2024屆吉林省長(zhǎng)春汽車(chē)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)第六中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．36 B．72 C． D．2．已知非零向量，滿(mǎn)足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:3．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．4．對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線(xiàn)圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析．①甲同學(xué)的成績(jī)折線(xiàn)圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性，故平均成績(jī)?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線(xiàn)性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．15．直線(xiàn)x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．6．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知直線(xiàn)：（）與拋物線(xiàn)：交于（坐標(biāo)原點(diǎn)），兩點(diǎn)，直線(xiàn)：與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C．2 D．10．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．11．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為11，則圖中的判斷條件可以為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上的一點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)______14．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為_(kāi)_________.15．某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位，當(dāng)它的底面半徑和高的比值為_(kāi)_____.時(shí)，可使得所用材料最省.16．根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸入的的值為2，則輸出的的值為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)到拋物線(xiàn)C：y1=1px準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1．（Ⅰ）求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)與C交于兩點(diǎn)A，B，直線(xiàn)PA，PB，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，求的值．18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)，的值.19．（12分）某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點(diǎn)圖（如圖）.表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類(lèi)型？（不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，…，，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.20．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于、兩點(diǎn)，與相交于、兩點(diǎn)，且與同向，設(shè)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形；（3）為上的動(dòng)點(diǎn)，、為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值，并說(shuō)明理由.21．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，其中，，，.⑴若，，（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值；⑶若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【題目詳解】等比數(shù)列滿(mǎn)足，，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.2、C【解題分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系，可得選項(xiàng).【題目詳解】，，∴等價(jià)于，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【題目詳解】如圖所示過(guò)做三角形三邊的垂線(xiàn)，垂足分別為，，，過(guò)分別做，的平行線(xiàn)，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.4、C【解題分析】

利用圖形，判斷折線(xiàn)圖平均分以及線(xiàn)性相關(guān)性，成績(jī)的比較，說(shuō)明正誤即可．【題目詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線(xiàn)圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性，最高130分，平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分，①錯(cuò)誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線(xiàn)性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步，故④不正確．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查折線(xiàn)圖的應(yīng)用，線(xiàn)性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

由直線(xiàn)x-3y+3=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA，求得A3【題目詳解】由題意，直線(xiàn)x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，令所以c=3，即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線(xiàn)交y軸于C(0,1)，所以，OF=因?yàn)镕C=2CA，所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得6、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計(jì)算排除得到答案.【題目詳解】定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，排除，排除故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖像，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.7、C【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．8、D【解題分析】

設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消去、列出韋達(dá)定理，再由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【題目詳解】解：設(shè)，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.9、C【解題分析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最大值，即，，，當(dāng)時(shí)，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí)，取得最大值，求解可得實(shí)數(shù)的值.10、D【解題分析】

可求出集合，，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【題目詳解】解：，；．故選．【題目點(diǎn)撥】考查描述法、區(qū)間的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運(yùn)算．11、A【解題分析】

如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【題目詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因?yàn)闉橹匦模虼?，則，因此，因此，則，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.12、B【解題分析】

根據(jù)程序框圖知當(dāng)時(shí)，循環(huán)終止，此時(shí)，即可得答案.【題目詳解】，.運(yùn)行第一次，，不成立，運(yùn)行第二次，，不成立，運(yùn)行第三次，，不成立，運(yùn)行第四次，，不成立，運(yùn)行第五次，，成立，輸出i的值為11，結(jié)束.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先表示出漸近線(xiàn)，再代入點(diǎn)，求出，則離心率易求.【題目詳解】解：的漸近線(xiàn)是因?yàn)樵跐u近線(xiàn)上，所以，故答案為：【題目點(diǎn)撥】考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，計(jì)算得到，得到答案.【題目詳解】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】

設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值．【題目詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴，即.∴該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即材料最省，此時(shí).故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出表面積的表示式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題．16、【解題分析】

滿(mǎn)足條件執(zhí)行，否則執(zhí)行.【題目詳解】本題實(shí)質(zhì)是求分段函數(shù)在處的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，.故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題考查條件語(yǔ)句的應(yīng)用，此類(lèi)題要做到讀懂算法語(yǔ)句，本題是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線(xiàn)定義求出p，即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線(xiàn)AB斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值．【題目詳解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線(xiàn)AB斜率存在且不為0.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得，則,.因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)C上,所以,.因?yàn)镻F⊥x軸，所以，所以|MF|?|NF|的值為1.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)中的定值問(wèn)題，常用韋達(dá)定理設(shè)而不求來(lái)求解，本題解題關(guān)鍵是找出弦長(zhǎng)與斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中等題.18、（1）（2），.【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，即求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)法，求得，結(jié)合題意，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，可得，即，顯然當(dāng)時(shí)上式也適合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以.因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.19、（1）更適宜（2）（3）x為2時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣【解題分析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線(xiàn)型分布作答；（2）根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，再得出y關(guān)于x的回歸方程；（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【題目詳解】（1）更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類(lèi)型.（2）由公式可得：，，所以所求回歸方程為.（3）設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，即時(shí)，煤氣用量最小.故x為2時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣.【題目點(diǎn)撥】本題考查擬合模型的選擇，回歸方程的求解，涉及均值不等式的使用，屬綜合中檔題.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）是，理由見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）根據(jù)兩個(gè)曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，得到，再根據(jù)與的公共弦長(zhǎng)為得出，可求出和的值，進(jìn)而可得出曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得出，則問(wèn)題得以證明；（3）設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn)，、、，推導(dǎo)出以及，求出和，通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算可得出為定值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，，①又與的公共弦的長(zhǎng)為，與都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，，②聯(lián)立①②，得，，故的方程為；（2）如圖，，由得，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，令，得，即，，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.故直線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形；（3）設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn)，、、，則，設(shè)向量和的夾角為，則的面積為，由，可得，同理可得，故有.又，故，則，因此，的面積為定值.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐曲線(xiàn)的和直線(xiàn)的位置與關(guān)系，考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，構(gòu)造方程，利用韋達(dá)定理，以及向量的關(guān)系，得到關(guān)于斜