表現(xiàn)了客觀世界豐富的現(xiàn)象?；趥鹘y(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門自然科學(xué)總是把研究對(duì)象想象成一個(gè)個(gè)規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法第十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六分形的起源

“分形”是由美國(guó)曼德勃羅特（Mandelbrot)在1975年首次提出，其原義是“不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離破碎的”物體。曼德勃羅是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無(wú)規(guī)的幾何對(duì)象。

“分形理論”初步形成的標(biāo)志是由Mandelbrot分別在1977年著“分形：形態(tài)、偶然性和維”及1982年著“自然界的分形幾何學(xué)”。第十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六

分形理論的創(chuàng)始人曼德布羅特(Mandelprot)曾說(shuō)過(guò)：“浮云不呈球形，山峰不呈錐體，海岸線不是圓圈，樹(shù)干不是光溜溜的，閃電永不會(huì)沿直線行進(jìn)”，說(shuō)的就是人們一般不應(yīng)以簡(jiǎn)單的、理想的體系去對(duì)待實(shí)際體系。

第十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六自相似性大自然中存在的不規(guī)則的物體，可能存在不同尺度上的相似性，稱為自相似性,即

-某種結(jié)構(gòu)或過(guò)程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度看都是相似的-指某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。第十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六自相似（1）布朗微粒軌跡

皮蘭（Perrin）于1908年用顯微鏡測(cè)量了布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡，他每隔30秒記錄一次某個(gè)微粒的位置，再將相繼得到的兩點(diǎn)位置連成直線，得到一幅由長(zhǎng)短不等的直線段連接成的軌跡圖。他又將測(cè)量時(shí)間間隔縮短為每隔3秒，畫出的另外一幅微粒的軌跡圖。將兩圖進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，兩幅圖雖不盡相同，它們具有同等的復(fù)雜程度。以不同尺度去測(cè)量都有相似結(jié)果說(shuō)明，測(cè)量對(duì)象沒(méi)有特征尺寸，它們具有尺度（標(biāo)度）不變性。第十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六自相似（2）大自然中的自相似體不管漫步在海岸邊以厘米量級(jí)觀察，還是從人造衛(wèi)星上以數(shù)千米跨度觀察，海岸線的彎曲的復(fù)雜程度也可能是相同的。

大自然中的許多不規(guī)則物體，可能存在不同尺度上的相似性，稱為自相似性。第十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六分形的定義Mandelbort1982

-AfractalisbydefinitionasetforwhichtheHausdorff-Besicovitchdimensionstrictlyexceedthetopologicaldimension.Mandelbort1986

-Afractalisashapemadeofpartssimslartothewholeinsomeway

-分形是其組成部分以某種方式與整體相似的圖形，或者說(shuō)：分形是指一類體形復(fù)雜的體系，其局部與整體具有相似性。第十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六分形的研究領(lǐng)域

分形的研究現(xiàn)已大大地超出了數(shù)學(xué)、物理學(xué)的范疇，它不僅廣泛用于處理自然科學(xué)中相關(guān)問(wèn)題，而且在擴(kuò)展到生態(tài)、生命、經(jīng)濟(jì)、人文的許多領(lǐng)域。分形與系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)是密切相關(guān)的，是非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支。數(shù)學(xué)，這是分形的基礎(chǔ)領(lǐng)域；物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)，如雷電、相變、聚合物生長(zhǎng)、天文、地理地質(zhì)、生態(tài)、生命等自然現(xiàn)象；非線性動(dòng)力系統(tǒng)中的分形研究；人文、經(jīng)濟(jì)如股票漲落分析等；國(guó)民經(jīng)濟(jì)：如地震、氣象的預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)、石油的多次開(kāi)采等領(lǐng)域。第十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六維數(shù)

與人們熟悉的規(guī)整形體的整數(shù)維不同，分形體的維數(shù)不一定是整數(shù)，它可取連續(xù)變化的各種數(shù)值，稱為分形維數(shù)（簡(jiǎn)稱分維）。根據(jù)分形體不同特征，分形維數(shù)的定義有多種，而且不同維數(shù)定義計(jì)算出的維數(shù)也有一些差別。第十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六維數(shù)與規(guī)則分形維數(shù)規(guī)則分形-康托爾點(diǎn)集-科赫曲線-謝爾賓斯基圖形-模擬分形物質(zhì)第十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六豪斯道夫維數(shù)（1）例.取長(zhǎng)度為l的線段，放大2倍后的長(zhǎng)度2l。邊長(zhǎng)為l的正方形，每邊長(zhǎng)放大2倍的面積為4

l2。邊長(zhǎng)為l的立方體，每邊長(zhǎng)放大2倍的體積為8

l3。

結(jié)果整理如下：一維圖形（線段）21=2二維圖形（正方體）22=4三維圖形（立方體）23=8歸結(jié)：取對(duì)數(shù)豪斯道夫維數(shù)第二十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六豪斯道夫維數(shù)（2）推論：

對(duì)于正規(guī)幾何圖形，分子為分母整除，Df

為整數(shù)，是歐幾里德維數(shù)。對(duì)非規(guī)則圖形，分子與分母不總可整除，Df

一般是分?jǐn)?shù)，稱為分維。第二十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六自相似維數(shù)（1）換一個(gè)視角：把單位面積的正方形等分成九個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)縮短為原來(lái)長(zhǎng)度的1/3，即有：9×(1/3)2＝1指數(shù)2顯然為正方形維數(shù)。該式表示局部與整體有相似關(guān)系。定義：假定某個(gè)幾何體由N個(gè)局部組成，每個(gè)局部以相似比beta與整體相似，則客體的相似維數(shù)為：第二十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六自相似維數(shù)（2）

例：邊長(zhǎng)為2l的正方體，四等分得邊長(zhǎng)l的四個(gè)小正方形。小正方形邊長(zhǎng)與原正方形邊長(zhǎng)之比為＝1/2，局部與整體的相似比為：beta=l/2l=1/2，Ds

為:第二十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六規(guī)則分形

許多數(shù)學(xué)家從純數(shù)學(xué)興趣出發(fā)，構(gòu)造出一批自相似的幾何圖形：康托爾點(diǎn)集科赫曲線謝爾賓斯基地毯等

采用分形理論分析，看出這些圖形與正規(guī)幾何圖形之間存在直接聯(lián)系。第二十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六康托集（1）康托點(diǎn)集

取一線段[0,1]將其三等分，各段長(zhǎng)度為原線段的1/3。取走中間一段，保留兩側(cè)。將留下的兩段再三等分并再取走中間一段，保留兩側(cè)其余兩段。繼續(xù)分割、取走，留下線段愈多則長(zhǎng)度愈短。隨著線段分為無(wú)窮多段，每段長(zhǎng)度為零，總長(zhǎng)度也為零，構(gòu)成了由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集。第二十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六康托集（2）康托點(diǎn)集分維豪斯道夫維數(shù)

每次三等分后的一小段，將此放大三倍，把中間的1/3段舍去得到兩個(gè)1/3段，在豪斯道夫維數(shù)公式中，L＝3，K＝2，因此有：相似維數(shù)

初始元線段長(zhǎng)度為1，生成元為兩個(gè)1/3，得局部與整體的相似比β＝1/3，N＝2：第二十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六康托集（3）康托點(diǎn)的長(zhǎng)度生成元En由長(zhǎng)度為(1/3)n

共有2n

區(qū)段，當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，因此各點(diǎn)總長(zhǎng)度多分集上面的組成中每次將線段一分為三，故稱康托爾三分集。依此法則，可以生成四分、五分…等多種康托爾點(diǎn)集。如四分康托爾點(diǎn)集，將一線段四等分，舍去中間兩段，保留兩側(cè)的兩段，如此進(jìn)行同樣操作下去。第二十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六康托集（4）多分集維數(shù)康托爾四分點(diǎn)集的維數(shù)

康托爾n分點(diǎn)集的維數(shù)（把一線段進(jìn)行n等分，舍去中間的n－2段，保留兩側(cè)兩段）結(jié)論：當(dāng)n→∞時(shí)，Df→0

各次多分集的Df

維數(shù)

第二十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六柯赫曲線（1）科赫曲線科赫曲線是具有相似結(jié)構(gòu)的彎曲線段。將長(zhǎng)度為1的直線段三等分，保留兩側(cè)，將中間一段改成夾角60度的兩個(gè)等長(zhǎng)直線。再將上次操作的四段邊長(zhǎng)1/3的線段三等分，每段長(zhǎng)度為1/9，也將中間一段改成夾角60度的兩直線。操作進(jìn)行下去，得一條有自相似結(jié)構(gòu)的曲線，稱為三次科赫曲線。維數(shù)

三次科赫曲線由四個(gè)與整體相似的局部組成，相似比beta=1/3，因此相似維數(shù)第二十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六柯赫曲線（2）科赫雪花以三角形為源多邊形，每一邊作三等分并舍去中間1/3。類似科赫曲線生成規(guī)則。第一步形成一個(gè)六角星形，第二步將六角星形的12條邊按科赫曲線規(guī)則，得48條邊圖形，以后依此進(jìn)行同樣得操作，直至無(wú)窮，稱為科赫雪花。極限情況下，科赫雪花上的折線演變成為曲線?？坪昭┗ㄖ荛L(zhǎng)

科赫雪花面積

維數(shù)與科赫曲線維數(shù)相等第三十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六謝爾賓斯基圖形（1）墊片取一個(gè)等邊三角形，四等分得四個(gè)較小三角形。舍去中間小三角形，保留周圍的三個(gè)。此后將這三個(gè)較小三角形按上述分割與舍去法則操作下去，得到一種介于線段與面之間的幾何圖形。維數(shù)

設(shè)想從一個(gè)小三角形開(kāi)始，將每邊擴(kuò)大2倍，得與之相似的大三角形，面積為小三角形4倍。將中間一個(gè)小三角形舍去，實(shí)際面積為小三角形3倍。維數(shù)計(jì)算Df，由L＝2，K＝3

第三十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六謝爾賓斯基圖形（2）地毯(1)

取正方形將其9等分，得9個(gè)小正方形，舍去中央的小正方形，保留周圍8個(gè)小正方形。然后對(duì)每個(gè)小正方形再9等分，并同樣舍去中央正方形。按此規(guī)則不斷細(xì)分與舍去，直至無(wú)窮。謝爾賓斯基地毯的極限圖形面積趨于零，小正方形個(gè)數(shù)與其邊的線段數(shù)目趨于無(wú)窮多，它是一個(gè)線集，圖形具有嚴(yán)格的自相似性。

維數(shù)從一個(gè)小正方形出發(fā)，將每邊擴(kuò)大三倍，由于舍去中間的正方形，在計(jì)算中，L＝3，K＝8，第三十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六謝爾賓斯基圖形（3）地毯(2)

地毯2的構(gòu)成方法是取邊長(zhǎng)為1的正方形按p:q:p的方法劃分每邊，并去掉中間q部分，留下四角。然后對(duì)四角小正方形進(jìn)形類似的操作以至無(wú)限。它具有自相似性。

維數(shù)右圖是p=0.45,q=0.1的地毯圖。按Ds

維數(shù)計(jì)算公式，局部與整體相似比β＝2/9，N＝4，得：第三十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六謝爾賓斯基圖形（4）海綿一個(gè)立方體的每邊三等分，得27個(gè)小立方體。將體心和面心上七個(gè)小立方體舍去保留其余20個(gè)小立方體。再對(duì)每個(gè)小立方體進(jìn)行同樣操作，得到更小的20×20＝400個(gè)立方體，如此操作進(jìn)行下去直至無(wú)窮。其局部與其整體具有嚴(yán)格自相似性，極限情況下它的體積趨于零，而表面積趨于無(wú)窮大。

維數(shù)用3維尺度測(cè)量時(shí)體積為零，用2維尺度測(cè)量時(shí)面積為無(wú)窮大，分維值介于2、3之間。從一個(gè)小立方出發(fā)，每邊擴(kuò)大3倍體積放大27倍，但舍去了7個(gè)體心和面心立方體。第三十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六模擬分形物質(zhì)模擬分形物質(zhì)這是由物理或化學(xué)家們構(gòu)造出來(lái)的。構(gòu)成方法：將一個(gè)半徑為1的原子放在原點(diǎn)作為種子，在球的四個(gè)方向上結(jié)合四個(gè)原子，五個(gè)原子組成一個(gè)晶胞。再以這個(gè)晶胞為中心，在其四個(gè)原子的方向上結(jié)合四個(gè)晶胞，再在四個(gè)晶胞的方向上結(jié)合上由五個(gè)晶胞結(jié)合成的集團(tuán)。這種模擬物質(zhì)具有自相似性。

維數(shù)由圖可見(jiàn)當(dāng)線徑放大L=3倍數(shù)時(shí)，其面積放大K=5倍數(shù)。第三十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六分形的幾何特征自相似性便是局部與整體的相似。自仿射性自仿射性是自相似性的一種拓展。如果，將自相似性看成是局部到整體在各個(gè)方向上的等比例變換的結(jié)果的話，那么，自仿射性就是局部到整體在不同方向上的不等比例變換的結(jié)果。前者稱為自相似變換，后者稱為自仿射變換。精細(xì)結(jié)構(gòu)任意小局部總是包含細(xì)致的結(jié)構(gòu)。第三十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六容量維數(shù)與信息維數(shù)容量維數(shù)信息維數(shù)第三十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六盒子計(jì)數(shù)法(boxcounting)

計(jì)算相似比復(fù)雜圖形時(shí)，采用小方塊(或圓片)去覆蓋(或填充)被測(cè)對(duì)象，統(tǒng)計(jì)覆蓋所需的方塊數(shù)來(lái)計(jì)算其維數(shù)。如此方法計(jì)算的維數(shù)稱為容量維數(shù)?，F(xiàn)用長(zhǎng)度為r尺子去測(cè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的線段，L與r之比為N。

N值的大小與r長(zhǎng)短有關(guān)，r越小N越大：

對(duì)于平面：對(duì)于立方體：對(duì)于Dc

維物體：取對(duì)數(shù)得容量維數(shù)容量維數(shù)

大自然中存在大量的在統(tǒng)計(jì)意義下的自相似體，一般并不知道自相似比。為了解決這類物體的分維計(jì)算，發(fā)展了計(jì)算容量維數(shù)方法。第三十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六例子應(yīng)用于物質(zhì)模型。設(shè)晶胞重復(fù)結(jié)合了P次，物質(zhì)的線徑為

L=3p，包含原子數(shù)有:

N=5p

個(gè)用線徑為r=1/3p-s

的小球覆蓋：

第三十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六埃儂吸引子用邊長(zhǎng)1:1/2:1/4三種方塊覆蓋。邊長(zhǎng)1方塊覆蓋35塊，邊長(zhǎng)1/2方塊覆蓋95塊，邊長(zhǎng)1/4方塊覆蓋220塊,可以用更短邊長(zhǎng)覆蓋。實(shí)際計(jì)算得：

第四十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六信息維數(shù)

通常，測(cè)量對(duì)象具有不均勻性，導(dǎo)致不同計(jì)數(shù)盒子有不同填充程度，但盒子計(jì)數(shù)法不能反映客體的不均勻分布。改進(jìn)方法：(1)對(duì)每個(gè)覆蓋盒子按填充程度（所含點(diǎn)多少）進(jìn)行編號(hào);(2)統(tǒng)計(jì)出分形結(jié)構(gòu)落入第

i只盒子的幾率Pi(r)：

得信息維數(shù)當(dāng)各個(gè)盒子有同樣填充程度：Pi(r)=1/N(r)

信息維數(shù)等于容量維數(shù)：Di=Dc，

一般情況下:

第四十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六自然界分形

大自然中普遍存在著分形體。山脈，樹(shù)林，閃電，海岸線，都會(huì)包含各種形式自相似體。海岸線為什么是分形體？首先具有自相似性。如果以不同比例尺去測(cè)量，所得到的長(zhǎng)度是不同的。我國(guó)海岸線全長(zhǎng)一萬(wàn)八千余公里，是以1公里標(biāo)尺測(cè)量的。1公里為單位：N=1.763x104

段，1厘米為單位：N=3.812x104

段，長(zhǎng)度為381.2萬(wàn)公里，是地理書212倍。

第四十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六自然界的分形海岸線維數(shù)用不同r

方格去覆蓋，統(tǒng)計(jì)出覆蓋海岸線的格子數(shù)；在地圖上以不同

r

的標(biāo)尺去測(cè)量海岸線，得一組與標(biāo)尺對(duì)應(yīng)的段數(shù)。

兩種方法都用容量維數(shù)將測(cè)量結(jié)果作logN～logr雙對(duì)數(shù)圖，如得負(fù)斜率直線，其絕對(duì)值就是維數(shù)。我國(guó)海岸線維數(shù)

用不同尺寸r測(cè)量，得不同的段數(shù)N，作logN～logr斜線。得斜線其方程為：系數(shù)1.267直線斜率，即海岸線分維值為第四十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六計(jì)算機(jī)產(chǎn)生分形分形樹(shù)Julia集合Mandebrot集合第四十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六樹(shù)設(shè)圖形T0為一條單位長(zhǎng)直線段，在T0第一個(gè)三等分點(diǎn)上各向兩邊450角的方向延伸出兩條長(zhǎng)1/2L0的線段，在中點(diǎn)處向左300以1/3L0延伸出長(zhǎng)的線段，再在第二個(gè)三等分點(diǎn)處向右300方以1/3L0延伸出的線段。得到圖形T1,將Tn的每5個(gè)分支做同樣的變換，得到Tn+1。

第四十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六Julia集在復(fù)平面上任意取一個(gè)點(diǎn)，其值是復(fù)數(shù)Z。將其代入下面方程中進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算：Zn+1=Zn2+C。就是說(shuō)，用舊的Z自乘再加上C后的結(jié)果作為新的Z。再把新的Z作為舊的Z，重復(fù)運(yùn)算。不停地做，最后得到的Z值有3種可能性：

1、Z值沒(méi)有界限增加（趨向無(wú)窮）

2、Z值衰減（趨向于零）3、Z值是變化的，即非1或非2第四十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六趨向無(wú)窮和趨向于零的點(diǎn)叫定常吸引子，很多點(diǎn)在定常吸引子處結(jié)束，被定常吸引子所吸引。非趨向無(wú)窮和趨向于零的點(diǎn)是“Julia集合”部分，也叫混沌吸引子。第四十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六Julia集迭代公式中，給定復(fù)數(shù)C，如果n趨向于無(wú)窮時(shí)Zn有界，則Z0屬于Julia集。第四十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六第五十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六Mandelbrot集Julia集和Mandelbrot集可以說(shuō)是一對(duì)孿生兄弟。給定Z0為一個(gè)初始的復(fù)數(shù)，C為一個(gè)復(fù)常數(shù)。對(duì)Z進(jìn)行這樣的迭代：

如果n趨向于無(wú)窮時(shí)Zn有界，則C屬于Mandelbrot集

第五十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六第五十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六第五十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六產(chǎn)生分形的物理模型擴(kuò)散置限聚集(diffusion-limitedaggregation-DLA)模型元胞自動(dòng)機(jī)

第五十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)擴(kuò)散置限聚集模型

DLA是針對(duì)生長(zhǎng)過(guò)程出現(xiàn)無(wú)規(guī)分形提出的。該模型在計(jì)算機(jī)上模擬完成。生成過(guò)程這樣：在一個(gè)二維點(diǎn)陣中心放上一棵種子，在點(diǎn)陣邊緣引進(jìn)一棵粒子讓它在點(diǎn)陣上隨機(jī)游蕩。當(dāng)粒子游動(dòng)到點(diǎn)陣中心附近時(shí)，與位于中心點(diǎn)種子相結(jié)合(A粒子)后附著不動(dòng)；當(dāng)游動(dòng)到點(diǎn)陣邊緣就會(huì)消失(B粒子)。點(diǎn)陣上一旦失去游動(dòng)粒子，從點(diǎn)陣邊緣引進(jìn)新的游動(dòng)粒子。1981年，Witten和Sander提出擴(kuò)散置限聚集(diffusion-limitedaggregation-DLA)模型，1983年研究了模型與擴(kuò)散方程關(guān)系，完善了這個(gè)模型。第五十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六第五十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六

DLA模型可以說(shuō)明許多物質(zhì)生長(zhǎng)現(xiàn)象。例如：鐵絲表面鍍鋅，絕緣氣體(SF6)中在玻璃板面上放電圖象等。鐵絲表面鍍鋅SF6氣體中玻璃板上放電中心種子生長(zhǎng)的細(xì)