第30講直線與方程一、知識(shí)要點(diǎn)1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為②傾斜角的范圍為(2)直線的斜率①定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母表示，即，傾斜角是的直線斜率不存在．②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式為.2．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用注可表示經(jīng)過兩點(diǎn)，的所有直線.3．過的直線方程(1)若，且時(shí)，直線垂直于軸，方程為；(2)若，且時(shí)，直線垂直于軸，方程為；(3)若，且時(shí)，直線即為軸，方程為；(4)若，且時(shí)，直線即為軸，方程為．4．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．5．兩條直線平行與垂直(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線、，其斜率分別為、k2，則有∥?．特別地，當(dāng)直線、的斜率都不存在時(shí)，與平行．(2)兩條直線垂直如果兩條直線，斜率存在，設(shè)為k1，k2，則⊥?，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直．6．兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程為：，：，則兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解(1)若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行，反之，亦成立．7．三種距離公式(1)點(diǎn)間的距離：(2)點(diǎn)到直線的距離：兩平行直線與間的距離為．二、經(jīng)典題型題型一、斜率及傾斜角【例1】已知直線的傾斜角為，斜率為；時(shí)，則斜率的取值范圍時(shí)，則斜率的取值范圍(3)時(shí)，則傾斜角的取值范圍(4)時(shí)，則傾斜角的取值范圍【例3】已知線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．題型二、直線方程【例4】三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.（1）求邊的中線所在直線的方程；（2）求邊的高所在直線的方程；（3）求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo).【例5】兩條直線和在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是()【例6】過點(diǎn)且縱截距與橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有的條數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【例7】若直線在軸上的截距為，則實(shí)數(shù)是（）（A）1（B）2（C）－（D）2或－【變式1】直線繞著其上一點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°，則旋轉(zhuǎn)后得到的直線的方程為A． B． C． D．【變式2】已知直線，都經(jīng)過點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程是_____________【變式3】已知方程.（1）求該方程表示一條直線的條件；（2）當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程表示的直線斜率不存在？求出這時(shí)的直線方程；（3）已知方程表示的直線在軸上的截距為，求實(shí)數(shù)的值．題型三、垂直、平行、相交【例8】已知直線，，問為何值時(shí)：；與重合；與相交；與垂直；【變式1】直線與互相垂直，則的值為()A.B.C.或D.或【變式2】已知，是分別經(jīng)過，兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)，間的距離最大時(shí)，則直線l1的方程是__________________________．題型四、距離【例9】已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程．(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【例10】若原點(diǎn)到直線距離為1，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【例11】在直線上求點(diǎn)和，使得：(1)到和的距離之差最大；(2)到和的距離之和最?。咀兪?】若動(dòng)點(diǎn)分別在直線上移動(dòng)，求線段的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值。【變式2】兩平行直線，分別過，B(0,5)，若與的距離為5，則與的方程分別為________________【變式3】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，中，邊所在的直線方程是，邊所在的直線方程是，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．（1）求中，與邊平行的中位線所在直線的方程；（2）求的面積；（3）已知上有點(diǎn)，滿足與的面積比為2，求所在的直線方程．題型五、對(duì)稱問題【例12】（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為.（3）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.（4）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.【變式1】三角形中，,邊上的中線所在直線方程為：，的平分線方程為：，求直線的方程。【變式2】過點(diǎn)作直線使它被直線和截得的線段被點(diǎn)平分，求直線的方程．【變式3】已知光線從點(diǎn)射出，到直線上的B點(diǎn)后被直線反射到軸上的點(diǎn)，又被軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)，求所在的直線方程．題型六、綜合問題【例13】如圖,函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上任一點(diǎn),過點(diǎn)分別作直線和軸的垂線,垂足分別為。(1)證明:為定值.(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形面積的最小值.【例14】已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（）A.無論，，如何，總是無解B.無論，，如何，總有唯一解[來C.存在，，，使之恰有兩解D.存在，，，使之有無窮多解【變式1】已知直線，，當(dāng)時(shí)，直線，與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，則________.【變式2】若，且點(diǎn)在過點(diǎn)和的直線上，則的最大值為（）A. B. C. D.課后作業(yè)1、若直線的斜率為，傾斜角為，而則的取值范圍是________．2、已知實(shí)數(shù)滿足，，試求的最大值和最小值．3、若直線的傾斜角分別為，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.若，則直線的斜率B.若，則直線的斜率C.若兩直線的斜率，則D.若兩直線的斜率，則4、如果直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么（）A.，B.，