高等數(shù)學(xué)第二節(jié)對(duì)面積的曲面積分第一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、對(duì)面積的曲面積分的定義二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算四、對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用第二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六把曲面Σ分成n片小曲面,這些小曲面為S1,S2,…,Sn,Si也表示Si的面積(i=1,2,…,n).一、對(duì)面積的曲面積分的定義設(shè)有一曲面形構(gòu)件,它所占位置的空間曲面Σ見(jiàn)圖9-4,面密度為連續(xù)函數(shù)u=f(x,y,z),利用分割、作和、取極限的方法求該構(gòu)件的質(zhì)量.在Si上取點(diǎn)Mi(i,i,i),稱(chēng)Si任意取兩點(diǎn)間距離的最大值為Si的直徑,Si圖9-4,第三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六則曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為式中λ為n片小曲面直徑中的最大值.Si圖9-4,第四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

定義2設(shè)Σ是光滑曲面,函數(shù)u=f(x,y,z),在Σ上有界,分Σ為n片小曲面,這些小曲面為S1,S2,…,Sn,Si

也表示Si

的面積(i=1,2,…,n).如果存在,則稱(chēng)該值f(x,y,z)在Σ上的對(duì)面積的曲面積分,也稱(chēng)為第一型的曲面積分,記成在Si上取點(diǎn)Mi(i,i,i),記λ為n片小曲面直徑的最大值.其中f(x,y,z)稱(chēng)為被積分函數(shù),Σ稱(chēng)為積分曲面.第五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六如果是閉合曲面Σ上的積分,又可記成定理1當(dāng)f(x,y,z)在光滑或分段光滑曲面Σ上連續(xù)時(shí),存在.第六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)

設(shè)下面所涉及的曲面積分是存在的,則有下述性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)k為常數(shù),則性質(zhì)2

第七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六性質(zhì)3將Σ分成Σ1與Σ2,則

k為常數(shù),A為Σ的面積.性質(zhì)4性質(zhì)5若在Σ上f(x,y,z)

g(x,y,z),則第八頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六性質(zhì)7當(dāng)f(x,y,z)在光滑曲面Σ上連續(xù)時(shí),必有(,,)在Σ上,使得性質(zhì)6在Σ上若沒(méi)m

f(x,y,z)

M,則其中A表示Σ的面積.第九頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算

定理2設(shè)曲面Σ:在z=z(x,y),它在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy,z=z(x,y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),f(x,y,z)在Σ上連續(xù),則有公式如果曲面Σ投影到y(tǒng)Oz或zOx面,則有下述計(jì)算曲面積分的公式第十頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

定理3設(shè)f(x,y,z)與Σ滿足定理2的條件,若f(x,y,z)=f(x,y,-z),Σ關(guān)于xOy對(duì)稱(chēng),Σ1表示Σ的位于xOy面上方的部分,則有若f(x,y,z)=f(x,y,

z),則有第十一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1求其中Σ為平面中解出在第一卦限中的部分.將Σ在xOy面上投影區(qū)域記為Dxy,如圖9-5第十二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六圖9-5第十三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例2求其中:x2+y2=R2,0

z

h(R>0)解法1把Σ分成前后兩部分Σ1與Σ2,則Dyz:-R

y

R,0

z

h解法2面積的微分dS=2Rdz,故第十四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)有一分布著質(zhì)量的光滑曲面Σ,在點(diǎn)(x,y,z)處的面密度為連續(xù)函數(shù)f(x,y,z),利用微元分析法不難推得下面各公式.四、對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用質(zhì)量設(shè)重心為則第十五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中Ix,Iy,Iz,Io,分別表示曲面對(duì)x軸,y軸,z軸以及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第十六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例3求拋物面殼的質(zhì)量此殼面密度為μ=z.所求質(zhì)量為第十七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六故所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例4求面